
- •1.Матрицы и действия над ними.
- •3.Обратная матрица.
- •4 Ранг матрицы.
- •5.Системы линейных уравнений.
- •6. Системы линейных уравнений, метод обратной матрицы и метод Крамера
- •7.Системы линейных уравнений, метод Гаусса
- •8. Системы линейных однородных уравнений, фундаментальная система решений
- •11. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, расстояние от точки до прямой
- •14. Уравнение плоскости и прямой в пространстве
- •15. Функция и её основные свойства
- •16. Элементарная функция, классификация функций
- •17. Предел числовой последовательности
- •18. Предел функции в бесконечности и в точке
- •19. Бесконечно малые величины
- •20.Бесконечно большие величины
- •21. Основные теоремы о пределах ф-ии.
- •22. Замечательные пределы.
- •23. Понятие непрерывности ф-и.
- •24. Определение производной, зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •25. Схема вычисления производной, основные правила дифференцирования
- •26.Производная сложной функции. Производная обратных функций.
- •27. Производные основных элементарных функций, производные высших порядков.
- •28. Основные теоремы дифференциального исчисления.
- •29. Правило Лопиталя.
- •30. Возрастание и убывание функций.
- •31. Точки экстремума.
- •32.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •33. Выпуклость и вогнутость кривой.
- •34. Асимптоты.
- •35. Схема исследования функций
- •37. Первообразная функция. Неопределенный интеграл.
- •38. Неопределенный интеграл и его св-ва.
- •45. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определённом интеграле
- •47. Несобственные интегралы.
- •49. Дифференциальные уравнения, неполные дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •50. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •51. Линейные ду 1 порядка.
- •52. Ду второго порядка
- •53. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •54. Числовые ряды.
- •55. Необходимый признак сходимости гармонический ряд
- •58. Область сходимости степенного ряда
- •59.Ряд маклорена:
- •61. Функции нескольких переменных
- •65.Эмпирические формулы, метод наименьших квадратов
- •63. Экстремум функции нескольких переменных.
- •64. Условный экстремум, метод множителей Лагранжа
1.Матрицы и действия над ними.
Таблица
чисел вида
, состоящая из n
строк и m
столбцов
наз-тся матрицей размерности n*m.
Числа
наз-ют её элементами, если
,
то матрицу наз-ют прямоугольной, если
=
,то
квадратной. Если
=1,
а
1,то
матрица примет вид
и наз-тся матрицей-строкой. Если же
1,
а
=1,
то матрица наз-тся матрицей-столбцом.
Число строк в кв.матрице наз-ют ее
порядком. Две матрицы наз-ют равными
если они имеют одинак. размерность и
соответствующие элементы равны.
Сложение и вычитание матриц.Суммой двух матриц А и В одинакового размера наз-тся матрица С размерности ,эл-ты к-рой равны сумме соотв-щих элементов матриц А и В. Матрица 0 размерности ,все эл-ты к-рой=0 наз-тся нулевой матрицей. .Разностью двух матриц А и В размерности наз-тся матрица С размерности такая, что А=В+С. Из определения следует,что эл-ты матрицы С равны разности соотв.эл-=ов матриц А и В.
Св-ва сложения: сложение матриц коммутативно, т.е. А+В=В+А, сложение матриц ассоциативно, т.е. (А+В)+С=А+(В+С), А+0=0+А=А
Умножение матриц на число. Произведение матрицы А на число наз-тся матрицей 2А, элементы к-рой равны произведению числа на соотв. элемент матрицы А.
Умножение
матриц.
Произведение матриц размерности
и матрицы В размерности
наз-ся матрица С размерности
,
эл-ты к-рой
вычисляются как сумма произведений
соотв-щих эл-ов
-строки
матрицы А на
-столбца
матрицы В.
Пр.
Квадратная
матрица порядка
наз-тся единичной. Обозначается
это матрица с единицами на главной
диагонали.
Св-ва
умножения: умножение не коммутативно,
т.е. А*ВВ*А,
умножение матриц ассоциативно, т.е.
(А*В)*С=А*(В*С), если такие произведения
существуют, если А матрицы размерности
,
В размерности
,
то
Св-ва общие для операций над матрицами и операциями над числами: 1)А+В=В+А,2)(А+В)+С=А(В+С), 3)Т(А+В)=ТА+ТА (Т-число),4)А(В+С)=АВ+АС, 5)(А+В)С =АС+ВС,6)Т(А*В)=(ТА)В=А(ТВ),7)(АВ)С=А(ВС)
Отличие операций над матрицами и над числами: а)если произведение матриц А В сущ-т, то произведение В на А м.не сущ-ть (А2*3, В3*3, В*А-нельзя, несогласованная матрица), б) если произвед.матриц АВ и ВА сущ.,то они м.б.матрицами разных размеров
в)даже в случае когда оба произвед.А на В, В на А и им. одинак.размер,то переместительный (комутативный) для умножения в общем случае не выполняется
г)произв.2ух ненулевых матриц б.=0
возведение
в степень. Целой
полож.степенью
,где
m>1
в кв.матрице А наз-т произведение А*А m
раз.
=Е,
=А,
*
=
,(
=
Транспонирование
матрицы.Если
в матрице А размерности
все
стороки заменить соотв-щими столбцами,
то получим матрицу
размерности
,
к-рую наз-ют транспонированной матрицей
А.
Св-ва
транспонирования:
,
,
Элементарные преобразования строк матрицы: умножение строк матрицы на ненулевое действительное число;прибавление к одной строке матрицы другой, умноженной на нек-рое число, с помощью элементарных преобразований можно поменять местами две любые строки матрицы.
Ступенчатая
матрица-матрица,
обладающая след. св-вами:1)если
тая
строка нулевая то
также
нулевая.2)если первые ненулевые эл-ты
той
строки и
находятся
соотв-но в столбцах с номерами
и
.
Тогда
Т. Любую матрицу можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк матрицы.
2.Определители,
их св-ва. Определителем
2-го порядка наз-тся число, вычисляемое
по ф-ле
Определителем -го порядка, соотв-щим квадратной матрице -го порядка, наз-тся число, равное сумме произведений эл-ов какой-либо строки(столбца) на их алгебраическое дополнение.
Минором
наз-ют определитель, полученный из
данного путем вычеркивания
той
строки и
–того
столбца.
Алгебраическим
даполнением
наз-ют число равное
Т.Лапласа:Определитель -го порядка равен произведению элементов какой-либо строки(столбца) на соотв-щее алгебраическое дополнение.
Пр.
Св-ва
определителя: 1)Определитель треугольной
матрицы(все эл-ты матрицы расположенные
ниже(выше) гл.диагонали=0) равен
произведению эл-ов главной диагонали,
2)Опред. матрицы с нулевой строкой или
нулевым столбцом равен нулю, 3)При
транспонировании матрицы, определитель
не меняется., 4)Если матрица А получается
из матрицы В умножением каждого элемента
нек-рой строки(столбца) на число
,то
определитель равен
, 5)Если матрица В получается из матрицы
А перестановкой строк(столбцов), то
определитель меняет знак.
6)Опред.матрицы с пропорциональными строками(столбцами) равен 0. 7)Опред. матрицы не меняется если к одной из строк прибавить другую, умноженную на нек-рое действительное число,8)Опред.произведения=произведению определителей.
,
где А и В- квадратные матрицы одного
порядка.