5. Типичные ошибки

К 1-му заданию

соответствия между записями с параметрами в естественном языке и формулами

В 1-м задании проверяется (главным образом) ваше умение показать различие между следующими типами информации

запись с параметрами в естественном языке	формульное соответствие
(1) Если А, то В	А  В
(1) В, если А
(1) А достаточное условие для В
(2) Только если А, (верно) В	ВА или А  В
(2) В, только если А
(2) А необходимое условие для В
(3) А, если и только если В (3) А, тогда и только тогда, когда В	А  В
(3) А необходимое и достаточное условие для В
(4) А недостаточное условие для В	(А  В)
(5) А не необходимое условие для В	(В  А)
(6) А достаточное, но не необходимое условие для В	(А  В)   (В  А)
(7) А необходимое, но недостаточное условие для В	(В  А)   (А  В)
(8) А, разве что В	 В  А

Резюмируем

наиболее часто встречающиеся ошибки при определении структуры высказываний.

Криминал:«вообще не формула»   
Тип структуры	Неправильный вариант(ы), вообще не формула	Правильный вариант
И А, и В	&A&B	A&B
Или А, или В	АВ	АВ
Если А, то В	 (АВ);  АВ	АВ

Для сравнения представьте, что вам предложили поработать со следующими записями:

(х+²)-у=+ или 6у=12. Вы поймете, что кто-то совсем плохой, поскольку эти записи вообще не имеют смысла, они не являются правильно построенными арифметическими выражениями. (Ну, так не будьте такими же «совсем плохими».)

Ошибка: формула, но «не та»
Тип структуры	Неправильный вариант	Правильный вариант
А, если В	А  В	В  А
А, только если В	А  В	А  В
А, только если В	В  А	А  В
Если А, то В, если С.	А  (В  С) или (А  В)  С	А  (С  В) или (А  С)  В
А, разве что В	А  В; А  В;	 В  А
А недостаточное условие для В	А  В; А  В; А  В; В  А (и прочие фантазии)	 (А  В)
А не необходимое условие для В	В  А А  В; А  В; А  В; (и прочие фантазии)	 (В  А) или  (А  В)
А достаточное, но не необходимое условие для В	А  В; (А  В) (и прочие фантазии)	(А  В)   (В  А)

Другие примеры

Тип структуры	Примеры неправильных вариантов	Правильный вариант
А или D, если В, С или Е	(А  D)  (В  С  Е); (В&С  Е)  (А D) (в подчеркнутой части не хватает скобок, но даже если вы их поставите, будет ошибка: нужна не конъюнкция – , а дизъюнкция – )	(В С Е)  (А D)
А или D, если В и С, но в любом случае верно Е.	((А  D)  (В&С))&Е	((В&С)  (А D))&Е
А1 и А2 и А3, если В1или В2, разве что С.	(А1&А2&А3)((В1 В2)&С); (А1&А2&А3&C)(В1 В2); (В1В2)(А1&А2&А3&C); (В1В2&С)(А1&А2&А3) (не хватает скобок в подчеркнутой части); ((В1В2)&С)(А1&А2&А3)	((В1В2)& С)(А1&А2&А3)
А или D, только если В и С	(В&С)  (А D)	(А  D)  (В&С)
Если А, то В и С, если Е.	А  ((В&С)  Е); (А &В&С)  Е (А  Е)  (В&С)	А  (Е  (В&С))
Если А, то В, но не С, если D или Е.	А  ((В&С) (D Е)); (А&В&С) (D Е)	А  (( D Е)  (В&С))

Ко 2-му заданию

Ошибки в терминологии

Студенты любят говорить о посылках в формулах вида А&В, AvB, ¬A, A≡B. В формулах такого вида нет посылок (гипотез, допущений). В них ничего не допускается, не рассматривается на правах гипотез. О посылках можно говорить, только если формула имеет вид А⊃В (т.е. главный знак в формуле – импликация), либо если мы имеем дело не с отдельной формулой, а со схемой рассуждения. В последнем случае посылки записываются через запятую до знака следования (шага вывода) – |=.

