10. Общее решение линейного однородного рекуррентного соотношения с постоянными коэффициентами.

Пусть характеристическое ур-ние рекуррентного соотношения имеет р парно различных корней : крастностей соответственно , тогда посл-сть ( ) явл общим решением, где = , где - мн-н степени не выше i, завис от n

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

11. Числа Фибоначчи. Вывод формулы n-го числа Фибоначчи решением линейного

однородного рекуррентного соотношения 2-го порядка.

Линейным однородным рекуррентным соотношением второго порядка с постоянными коэффициентами называется рекуррентное соотношение вида:

          (2)

 - нейкие коэффициенты, причем   отлично от нуля. Уравнение вида

 - характеристическое уравнение рекуррентного соотношения (2).

     Теорема 1: Если характеристическое уравнение рекуррентного соотношения (2) имеет два различных корня  , то общее решение рекуррентного соотношения (2) имеет вид

Если рекуррентное соотношение имеет два равных корня   , то общее решение рекуррентного соотношения (2) имеет следующий вид

последовательность чисел Фибоначчи   задается линейным рекуррентным соотношением:

12. Общее решение линейного неоднородного рекуррентного соотношения с постоянными коэффициентами.

Общее решение неоднородного рекурентного соотношения есть сумма общего решения однородного соотношения и какого-либо решения из неоднородных рекурентных соотношений.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

13. Разбиение подстановки на циклы. Число подстановок n-элементного множества, имеющих предписанных циклический тип.

Циклом длины lназ. такая подстановка а конечного множества Y={y₁, . . ., у _l], что ш

Конечный цикл обозначается (y₁, y₂, . . ., y_l). Бесконечным циклом наз. такая П. счетного множества 

что для любого целого i s(y_i)=y_i+1 Обозначение бесконечного цикла таково:

Цикл длины 2 есть транспозиция. Группа S_n содержит ( п-1)! циклов длины п. Для любой подстановки g из S(X).существует такое разбиение множества X на непересекающиеся подмножества, что на каждом из них g действует как цикл. Конечные подмножества этого разбиения имеют вид 

где g^l(x}=x, а бесконечные -

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

14. Число Стирлинга 1-го рода. Рекуррентное соотношение для числа Стирлинга 1-го рода.

Числа Стирлинга первого рода (без знака) — количество перестановок порядка n с k циклами.

Числами Стирлинга первого рода (со знаком) s(n, k) называются коэффициенты многочлена:

где   — символ Похгаммера (убывающий факториал):

Как видно из определения, числа имеют чередующийся знак. Их абсолютные значения задают количество перестановок множества, состоящего из n элементов с k циклами.

Числа Стирлинга первого рода задаются рекуррентным соотношением:

, для n ≥ 0,

, для n > 0,

 для