Кулабухов С.Ю. Дискретная математика
.pdfx 3. pOLNYE SISTEMY SWQZOK
sWQZKU & PRINQTO NAZYWATX \{TRIH {EFERA" I OBOZNA^ATX SIMWOLOM j. sWQZKU _ INOGDA NAZYWA@T \OPERACIQ pIRSA" I OBOZNA^A@T #. oDNAKO MY PREDPO^TEM MNEMONI^ESKIJ PODHOD K OBOZNA^ENI@ \TIH SWQZOK.
tEOREMA 1. mNOVESTWA f&g I f_g QWLQ@TSQ POLNYMI SISTEMAMI SWQZOK. dOKAZATELXSTWO. 1. iZ TABLICY ISTINNOSTI DLQ SWQZKI & LEGKO USMATRIWAETSQ RAWNOSILXNOSTX:
:(a & b) a & b:
wOSPOLXZOWAW[ISX E@, POLU^IM:
:a :(a & a) a & a
a _ b :(:a & :b) :(:(a & a) & :(b & b)):((a & a) & (b & b)) (a & a) & (b & b):
tAKIM OBRAZOM, POLU^ENY RAWNOSILXNOSTI:
:a a & a
a _ b (a & a) & (b & b):
iSPOLXZUQ IH, RAWNOSILXNYMI PREOBRAZOWANIQMI KAVDU@ FORMULU IZ f: _g MOVNO PRIWES- TI K NEKOTOROJ FORMULE IZ f&g, TO ESTX WSQKAQ FORMULA IZ f: _g RAWNOSILXNA NEKOTOROJ
FORMULE IZ f&g. kROME TOGO, f: _g | P. S. S. pO TEOREME 3.2.1, P. 2, f&g | TOVE P. S. S.
2. pOLNOTA SISTEMY SWQZOK f_g DOKAZYWAETSQ ANALOGI^NO PREDYDU]EMU. pO\TOMU MY PRIWE- DEM LI[X NEOBHODIMYE DLQ RASSUVDENIQ RAWNOSILXNOSTI, KOTORYE TAKVE NEOBHODIMO PROWERITX.
:a (a _ a)
a & b (a _ a) _(b _b):
3.5. iSKL@^ITELXNOSTX SWQZOK & I _.
2 I f g | P. S. S., TO = & ILI = _.
dOKAZATELXSTWO. 1. pREDPOLOVIM, ^TO SWQZKA ODNOMESTNAQ. tOGDA WSQKAQ FORMULA IZ f g IMEET WID: a = : : : A, GDE A | NEKOTORAQ WYSKAZYWATELXNAQ PEREMENNAQ. tOGDA PRI A = 1,
a = 1 LIBO a = 0.
pUSTX PRI A = 1, a = 1. fORMULA A & B PRI A = 1, B = 0 PRINIMAET ZNA^ENIE A & B = 0, A PRI A = 1, B = 1, A & B = 1, TO ESTX FORMULA A & B PRI A = 1 MOVET PRINIMATX KAK ZNA^ENIE RAWNOE 0, TAK I RAWNOE 1. tOVE SAMOE WERNO I DLQ WSQKOJ FORMULY WIDA b = : : : B. tAKIM OBRAZOM, FORMULA A & B NERAWNOSILXNA NIKAKOJ FORMULE IZ f g. sLEDOWATELXNO, ODNOMESTNYE SWQZKI NE MOGUT UDOWLETWORQTX USLOWI@ TEOREMY.
