Передаточная функция

Целью рассмотрения САУ может быть решение одной из двух задач: задачи анализа или задачи синтеза. Но в любом случае порядок исследования САУ включает в себя следующие этапы: математическое описание, исследование установившихся режимов, исследование переходных режимов.

Рассмотрим случай, когда в замкнутой системе можно выделить объект О и управляющее устройство УУ, как показано на рис.2.1.

Общее уравнение САУ получается из системы уравнений объекта и управляющего устройства.

Состояние объекта характеризуется выходной величиной x(t), регулирующим воздействием y(t) и возмущением f(t). Тогда выходная величина может быть представлена функцией:

Состояние управляющего устройства характеризуется регулирующим воздействием y(t) и входным воздействием (t). Процессы в УУ будут описываться двумя уравнениями:

Три последних уравнения полностью описывают процессы в САУ. Если в этих уравнениях исключить переменные y(t) и (t), то получим дифференциальное уравнение САУ:

Это уравнение оценивает состояние системы во времени, определяет переходные процессы и обычно называется уравнением динамики.

Однако в форме дифференциальных уравнений математическое описание в теории автоматического управления обычно не применяется вследствие сложности решения таких уравнений.

Исследование САУ существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления.

Возьмем некоторый элемент САУ, имеющий один вход и один выход. Дифференциальное уравнение элемента в общем случае имеет вид:

(2.1)

Если в уравнение (2.1) вместо функции времени и ввести функции и комплексного переменного р, поставив условием, что эти функции связаны зависимостями:

(2.2)

то оказывается, что дифференциальное уравнение, содержащее функции и , при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению, содержащему функции и :

(2.3)

Такой переход от дифференциального уравнения к однозначно соответствующему ему алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа.

Функция называется изображением функции , функция называется оригиналом функции .

Операция перехода от искомой функции к ее изображению (нахождение изображения от оригинала) называется прямым преобразованием Лапласа и записывается условно с помощью символа L как

Операция перехода от изображения к искомой функции (нахождение оригинала по изображению) называется обратным преобразованием Лапласа и записывается условно с помощью символа как

Формально переход от дифференциального уравнения к алгебраическому относительно изображения при нулевых начальных условиях получается путем замены символов дифференцирования оригиналов функций , соответственно на и функций - их изображениями . С комплексной переменной , как и с другими членами алгебраического уравнения, можно производить различные действия: умножение, деление, вынесение за скобки и т.д.

Так как возможность однозначного перехода от дифференциального уравнения к алгебраическому значительно упрощает расчеты, то важно убедиться в правомерности такого перехода.

Обозначим в исходном дифференциальном уравнении и согласно интегралу (2.2) найдем изображение:

Согласно правилу интегрирования по частям

При нулевых начальных условиях и с учетом (2.2) получим:

Таким образом, операция дифференцирования оригинала соответствует операции умножения изображения этого оригинала на комплексное число .

Так как

то и т.д.

Каждый элемент САУ в общем случае описывается дифференциальным уравнением вида (2.1). Следовательно, при выводе дифференциального уравнения системы в целом необходимо совместно решить несколько дифференциальных уравнений высших порядков.

Преобразование дифференциальных уравнений по Лапласу позволяет свести эту задачу к решению системы алгебраических уравнений. Определив из алгебраических уравнений изображение искомой функции , определяющей переходной процесс в системе, находят эту функцию, пользуясь таблицами оригиналов и изображений или по известным формулам обратного преобразования Лапласа.

Кроме того, преобразование дифференциального уравнения по Лапласу дает возможность ввести понятие передаточной функции.

Вынеся в уравнении (2.3) и за скобки, получим:

Определим из этого уравнения отношение изображения выходной величины к изображению входной:

(2.4)

Отношение изображения выходной величины элемента (или системы) к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией элемента (или системы).

Передаточная функция W(p) является дробно-рациональной функцией комплексной переменной р:

где - полином степени n,

- полином степени m.

Из определения передаточной функции следует, что:

Передаточная функция является основной формой математического описания объектов в теории автоматического управления и так как она полностью определяет динамические свойства объекта, то первоначальная задача расчета САУ сводится к определению передаточной функции.