Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Контрольная по теории вероятностей

.docx
Скачиваний:
106
Добавлен:
13.03.2015
Размер:
176.75 Кб
Скачать

1. На складе имеется 20 приборов, из которых два неисправны. При отправке потребителю проверяется исправность приборов.

Найти вероятность того, что три первых проверенных прибора окажутся исправными.

Решение:

Пусть событие А – первые три проверенных прибора – исправны.

Общее число случаев выбора 3 приборов из 20 равно . Число случаев благоприятствующих событию А, равно . Тогда

Ответ: .

2. При выпуске телевизоров количество экземпляров высшего качества в среднем составляет 80%. Выпущено 400 телевизоров.

Найти:

а) вероятность того, что 300 из выпущенных телевизоров высшего качества;

б) границы, в которых с вероятностью 0,9907 заключена доля телевизоров высшего качества.

Решение:

Имеем

а) Применим локальную теорему Муавра-Лапласа

, где и

б) Воспользуемся следствием из интегральной теоремы Муавра-Лапласа

, где

Т.к. , то , откуда

Следовательно, границы для доли равны:

Ответ: а) , б) .

3. В партии из восьми деталей шесть стандартных. Наугад отбирают две детали.

Составить закон распределения случайной величины – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти ее математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения.

Решение:

Случайная величина X принимает следующие значения: 0, 1, 2

По условию , следовательно,

Вероятности распределения найдем по схеме Бернулли

Составим закон распределения

X

0

1

2

p

0,0625

0,3750

0,5625

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Функция распределения:

Ответ: , .

4. Из 1560 сотрудников предприятия по схеме собственно-случайной бесповторной выборки отобрано 100 человек для получения статистических данных о пребывании на больничном листе в течение года. Полученные данные представлены в таблице.

Количество дней пребывания на больничном листе

Менее 3

3 – 5

5 – 7

7 – 9

9 – 11

Более 11

Итого

Число сотрудников

6

13

24

39

8

10

100

Найти:

а) вероятность того, что среднее число дней пребывания на больничном листе среди сотрудников предприятия отличается от их среднего числа в выборке не более чем на один день (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена доля всех сотрудников, пребывающих на больничном листе не более семи дней;

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли (см. п. б) можно гарантировать с вероятностью 0,98.

Решение:

а)

i

Интервалы

xi

Середины

интервалов

xi

ni

uini

ui2ni

ui +1

(ui +1)2ni

1

1 – 3

2

-2

6

-12

24

-1

6

2

3 – 5

4

-1

13

-13

13

0

0

3

5 – 7

6

0

24

0

0

1

24

4

7 – 9

8

1

39

39

39

2

156

5

9 – 11

10

2

8

16

32

3

72

6

11 – 13

12

3

10

30

90

4

160

100

60

198

418

, где k – ширина интервала по x, а с – один из серединных интервалов.

k = 2, с = 6

Проверка:

418 = 198 + 2·60 + 100 = 198 + 120 + 100 = 418 − расчеты верны.

Искомую вероятность найдем по формуле:

Р () = Ф(t) = γ, где t = , ,

Имеем ,

Найдем среднюю квадратическую ошибку выборки для средней по формуле:

,

t = = 4,07, γ = Ф(t) = Ф(4,07) = 0,9999

Вероятность равна Р() = 0,9999

Итак, вероятность того, что среднее число дней пребывания на больничном листе среди сотрудников предприятия отличается от их среднего числа в выборке не более чем на один день (по абсолютной величине) равна 0,9999.

б) m = 6 + 13 + 24 = 43 n = 100 N = 1560

Учитывая, что γ = Ф(t) = 0,95 t = 1,96 (по таблице), найдем предельную ошибку выборки для доли по формуле:

Теперь искомый доверительный интервал определяем по формуле:

Итак, с вероятностью 0,95 доля всех сотрудников, пребывающих на больничном листе не более семи дней заключена от 0,34 до 0,52.

в)

Объем выборки:

.

5. Распределение 110 образцов полимерных и композиционных материалов по содержанию в них нефтешламов X (%) и водопоглощению Y (%).

Y

X

15 – 25

25 – 35

35 – 45

45 – 55

55 – 65

65 – 75

Итого

5 – 15

17

4

21

15 – 25

3

18

3

24

25 – 35

2

15

5

22

35 – 45

3

13

7

23

45 – 55

6

14

20

Итого

20

24

21

18

13

14

110

Необходимо:

1. Вычислить групповые средние и и построить эмпирические линии регрессии.

2. Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости α = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний процент водопоглощения в образцах содержащих 35% нефтешламов.

Решение:

Y

X

20

30

40

50

60

70

Итого

10

17

4

21

20

3

18

3

24

30

2

15

5

22

40

3

13

7

23

50

6

14

20

Итого

20

24

21

18

13

14

110

1)

2) а)

, , , ,

, ,

Вычислим необходимые суммы:

Итак, уравнения регрессии:

yx – 42 = 1,12(x – 29,73)

xy – 29,73 = 0,80(y – 42)

или

yx = 1,12x + 8,70

xy = 0,80y – 3,87

Из уравнения регрессии Y по X следует, что при увеличении ПКМ по содержанию в них нефтешламов хотя бы на 1%, их водопоглощение увеличится в среднем на 1,12%. Уравнение X по Y показывает, что для увеличения водопоглощения ПКМ хотя бы на на 1% необходимо в среднем увеличить содержание в них нефтешламов на 0,80%.

Эмпирическая Y по X

Эмпирическая X по Y

yx = 1,12x + 8,70

xy = 0,80y -3,87

б) Коэффициент корреляции:

Итак, связь между рассматриваемыми переменными прямая и очень тесная.

Статистика критерия:

Для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы k = 110 – 2 = 108 находим критическое значение статистики t1-α;k = t0.95;108 = 1,99.

Поскольку t > t0.95;108 коэффициент корреляции между X и Y значимо отличается от нуля.

в) yx = 1,12 ∙ 35 + 8,70 = 47,9%.