49. Дифференциальные уравнения, неполные дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ДУ-ем наз-ся ур-ие связывающее ф-ию одной или нескольких переменных с её производными различных порядков. G(x,y,y’,y’’)=0. Если ф-ия от одной переменной,то это обыкновенное ДУ. Если от нескольких-частное ДУ. Порядком ДУ наз-ся порядок старших производных. (порядок =3,т.к. самая большая производная).

ДУ n-го порядка наз-ся разрешимым относ-но старшей производной,если оно м.б. записано так: и реш-ем этого ур-ия будет такая ф-ия y=y(x), при подстановки которой ур-ие обратится в тождество при любых х.

Теорема. Если в ДУ y’=f(x;y) ф-ия f и её производная f’y непрерывны на некотором множ-ве, тогда всегда найдётся реш-е ДУ y=y(x),удовлетворяющее начальному ус-ию и такое реш-е единственное.

Неполное ДУ 1го порядка.

y’=f(x) или y’=f(y)

1)если y’=f(x) , тогда ур-ие записываем dy=f(x)dx и интегрируем его: y=

2)если y’=f(y), тогда реш-е запис. в виде x=x(y), т.е. мы б.считать, что х-это ф-ия, а у-переменная, тогда ур-ие записывается: =f(y), , интегрируем x=

ДУ с разделяющимися переменными

, , интегрируем

y’=f(ax+by), где a и b-это числа, можно привести к ур-ию с разделяющимися переменными с помощью замены z=a+by’, y’=

50. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Ф-я f(x, y) называется однородной n – го измерения относительно своих аргументов х и у, если для любого значения параметра t (кроме нуля) выполняется тождество:

ДУ вида наз-ся однородным, если его правая часть f(x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов.

Любое уравнение вида является однородным, если функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одинакового измерения.

Решение любого однородного уравнения основано на приведении этого уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.

Рассмотрим однородное уравнение Т.к. функция f(x, y) – однородная нулевого измерения, то можно записать: Т.к. параметр t вообще говоря произвольный, предположим, что . Получаем:

Правая часть полученного равенства зависит фактически только от одного аргумента , т.е.

Исходное дифференциальное уравнение таким образом можно записать в виде: . Далее заменяем y = ux, .

таким образом, получили уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции u.

Далее, заменив вспомогательную функцию u на ее выражение через х и у и найдя интегралы, получим общее решение однородного дифференциального уравнения.

51. Линейные ду 1 порядка.

Дифференциальным уравнением наз соотношение, связывающее независ переменную x, искомую ф-ию y=f(x) и её производную.

Если искомая функция есть ф-ия одной независимой переменной, то ДУ наз обыкновенным, порядок старшей производной , входящей в ДУ, наз порядком данного ур-я.

Общий вид ДУ n-го порядка: (1)

Ф-ия y=f(x), кот-я при подстановке в ур-е (1) обращает этоур-е в тождество, наз-ся решением этого ур-я.

ДУ 1-го порядка имеет вид: F(x,y,y’)=0 (2) или y’=f(x,y)(3) в случае, если y’ можно выразить относительно x и y

Реш-е ур-я (3) наз-ся общим реш-ем этого ур-я.

Реш-е может получаться в неявной форме Ф(x,y,c)=0 – наз общим интегралом.

Реш-е, кот получается из общего при некотором фиксированном значении С наз частным решением. Условия, что при x=x₀ ф-ия y=y₀ наз начальным условием, кот-е позволяет из общего реш-я выделить частное.

Ур-я с разделяющимися переменными.

Ур-е вида наз ур-ем с разделяющимися переменными. Это ур-е можно записать в виде:

, домножим на :

Вычислим:

Однородные ДУ

Ф-ия f(x,y) наз однородной измерения М если имеет место тождество f(xt,yt)=t^m(x,y)

f(x,y) = x²-3xy+2y²

f(tx,ty)=(tx)²-3(tx)(ty)+2(ty)²=t²(x²-3xy+2y²)=t²f(x,y) – однородная ф-ия измерения t.

Ур-е M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 наз однородным ДУ 1-го порядка, если ф-ии M и N однородные ф-ии одного и того же измерения.

С помощью подстановки y=ux, где u – искомая ф-ия, зависящая от x, ур-е сводится к ур-ю с разделяющимися переменными.