2. pUSTX | DWUMESTNAQ SWQZKA, A I B | WYSKAZYWATELXNYE PEREMENNYE. |
|||||
A) pREDPOLOVIM, ^TO A B = 1, PRI A = 1 I B = 1. tOGDA L@BAQ FORMULA a = a(A1 A2 : : :An), |
|||||
SODERVA]AQ LI[X SWQZKU , PRI A1 = A2 = = An = 1 PRINIMAET ZNA^ENIE, RAWNOE 1, I POTOMU |
|||||
NERAWNOSILXNA, NAPRIMER, FORMULE b(A1 A2) = :A1 & A2, TAK KAK b(1 1) = 0. tAKIM OBRAZOM, |
|||||
A B = 0 PRI A = B = 1. |
|
|
|
||
b) tEPERX PREDPOLOVIM, ^TO A B = 0, PRI A = B = 0. w \TOM SLU^AE WSQKAQ FORMULA |
|||||
a = a(A1 A2 : : : An) 2 f g, PRI A1 = A2 |
= = An = 0 PRINIMAET ZNA^ENIE, RAWNOE 0, A |
||||
POTOMU NE MOVET BYTX RAWNOSILXNA, NAPRIMER, FORMULE b(A1 A2) = :A1 _A2, TAK KAK b(0 0) = 1. |
|||||
tAKIM OBRAZOM, A B = 1, PRI A = B = 0 |
|
|
|
||
c) tAKIM OBRAZOM, DLQ A B IMEEM SLEDU@]U@, NE DO KONCA OPREDELENNU@, TABLICU ISTIN- |
|||||
NOSTI. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
B |
A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
71
gLAWA III. aLGEBRA WYSKAZYWANIJ
d) pREDPOLOVIM, ^TO DLQ FORMULY a(A B) = A B IMEET MESTO: a(1 0) = 1, a(0 1) = 0.
tOGDA IMEEM:
A |
B |
A B |
:B |
|
|
||
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|TA TABLICA ISTINNOSTI POKAZYWAET, ^TO: a(A B) = A B :B. |TO OZNA^AET, ^TO WSQKAQ
FORMULA IZ f g RAWNOSILXNA NEKOTOROJ FORMULE IZ f:g. a TAK KAK f g | P. S. S., TO I f:g | P. S. S. pROTIWORE^IE. sLEDOWATELXNO, NEWOZMOVNO, ^TOBY a(1 0) = 1, A a(0 1) = 0.
e) pUSTX a(1 0) = 0, A a(0 1) = 1. tOGDA IMEEM:
A |
B |
A B |
:A |
|
|
||
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|TO OZNA^AET, ^TO
a(A B) = A B :A
kAK I W SLU^AE d) POLU^AEM, ^TO f:g | P. S. S., ^TO PROTIWORE^IT TEOREME 3.3.2. tAKIM OBRAZOM, TAKVE NEWOZMOVNO, ^TOBY
a(1 0) = 0, A a(0 1) = 1.
f) tAKIM OBRAZOM, DLQ a(A B) = A B OSTALOSX LI[X DWE WOZMOVNYE, OPREDELQ@]IE SWQZKU , TABLICY ISTINNOSTI.
A |
B |
A 1 B |
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
A |
B |
A 2 B |
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
nO \TO OZNA^AET, ^TO 1 = &, A 2 = _.
3.6.nOWYE TERMINY. oSNOWNYE SWQZKI. pOLNYE SISTEMY SWQZOK (P. S. S.). oTRICANIE
KON_@NKCII & ([TRIH {EFFERA). oTRICANIE DIZ_@NKCII _ (OPERACIQ pIRSA).
72
x 3. pOLNYE SISTEMY SWQZOK
3.7.kONTROLXNYE WOPROSY.
1.sKOLXKO \LEMENTOW WO MNOVESTWAH I ?
2.kAKOE MNOVESTWO OBOZNA^ENO ^EREZ f 1g DLQ 1 ?
3.oHARAKTERIZUJTE MNOVESTWO f?g.
4.oHARAKTERIZUJTE MNOVESTWO f g.
5.wERNO LI, ^TO f?g f g?
6.kAKIE IZ PRIWEDENNYH NIVE MNOVESTW QWLQETSQ P. S. S.:
a) f: !g |
b) f: ! g |
c) f: g |
d) f:g |
e) f& _g |
f) f& _ ! g |
g) . |
|
7. sFORMULIRUJTE OSNOWNYE REZULXTATY O P. S. S. IZ . 8. dAJTE SLOWESNOE OPREDELENIE SWQZOK & I _.
9. kAKIE IZ PRIWEDENNYH NIVE MNOVESTW QWLQ@TSQ P. S. S.:
|
|
|
|
|
|
a) f&g |
b) f |
& |
:g |
||
|
|||||
c) f |
& |
g [ |
d) f_ !g |
||
|
|||||
e) f_g. |
|
|
|
10. pERE^ISLITE WSE ODNO\LEMENTNYE P. S. S.