Поэтому, в таких, например, формулах, как (p&r), (rvs), ((p&r)⊃q)&(rvs), – нет посылок.

Определить, является ли следующая схема рассуждения логически корректной: (qv¬r)vp, r, ¬p |= q (с точки зрения КЛВ).

Допустим, вы решаете этот вопрос табличным методом и, допустим, что вы правильно построили соответствующую таблицу истинности. В таком случае в вашей таблице не будет оценки переменных p, q и r, при которой все посылки ((qv¬r)vp, r, ¬p) истинны, а заключение (q) ложно и, значит, схема рассуждения логически корректна, между посылками и заключением имеет место отношение логического следования.

Как показывает история сдачи зачета по логике, студенты проявляют большую фантазию по части анализа таблицы истинности для схемы рассуждения. Вот несколько таких образчиков:

«схема рассуждения логически противоречива» – схема рассуждения не может быть ни логически противоречивой, ни тождественно-ложной, ни тождественно-истинной, ни логическим законом, ни логически недетерминированной – все эти понятия относятся к характеристикам ровно одной формулы, а не схемы рассуждения;

«схема рассуждения правильная, потому что при всех логических выражениях она истинна» – во-первых, рассуждения характеризуются не как истинные или ложные (это характеризация предложений), а как правильные или неправильные; во-вторых, словосочетание «логические выражения» в данном случае бессмысленно (при каких это «логических выражениях» что-то может быть истинным или ложным???);

«схема рассуждения правильная, потому что существует оценка, при которой все посылки истинны и заключение тоже истинно» – в отличие от двух предыдущих примеров, это выражение осмысленно, но тем не менее, ложно: в теории КЛВ недостаточно найти строчку в таблице, где все посылки истинны и заключение тоже истинно, для того, чтобы сделать вывод, что с логикой в схеме рассуждения все в порядке. Ведь наличие такой строки не исключает наличия другой, в которой все посылки истинны, а заключение ложно (именно такая строка в таблице показывает, что схема рассуждения логически некорректна). В КЛВ схема рассуждения логически корректна, е.т.е. не существует оценки переменных, при которой все посылки истинны, а заключение ложно.

К 3-му заданию

• В 3-м задании не пишите предложение русского языка, задавайте интерпретацию следующим образом: 1) выберите какое-то непустое множество (натуральных чисел, людей, студентов МГППУ и т.д.); 2) укажите, как вы понимаете нелогические константы, входящие в состав формулы (т.е. символы Р, Q, R, S, a, b, c, f, g, h и т.д.: x, y, z - не константы, а переменные, им не приписываете значения!). Таким образом, ответ к 3-му заданию оформляется приблизительно так:

I: 1) U – …

2) |a|_I – …

|b|_I – …

|P|_I – …

…

• В формуле $x(P(x,а) & P(x,с)), например, надо придать значения в интерпретации символам Р, а и с.

Причем символам а и с нужно сопоставить конкретные объекты из носителя интерпретации U. Т.е., если U – множество людей, тогда символу а можно приписать значение А.С.Пушкин или Александр Македонский или себя любимую/любимого и т.д., но нельзя приписать значение, скажем, Москва или МГППУ, или Волга, или Россия. Таких объектов в выбранном нами множестве – среди людей – мы не найдем. Также нельзя символам а и с сопоставить, например, значение студент. Выражение студент не задает ровно один конкретный объект!

Символу Р нужно будет сопоставить какой-то двухместный предикат на множестве людей (запись Р(х,а), как и запись Р(х,с), показывает, что Р – двухместный предикат); поэтому не годится Р сопоставлять значение студент (это одноместный предикат),  - это отношение задается на числах, а не на людях, и уж полным идиотизмом (который, тем не менее, самые продвинутые студенты демонстрируют на зачете) сопоставить этому символу, например, значение А.С.Пушкин или Наполеон.

К 4-му заданию