Теорема Гаусса для магнитной индукции

Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

или в дифференциальной форме

Это эквивалентно тому, что в природе не существует «магнитных зарядов» (монополей), которые создавали бы магнитное поле, как электрические заряды создают электрическое поле^[5]. Иными словами, теорема Гаусса для магнитной индукции показывает, что магнитное поле является (полностью) вихревым.

Ни в каком электростатическом поле не существует никаких точек устойчивого равновесия, за исключением случая, когда заряды сидят друг на друге. Применяя закон Гаусса, легко понять почему. Во-первых, чтобы заряд пребывал в равновесии в некоторой точке Р₀, поле в ней должно быть равно нулю. Во-вторых, чтобы равновесие было устойчивым, требуется, чтобы смещение заряда из Р₀ в любую сторону вызывало восстанавливающую силу, направленную против смещения. Векторы электрического поля во всех окрестных точках должны показывать внутрь — на точку Р₀. Но как легко видеть, это нарушает закон Гаусса, если в Р₀ нет заряда.

В озьмем небольшую воображаемую поверхность, окружающую точку Р₀ (фиг. 5.1). Если повсюду вблизи Р₀ электрическое поле направлено к Р₀, то поверхностный интеграл от нормальной составляющей определенно не равен нулю. В случае, изображенном на фигуре, поток через поверхность должен быть отрицательным числом. Но, согласно закону Гаусса, поток электрического поля сквозь любую поверхность пропорционален количеству заряда внутри нее. Если в Р₀ нет заряда, то изображенное нами поле нарушит закон Гаусса. Уравновесить положительный заряд в пустом пространстве, в точке, в которой нет какого-нибудь отрицательного заряда, невозможно. Но если положительный заряд размещен в центре распределенного отрицательного заряда, то он может находиться в равновесии. Конечно, распределение отрицательного заряда должно само удерживаться на своем месте посторонними, неэлектрическими силами!

Этот вывод мы проделали для точечного заряда. Соблюдается ли он для сложной расстановки зарядов, относительное расположение которых чем-то фиксировано (скажем, стержнями)? Разберем этот вопрос на примере двух одинаковых зарядов, закрепленных на стержне. Может ли эта комбинация в каком-то электрическом поле застыть в равновесии? И опять ответ гласит: нет. Суммарная сила, действующая на стержень, не способна возвращать его к положению равновесия при любых направлениях  смещения.   Обозначим суммарную силу, действующую на стержень в любом положении, буквой F. Тогда F — это векторное поле. Повторяя те же рассуждения, что и выше, мы придем к заключению, что в положении устойчивого равновесия дивергенция F должна быть числом отрицательным. Но суммарная сила, действующая на стержень, равна произведению первого заряда на поле в том месте, где он находится, плюс произведение второго заряда на поле в том месте, где он находится:

 

Дивергенция Fдается выражением

Поток вектора напряженности Е электрического поля Ф_Е сквозь произвольную замкнутую поверхность S в однородной изотропной и линейной среде пропорционален алгебраической сумме электрических зарядов q, охватываемых этой поверхностью.