3.8.uPRAVNENIQ.
1.dOKAVITE, ^TO KOLI^ESTWO WSEH UNARNYH SWQZOK RAWNO 4, A BINARNYH | 16.
2.wOSPROIZWEDITE BOLEE DETALXNO, ^EM W TEKSTE, DOKAZATELXSTWO TEOREMY 3.2.1, P. 2.
3.pRIWEDITE DOKAZATELXSTWO P. 2 TEOREMY 3.3.2.
4.pRIWEDITE DOKAZATELXSTWO P. 2 TEOREMY 3.4.1.
5.rAWNOSILXNYMI PREOBRAZOWANIQMI PRIWEDITE SLEDU@]IE NIVE FORMULY K WIDU, SODERVA- ]EMU LI[X SWQZKU & (LI[X SWQZKU _):
(a) :a |
(b) a & b (c) a _ b |
(d) a ! b |
(e) a b. |
73
gLAWA IV
bULEWY FUNKCII
x 1. bULEWY FUNKCII. rEALIZACIQ BULEWYH FUNKCIJ FORMULAMI
bULEWY FUNKCII. pRIMERY BULEWYH FUNKCIJ. rEALIZACIQ BULEWYH FUNKCIJ FORMULAMI. rAW- NOSILXNYE FORMULY. dWOJSTWENNYE FUNKCII. pRINCIP DWOJSTWENNOSTI.
1.1.oPREDELENIE I PRIMERY BULEWYH FUNKCIJ.
oPREDELENIE 1. fUNKCII f: f0 1gn ! f0 1g NAZYWA@TSQ FUNKCIQMI ALGEBRY LOGIKI ILI BULE- WYMI FUNKCIQMI.
mNOVESTWO BULEWYH FUNKCIJ OT n PEREMENNYH OBOZNA^IM Pn:
Pn = ff j f: f0 1gn ! f0 1gg:
|
nETRUDNO PERE^ISLITX WSE BULEWY FUNKCII OT ODNOJ PEREMENNOJ: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
aRGUMENT |
|
|
|
|
bULEWY FUNKCII |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
x |
:x, |
|
, x0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f0(x) |
|
f1(x) |
|
|
|
|
|
f3(x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f2(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
wSEGO IMEETSQ ^ETYRE RAZLI^NYH BULEWYH FUNKCIJ OT ODNOJ PEREMENNOJ: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f0(x) = 0 | FUNKCIQ TOVDESTWENNO RAWNAQ NUL@ ILI TOVDESTWENNYJ NULX, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f1(x) = x | TOVDESTWENNAQ FUNKCIQ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
f2(x) = x0 | FUNKCIQ, KOTORU@ NAZYWA@T OTRICANIEM, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
f3 |
(x) = 1 | FUNKCIQ, TOVDESTWENNO RAWNAQ EDINICE ILI TOVDESTWENNAQ EDINICA. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
pERE^ISLIM WSE WOZMOVNYE BULEWY FUNKCII OT DWUH PEREMENNYH, UKAZAW NAIBOLEE UPOTREBI- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
TELXNYE OBOZNA^ENIQ DLQ NEKOTORYH IZ NIH: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
aRGU- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bULEWY FUNKCII |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
MENTY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
, & |
|
|
|
|
|
# |
|
|
x |
+, |
|
x0 |
|
|
|
|
y |
|
y0 |
|
_ |
|
|
j |
! |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
y |
g0 |
g1 |
g2 |
|
g3 |
|
g4 |
|
g5 |
|
g6 |
|
g7 |
|
g8 |
|
|
g9 |
|
g10 |
g11 |
|
g12 |
g13 |
g14 |
g15 |
|
|||||||
|
