52. Ду второго порядка

Общий вид: F(x,y,y’,y’’)=0. Общее реш-е содержит 2 независимые произвольные постоянные с₁ и с₂. Если заданы начальные условия y(x₀)=y₀, y’(x₀) = y’₀, то из с-мы можно найти произв постоянные с₁ и с₂, тем самым найти частное реш-е

Ур-я 2-го порядка решаются путём применения неопределённого интегрирования в след случаях:

1. Пусть

; ; ;

;

+c

2.

Положим , тогда

=> данное ур-е примет вид: , те получаем ур-е 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Однородные линейные ДУ 2-го порядка имеет вид: ; p,q – нек действительные числа.

Искать решение в виде

λ²+pλ+q=0 – характеристическое ур-е.

1 случай: ур-е имеет 2 действит корня, λ₁≠ λ₂, тогда общее реш-е имеет вид:

2 случай: ур-е имеет 2 действит совп корня λ₁= λ₂= λ

Общее реш-е:

3 случай: корни квадратного ур-я мнимые: λ_1,2= ,

Общий вид:

53. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных вида: где p₀, p₁, …,p_n – функции от х или постоянные величины, причем p₀  0.

Левую часть этого уравнения обозначим L(y).

Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x)  0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p₀, p₁, p₂, … p_n – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков.

54. Числовые ряды.

Числовой ряд-символ, обозначаемый

Числа наз-ют членами этого ряда.

Суммы конечного числа членов этого ряда наз-ют частичными суммами или отрезками данного ряда.

Рассм. послед-сть . Если сущ-ет , то ряд наз-ют сходящимся, число –суммой этого ряда. Если послед-сть не имеет предела, то ряд расходящийся.

Пр. , ,

след-но данный числовой ряд сходится и его сумма =0.

Св-ва числовых рядов:1)если из членов ряда отбросить первых членов, то получим ряд , к-рый наз-тся –ным остатком. Остаток данного ряда сходится и расходится одновременно с исходным рядом. Это означает, что при исследовании сходимости ряда можно отбрасывать конечное число первых членов.

2)(необходимый признак сходимости). Общий член сходящегося ряда , т.е. , что не явл. достаточным признаком.

3)если ряд сходится и его сумма = , то ряд также сходится, и его сумма =

4)если 2 числовых ряда и сходятся, тогда ряд