- •1 Основные понятия и определения теории управления
- •4 Законы регулирования
- •5 Динамическая и статическая математическая модель системы. Линеаризация.
- •Передаточная функция
- •8 Частотные характеристики.
- •9 Временные характеристики.
- •10 Типовые звенья 1-го порядка и их характеристики.
- •Нестационарные системы управления.
- •19 Принцип аргумента. Критерий устойчивости Михайлова.
- •20 Критерий устойчивости Найквиста.
- •21 Устойчивость астатических систем по Найквисту.
- •22 Анализ устойчивости по лчх. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе.
- •25 Оценка качества регулирования при гармонических воздействиях.
- •26 Корневые методы оценки качества регулирования.
- •29 Модуляция. Виды модуляции.
- •Виды импульсной модуляции.
- •35 Устойчивость импульсных су.
- •36 Оценка качества импульсных су.
- •37 Цифровые су.
- •38 Графы систем управления. Формула Мейсона.
- •39 Преобразование уравнений состояния в обыкновенные дифференциальные уравнения системы.
Передаточная функция
Целью рассмотрения САУ может быть решение одной из двух задач: задачи анализа или задачи синтеза. Но в любом случае порядок исследования САУ включает в себя следующие этапы: математическое описание, исследование установившихся режимов, исследование переходных режимов.
Рассмотрим случай, когда в замкнутой системе можно выделить объект О и управляющее устройство УУ, как показано на рис.2.1.
Общее уравнение САУ получается из системы уравнений объекта и управляющего устройства.
Состояние объекта характеризуется выходной величиной x(t), регулирующим воздействием y(t) и возмущением f(t). Тогда выходная величина может быть представлена функцией:
Состояние управляющего устройства характеризуется регулирующим воздействием y(t) и входным воздействием (t). Процессы в УУ будут описываться двумя уравнениями:
Три последних уравнения полностью описывают процессы в САУ. Если в этих уравнениях исключить переменные y(t) и (t), то получим дифференциальное уравнение САУ:
Это уравнение оценивает состояние системы во времени, определяет переходные процессы и обычно называется уравнением динамики.
Однако в форме дифференциальных уравнений математическое описание в теории автоматического управления обычно не применяется вследствие сложности решения таких уравнений.
Исследование САУ существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления.
Возьмем некоторый элемент САУ, имеющий один вход и один выход. Дифференциальное уравнение элемента в общем случае имеет вид:
(2.1)
Если в уравнение (2.1) вместо функции времени и ввести функции и комплексного переменного р, поставив условием, что эти функции связаны зависимостями:
(2.2)
то оказывается, что дифференциальное уравнение, содержащее функции и , при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению, содержащему функции и :
(2.3)
Такой переход от дифференциального уравнения к однозначно соответствующему ему алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа.
Функция называется изображением функции , функция называется оригиналом функции .
Операция перехода от искомой функции к ее изображению (нахождение изображения от оригинала) называется прямым преобразованием Лапласа и записывается условно с помощью символа L как
Операция перехода от изображения к искомой функции (нахождение оригинала по изображению) называется обратным преобразованием Лапласа и записывается условно с помощью символа как
Формально переход от дифференциального уравнения к алгебраическому относительно изображения при нулевых начальных условиях получается путем замены символов дифференцирования оригиналов функций , соответственно на и функций - их изображениями . С комплексной переменной , как и с другими членами алгебраического уравнения, можно производить различные действия: умножение, деление, вынесение за скобки и т.д.
Так как возможность однозначного перехода от дифференциального уравнения к алгебраическому значительно упрощает расчеты, то важно убедиться в правомерности такого перехода.
Обозначим в исходном дифференциальном уравнении и согласно интегралу (2.2) найдем изображение:
Согласно правилу интегрирования по частям
При нулевых начальных условиях и с учетом (2.2) получим:
Таким образом, операция дифференцирования оригинала соответствует операции умножения изображения этого оригинала на комплексное число .
Так как
то и т.д.
Каждый элемент САУ в общем случае описывается дифференциальным уравнением вида (2.1). Следовательно, при выводе дифференциального уравнения системы в целом необходимо совместно решить несколько дифференциальных уравнений высших порядков.
Преобразование дифференциальных уравнений по Лапласу позволяет свести эту задачу к решению системы алгебраических уравнений. Определив из алгебраических уравнений изображение искомой функции , определяющей переходной процесс в системе, находят эту функцию, пользуясь таблицами оригиналов и изображений или по известным формулам обратного преобразования Лапласа.
Кроме того, преобразование дифференциального уравнения по Лапласу дает возможность ввести понятие передаточной функции.
Вынеся в уравнении (2.3) и за скобки, получим:
Определим из этого уравнения отношение изображения выходной величины к изображению входной:
(2.4)
Отношение изображения выходной величины элемента (или системы) к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией элемента (или системы).
Передаточная функция W(p) является дробно-рациональной функцией комплексной переменной р:
где - полином степени n,
- полином степени m.
Из определения передаточной функции следует, что:
Передаточная функция является основной формой математического описания объектов в теории автоматического управления и так как она полностью определяет динамические свойства объекта, то первоначальная задача расчета САУ сводится к определению передаточной функции.