4) Типы задач, решаемых при расчёте электрооборудования. Дуальность элементов

В рамках электротехники решаются 2 задачи: анализ и синтез (проектирование).

При проектировании различного рода устройств ав­томатического управления, каналов электропроводной и радиосвязи и т. п. возникает необходимость подбора схем и параметров электрических цепей, отвечающих оп­ределенным требованиям. Нахождение схемы и элемен­тов цепи, удовлетворяющей заданным условиям, состав­ляет задачу синтеза электрической цепи.

Ввиду того что установившийся и переходный про­цессы во всякой линейной электрической цепи зависят от частотных свойств цепи, задача синтеза обычно сводится к нахождению цепи по заданной частотной харак­теристике. Искомым может быть двухполюсник с задан­ной зависимостью сопротивления (или проводимости) от частоты либо четырехполюсник с заданной передаточной функцией или частотной зависимостью его параметров. Построение схемы пассивной цепи по заданной частотной функции принято называть реализацией или осу­ществлением функции.

В отличие от задачи анализа, в которой искомая ве­личина — реакция цепи на приложенное воздействие — получается однозначно, задача синтеза может иметь не­сколько решений (или вовсе не иметь решения). Задан­ная частотная функция считается реализуемой или осу­ществимой, если соответствующая ей электрическая цепь может быть составлена из сопротивлений, индуктивностей и емкостей (возможно также применение трансфор­маторов).

Поскольку задача синтеза может иметь несколько ре­шений, возникает необходимость сопоставления получен­ных вариантов и выбора оптимального решения.

В этом вопросе не имеется вполне определенного критерия, так как приходится сравнивать схемы с разно­родными элементами. При этом обычно руководствуются следующими соображениями. Желательны схемы с наи­меньшим количеством элементов, имеющие практически приемлемые параметры, причем предпочтение следует от­давать схемам, содержащим простейшие элементы — сопротивления и емкости.

Индуктивность — менее желательный элемент цепи. Если в схеме последовательно включены индуктивность и сопротивление, то они могут быть практически выпол­нены в виде индуктивной катушки. Однако при этом приходится считаться с витковой емкостью, которая мо­жет внести в работу цепи искажения при высоких ча­стотах.

Еще менее желательным элементом схемы является трансформатор, практическое осуществление которого сопряжено с появлением тепловых потерь и межвитковых емкостей. Кроме того, коэффициент связи может не совпадать с расчетным.

В задачах синтеза частотные характеристики сопро­тивлений, проводимостей или передаточных функций мо­гут быть заданы графически или аналитически. Если характеристика задана графически или не является рациональной функцией, то она приближенно аппроксимирует­ся рациональной функцией, т. е. отношением двух поли­номов, которое по определенным правилам синтеза реа­лизуется в виде двух- или четырехполюсника.

Таким образом, первым этапом в задаче синтеза яв­ляется аппроксимация заданной частотной характери­стики рациональной функцией; этот этап, относящийся к области математики, здесь не рассматривается. Второй этап заключается в реализации рациональной функции, что и составляет основное содержание данной главы.

Дуальность элементов

Рассматривая соотношения (табл. 1.1), прихо­дим к заключению, что выражения, соответствующие попарно сопро­тивлению и проводимости, емкости и индуктивности, имеют подобную структуру. Если в выражениях, описывающих основные соотношения для сопротивления, заменить на , на , R на G, то получат­ся основные соотношения для проводимости. Аналогично, выражения, описывающие основные соотношения для емкости и индуктивности, могут быть получены одно из другого путем замены на , на , L на С.

Элементы, для которых основные соотношения имеют одинаковую структуру и могут быть получены одно из другого путем таких за­мен, называются дуальными. Таким образом, емкость и индуктивность, сопротивление и проводимость (попарно) являются дуальными элементами.

Свойством дуальности обладают не только рассмотренные идеа­лизированные пассивные элементы. Из последующих разделов будет видно, что дуальными также могут быть идеализированные активные элементы и электрические цепи, составленные из идеализированных активных и пассивных элементов.

В ряде случаев использование принципа дуальности позволяет облегчить исследование процессов в цепи. Так, если известны основные соотношения, описывающие процессы в некоторой цепи, то соответствующие соотношения для дуальной цепи могут быть получены без вывода, на основании использования свойства дуальности.