Логика высказываний

Алфавит:

-2 константы TRUE, FALSE

- логические переменные, записываемые буквами и цифрами

-логические операторы (=, ! , & ,\ , ->)

- операторы очередности – «(», «(»

Формулы – предложения языка. Строятся по правилам:

-любая переменная (const) – формула

-Если L –формула, то (L)- тоже формула

- Если L –формула, то ~L- тоже формула

-Если L1,L2 –формулы, то L1&L2,L1|L1 –формулы

-если X –переменная, а L- формула, то L->X тоже формула

Формула, не содержащая логической связи – атомарная.

Формула истинная на всех значениях своих аргументов -общезначимая формула – закон.

1. Коммутативность

L1&L2 = L2&L1

L1|L2 = L2|L1

2. Дистрибутивность

L1 & (L2 | L3) = (L1 & L2) | (L1 & L3)

L1 | (L2 & L3 )= (L1 | L2) & (L1 | L3)

3. Ассоциативность

L1 & (L2 & L3) = (L1 & L2) & L3

L1 | (L2 | L3) = (L1 | L2) | L3

4. Двойного отрицания

~(~L1) = L1

5. Де Морган

~(L1&L2) = ~L1|~L2

~(L1|L2) = ~L1&~L2

Аксиомы:

L1->(L2->L1)

L1->(L1 | L2)

L2->(L1|L2)

(L1&L2)-> L1

(L1&L2)-> L2

L1->( L2->( L1 & L2 ) )

(L1->L2)->( (L1->(L2->L3)) -> (L1->L3) )

(L1-> L2)-> ( (L2->~L1) -> ~L1 )

Для не общезначимых правил существуют системы вывода(=> следует) :

1. Модус поненс: если L1 – истина, то существует L1->L2 => L2 - истина

2. Простая резолюция – L1|L2 – истина, ~L2 => L1- истина

3. Резолюция - (L1|L2) &(~L2|L3) => L1|L3

4. Силлогизм – ( (L1=>L2) & (L2=>L3) ) => (L1=>L3)

5. L1 & L2 & L3…&LN , Li – истина

6. Li => L1|L2|L3…Li...|Ln

Для иллюстрации рассмотрим пример моделирования перемещений n интеллектуальных агентов (ИА) в здании, имеющим m помещений. Чтобы задать действия агентов (например, выход из здания во время пожара) в зависимости от их местонахождения необходимо ввести в модель следующие формулы:

L11 – ИА1 находится в помещении X1;

L12 – ИА1 находится в помещении X2;

…

L1m – ИА1 находится в помещении Xm;

L21 – ИА2 находится в помещении X1;

L22 – ИА2 находится в помещении X2;

…

Lnm – ИАn находится в помещении Xm;

A – В здании пожар;

B1 - ИА1 должен выйти из здания;

…

Bn – ИАn должен выйти из здания;

Правила вывода вида «Если в здании пожар и ИА находится у выхода (помещение X2), то он должен выйти из здания» будут выглядеть следующим образом:

A & L12 → B1;

A & L22 → B2;

…

A & Ln2 → Bn.

Используя заданную систему правил (формул) и оказавшись в нужном помещении, ИА может определить (вывести, доказать) необходимость выйти из здания во время пожара.

Логика предикатов

Каждому объекту присваивается идентификатор в виде одного или нескольких слов естественного языка. Переменные, которые могут принимать в качестве значений такие идентификаторы называются лингвистическими.

Предикат – логическая функция от одной или нескольких переменных, отражающая соответствующие зависимости, связи, отношения между объектами.

В качестве иллюстрации запишем в терминах логики предикатов пример, рассмотренный выше:

Зададим переменные Событие, Агент, Помещение и соответствующие им значения (константы):

Событие, {Пожар_в_здании, …};

Агент, {ИА1, ИА2, … ИАn};

Помещение, {Ауд. 1, Коридор_около_выхода, … , Крыша}.

Далее определим предикаты связи, действия и события:

Находится ( Агент, Помещение );

Выйти_из_здания ( Агент );

Произошло_событие (Событие).

Правила вывода (формулы) вида «Если в здании пожар и ИА находится у в коридоре около выхода, то он должен выйти из здания» будут выглядеть следующим образом:

Произошло_событие (Пожар_в_здании) & Находится (ИА1, Коридор_около_выхода )

=> Выйти_из_здания (ИА1 );

Терм - константа, переменная или предикат. Иногда к ним относят простейшие аксиомы, могут содержать кванторы.

Кванторы существования (∃) означает справедливость формулы или терма для отдельного значения переменной .

Кванторы всеобщности (∀) означает справедливость формулы или терма для всех возможных значений переменных.

Кванторы можно комбинировать.