Задача 2.

На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на единицу продукции			Запасы сырья
	I вид	II вид	III вид
I	1	2	1	430
II	3	0	2	460
III	1	4	0	420
Цена изделия	3	2	5

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции, если запас сырья I вида увеличить на 5 единиц, а II вида – уменьшить на 5 единиц;

• оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 7 у.е, если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 единицы соответственно.

Решение:

1). Прямая оптимизационная задача имеет вид:

F(x) =3X₁+2X₂+5X₃→ max

при ограничениях:

X₁+ 2X₂+X₃≤430

3X₁+2X₃≤460

X₁+4X₂ ≤420

X₁, X₂, X₃ ≥0.

Решение прямой оптимизационной задачи получим в среде Excel:

Таким образом, оптимальный план выпуска продукции (0; 100; 230),

целевая функция равна 1350, Х_i >= 0

Отчет по устойчивости:

В оптимальный план вошел выпуск 100 изделий II вида и 230 изделий III вида.

2). Двойственная задача имеет вид:

min (430Y₁ + 460Y₂ + 420Y₃)

Y₁ + 3Y₂ + Y₃ >= 3

2Y₁ + 4Y₃ >= 2

Y₁ + 2Y₂ >= 5

Подставим значения Хi из оптимального плана в ограничения исходной задачи:

Х₁ + 2Х₂ + Х₃ <= 430

3X₁ + 2X₃ <= 2

X₁ + 4X₂ <= 420

↓

0 + 2*100 + 230 = 430 = 430

3*0 + 2*230 = 460 = 460

0 + 4*100 = 400 < 420, следовательно, Y₃ = 0

Найдем оставшиеся значения оптимального плана двойственной задачи. Составим систему уравнений из тех ограничений двойственной задачи, которым соответствуют значения X_j > 0

2 Y₁ + 4Y₃ = 2

Y₁ + 2Y₂ = 5

Решая эту систему уравнений, получим следующий план двойственной задачи:

Y1	Y2	Y3
1	2	0

Подставим значения из оптимального плана двойственной задачи в целевую функцию:

min (430Y₁ + 460Y₂ + 420Y₃) = 430*1 + 460*2 + 420*0 = 1350

Итак, согласно первой теореме двойственности экспериментальные значения исходной и двойственной задач равны. Следовательно, решение верно. Значение целевой функции задачи равно 1350.

3). Те значения X_i, которые равны 0, объясняются тем, что затраты на производство этого изделия >= цены на это изделие.

∑ a_ij*Y_i >= C_i

(Нормированная стоимость отрицательна).

4).

• Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу (двойственные оценки измеряют эффективность малых приращений объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи).

В рассматриваемом примере увеличение запаса сырья II вида на 2 единицы привело бы к росту максимальной суммы прибыли на 2 у.е. (Y₂=2), а увеличение запаса сырья III вида не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и сумму прибыли (т.к. Y₃=0).

Сказанное позволяет выявить направления «расшивки» узких мест, обеспечивающие получение наибольшего экономического эффекта, а также целесообразность изменения в структуре выпуска продукции с позиций общего оптимума.

Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитными и какие совсем недефицитны (избыточны).

В задаче недефицитным ресурсом является запас сырья III вида, поскольку Y₃=0. Острее ощущается дефицитность ресурса запаса сырья II вида (Y₂=2) – он более дефицитен, чем ресурс I вида сырья (Y₁=1).

Двойственные оценки позволяют определить своеобразные «нормы заменяемости ресурсов»: имеется в виду не абсолютная заменяемость ресурсов, а относительная, т.е. заменяемость с точки зрения конечного эффекта и лишь в конкретных условиях данной задачи.

В данной задаче относительная заменяемость ресурсов определяется соотношением (нормой) = 1:2.

• Ответим на вопрос, как изменится выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 5 единиц, а II – уменьшить на 5 единиц?

Предполагается, что эти изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок. Проверим границы устойчивости двойственных оценок с помощью отчета по устойчивости (см. Отчет по устойчивости).

Как следует из допустимого увеличения и уменьшения запасов ресурсов, предлагаемые изменения находятся в пределах границ устойчивости.

Согласно второй теореме о дополняющей нежёсткости, следует составить и решить систему уравнений из тех ограничений исходной задачи, которым соответствуют Y_i>0.

Так как Y₁>0, Y₂>0, то система имеет вид:

X ₁+2X₂+X₃ = 430+5,

3X₁+2X₃ = 460-5

Х₁=0, следовательно, находясь в пределах устойчивости двойственных оценок, мы предполагаем, что нулевое значение X_i сохранится и соответствующее изделие по-прежнему невыгодно.

П одставляя нулевые значения Х_i и решая систему уравнений, получаем новый план выпуска изделий

2X₂+X₃ = 435,

2X₃ = 455

X ₃ = 227,5

X₂ = 103,75

X₁= 0; X₂=103,75; X₃=227,5

max (3X₁+2X₂+5X₃) = 3*0+2*103,75+5*227,5 = 1345

Выпуск изделия II увеличится на 3,75 ед., а выпуск изделия III уменьшится на 2,5 ед. Прибыль уменьшилась на 5 ед.

• В рассматриваемой задаче следует оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 7 у.е., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 единицы.

∑ a_ij*Y_i = 2*1+4*2+3*0 = 10 (себестоимость).

Сравним себестоимость с ценой: 7<10. Следовательно, производство нового изделия невыгодно.