16. Элементарная функция, классификация функций

Ф-ия наз-ся явной, если в левой части равенство с переменной y, а в правой – с x (y=3x+1). Ф-ия наз-ся неявной,если она задана ур-ем вида F(x;y),т.е. равенство не разрешено относительно у ( ).

Пусть у=f(х) есть ф-ия y от переменной х. тогда если мы выразим х через у х=q(у), то получим ф-ию х от переменной у, кот.наз-ся обратной с областью определения у и с областью значения х. (у= ). Теорема: для любой монотонной ф-ии есть обратная.

Св-во: графики обратных ф-ий симетричны относительно биссектрисы.

Пусть задана ф-ия у=f(u), в которой переменная u принадлежит множеству U и сама явл-ся ф-ей от переменной х. u= , y=f( ) – это сложная ф-ия. (y= ).

Из основных ф-ий новые ф-ии м.б. получены 2мя способами: 1)с помощью алгебраических действий, 2)с пом.образования слодной ф-ии. Ф-ии,построенные из основных элементарных ф-ий с помощью конечного числа алгебр.действий и образования сложн.ф-ий, наз-ся элементраными. Пример: y= +

Рис.

17. Предел числовой последовательности

Если по некоторому закону каждому натур.числу n ставится соотв-ие , то говорят, что задана числовая послед-ть. –обозначение послед-ти.

Число А наз-ся пределом числовой послед-ти , если для любого сколь угодно малого полож. числа найдётся такой номер N (N ), что начиная с члена послед-ти будет верно равен-во , n N. Обознач-ся предел: =А. послед-ть. Имеющая предел, наз-ся сходящейся; в противном случае-расходящийся.

Геометрический смысл предела числовой послед-ти: , - , -

Числа А есть предел числов.послед-ти , если для любого найдётся номер N,начиная с которого все члены послед-ти будут заключены в эпсилад-окрестности т.А, за исключением конечного числа членов данной послед-ти

18. Предел функции в бесконечности и в точке

Число А наз-ся пределом ф-ии у=f(х), при х стремящимся к бесконечности, если для любого сколь угодно малого полож-го числа найдётся полож-ое число S,зависящее от , что для всех верно нерав-во . f(x)

Можно сформулировать предел ф-ии при х,стрем-ся к , определённого знака: .

Пусть ф-ия f( ) определена в некоторой окрест-ти, кроме быть может самой точки . Число А наз-ся пределом ф-ии у=f(х) при х ,если для любого сколь угодно малого полож-го числа найдётся полож-ое число ( ) такая, что для всех х, удовлетворяющих будет верно неравен-во ε. Обознач-т .

Определение предела не треб-т сущ-ие ф-ии в самой точке . Если при стремлении х к переменная х принимает только значения большие, чем или только меньшие, чем , тогда речь идёт об односторонних пределах.

, если предел сущ-т.

19. Бесконечно малые величины

Ф-я наз-тся бесконечно малой при , если ; . Н.: явл. бесконечно малой при .

Св-ва бесконечно малых ф-ий: 1)если ф-я имеет предел при , то можно принять , где – бесконечно малая при 2)если ф-я представляется в виде , где –бесконечно малая при , то предел при будет равен , 3)сумма конечного числа бесконечно малых ф-ий при будет бесконечно малой ф-ей при , 4)произведение двух бесконечно малых ф-ий при есть бесконечно малая при , 5)произведение бесконечно малой ф-и при на ограниченную ф-ю есть бесконечно малая ф-я, при , 6) произведение бесконечно малой ф-и при на постоянную есть бесконечно малая при .