Границы применимости формулы Эйлера.
Формулы
были получены в предположении
справедливости закона Гука, однако
часто материал стержня работает за
пределами предела пропорциональности.
Из формулы
определим предельное значение гибкости:
,
откуда
-
для стали №3.
Значение предельной
гибкости зависит от материала, от его
упругих и прочностных свойств, и указаны
в справочнике. К примеру сталь №3-
=100;
дерево
=110
и др.
Формула Эйлера
была получена в предположении
справедливости закона Гука, однако она
справедлива только при,
(для
стали №3). Для примера подсчитаем
критическое напряжение
:
МПа>
=240Мпа.
При средних гибкостях
стержни работают за пределами упругости,
формула Эйлера не применима.
Не знаю надо это в этот вопрос или нет?
Русский учёный Ф.
С. Ясинский на основе обработки
экспериментальных данных получил
эмпирическую зависимость для критических
напряжений стержней средней гибкости
,
где а и b-
коэффициент апрксимации, кроме того a
и b
имеют размерность напряжений и не имеют
физического смысла, зависит только от
видов материала и указаны в справочнике.
Например: для стали №3 а=310Мпа; b=1,14Мпа;
то
МПа.
Стержни малой
гибкости, то есть при гибкостях
<60
имеют развитое сечение по сравнению с
высотой и прежде потеряет прочность,
чем устойчивость, то есть
МПа=const.
Диаграмма критических напряжений для стали №3.
К рисунку!:
=13=
Если при расчёте
сжатых и растянутых стержней на прочность
требовалось выполнение условия
(
R
– расчётное сопротивление материала;
Aнт
– площадь поперечного сечения нетто),
то теперь необходимо учесть
то обстоятельство, чтобы сжимающие
напряжения не оказались больше кр:
,
где Абр
– площадь поперечного сечения стержня
брутто. В знаменателе последнего
соотношения фигурирует площадь брутто
потому, что местные ослабления (ответствуя
под заклёпки или болты, канавки и т.п.)
не оказывают заметного влияния на
значение критической силы. Для обеспечения
определённого запаса по устойчивости
стержня должно соблюдаться неравенство
,
где n
– коэффициент запаса по устойчивости,
который зависит от возможности случайного
увеличения силы F
и возможности её внецентренного
приложения, от наличия начальных
несовершенств в геометрии стержня и
способах его опирания и т.д. Сопоставим
между собой неравенства и обозначим
отношение их правых частей через :
.
Отсюда
.
Величина
называется коэффициентом продольного
изгиба и определяет степень снижения
расчетного сопротивления материала
при продольном изгибе. Поскольку
коэффициент зависит от критического
напряжения, которое, например, для
упругого стержня определяется выражением
,
то очевидно, что он зависит от гибкости
стержня и от механических свойств
материала. Значения коэффициента для
различных материалов установлены
нормами и приводятся в виде таблиц.
Иногда в таких таблицах учитывается
зависимость
от возможных эксцентриситетов. С учётом
равенства
представим
в виде
.
Разделим это соотношение на :
.
Обозначим
и назовём расч
расчётным напряжением.
.
Эта формула удобна тем, что она позволяет
пользоваться одним расчётным сопротивлением
материала при растяжении и сжатии. Для
деревянных центрально сжатых элементов
при
;
при >70.
Если задана сжимающая сила, а также все
геометрические характеристики стержня,
то проверка прочности на сжатие с учётом
продольного изгиба каких-либо затруднений
не вызывает. Более сложной задачей
оказывается подбор сечения стержня при
заданной длине и сжимающей силе. Дело
в том, что коэффициент
зависит от гибкости стержня, а гибкость
неизвестна, поскольку неизвестно
сечение. В таком случае расчёт выполняется
методом последовательных приближений.
Вначале задаются каким-либо значением
(например 0,5) и из неравенства
определяют площадь поперечного сечения
стержня. По найденной площади подбирается
поперечное сечение, определяется его
радиус инерции и, наконец, гибкость
стержня. Для полученной гибкости по
таблице определяется уточнённое значений
,
после чего вычисляется напряжение. Если
оно отличается от расчётного сопротивления
на величину, большую допустимой нормами
погрешности, то определяется уточнённое
значение площади поперечного сечения.
Процесс последовательных приближений
продолжается до тех пор, пока разница
между напряжением расч
и расчётным сопротивлением не окажется
меньше, как правило, 2…3%.
=14=