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wSEGO IMEETSQ [ESTNADCATX RAZLI^NYH BULEWYH FUNKCIJ OT DWUH PEREMENNYH. mNOGIE IZ NIH IME@T SPECIALXNYE NAZWANIQ:
g1(x y) = x y | KON_@NKCIQ, g4(x y) = x #y | STRELKA pIRSA,
g6(x y) = x + y | SLOVENIE PO MODUL@ 2 ILI SUMMA vEGALKINA,
74
x 1. bULEWY FUNKCII. rEALIZACIQ BULEWYH FUNKCIJ FORMULAMI
g8(x y) = x y | |
|
\KWIWALENCIQ |
, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
g11(x y) = x _ y | |
DIZ_@NKCIQ |
, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
g12(x y) = x jy | |
[TRIH {EFFERA |
, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
g13(x y) = x ! y | IMPLIKACIQ. |
|
|
|
|
|
||||||
tABLICA ZNA^ENIJ BULEWOJ FUNKCII NAZYWAETSQ TABLICEJ ISTINNOSTI. l@BU@ BULEWU FUNK- |
|||||||||||
CI@ OT n PEREMENNYH f(x1 x2 : : : xn) MOVNO ZADATX TABLICEJ ISTINNOSTI: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x1 |
|
x2 |
: : : |
xn |
f(x1 x2 : : : xn) |
|
||
|
|
|
0 |
|
0 |
: : : |
0 |
1 |
|
||
|
|
|
1 |
|
0 |
: : : |
0 |
2 |
|
||
|
|
|
0 |
|
1 |
|
: : : |
0 |
3 |
|
|
|
|
|
: : : |
: : : |
: : : |
: : : |
: : : |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
: : : |
1 |
2n |
|
GDE i 2 f0 1g, i = 1 2 : : : 2n. w \TOJ TABLICE IMEETSQ 2n STROK, SOOTWETSTWU@]IH RAZLI^NYM KOMBINACIQM ZNA^ENIJ PEREMENNYH, KOTORYM MOVNO SOPOSTAWITX 22n RAZLI^NYH STOLBCOW. nO KAVDYJ TAKOJ STOLBEC SOOTWETSTWUET KAKOJ-TO BULEWOJ FUNKCII OT n PEREMENNYH. tAKIM OBRA- ZOM, DOKAZANA
tEOREMA 1. ~ISLO RAZLI^NYH BULEWYH FUNKCIJ OT n PEREMENNYH RAWNO 22n ILI jPnj = 22n.
1.2.sU]ESTWENNYE I NESU]ESTWENNYE PEREMENNYE.
oPREDELENIE 1. gOWORQT, ^TO BULEWA FUNKCIQ f 2 Pn SU]ESTWENNO ZAWISIT OT PEREMEN- NOJ xi, ESLI SU]ESTWUET TAKOJ NABOR ZNA^ENIJ PEREMENNYH a1 : : : ai;1 ai+1 : : : an, ^TO
f(a1 : : : ai;1 0 ai+1 : : : an) 6= f(a1 : : : ai;1 1 ai+1 : : : an):
w \TOM SLU^AE xi NAZYWAETSQ SU]ESTWENNOJ PEREMENNOJ, W PROTIWNOM SLU^AE xi | NESU]EST-
WENNAQ (FIKTIWNAQ) PEREMENNAQ.
pRIMER 1. pUSTX BULEWY FUNKCII f1, f2 I f3 ZADANY TABLICAMI ISTINNOSTI:
x |
y |
f1 |
f2 |
f3 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
wIDNO, ^TO DLQ f1 PEREMENNAQ x QWLQETSQ SU]ESTWENNOJ, A y | NESU]ESTWENNOJ DLQ f2 OBE PEREMENNYE NESU]ESTWENNYE DLQ f3 OBE PEREMENNYE SU]ESTWENNYE.
pO OPREDELENI@ BUDEM S^ITATX BULEWY FUNKCII RAWNYMI, ESLI ODNA IZ DRUGOJ POLU^AETSQ UDALENIEM ILI WWEDENIEM NESU]ESTWENNYH PEREMENNYH. pO\TOMU DALEE BULEWY FUNKCII RASSMAT- RIWA@TSQ S TO^NOSTX@ DO NESU]ESTWENNYH PEREMENNYH. |TO POZWOLQET S^ITATX, ^TO WSE BULEWY FUNKCII DANNOGO MNOVESTWA BULEWYH FUNKCIJ OT OGRANI^ENNOGO W SOWOKUPNOSTI ^ISLA PEREMEN- NYH ZAWISQT OT ODNIH I TEH VE PEREMENNYH. tAKOE MNOVESTWO BULEWYH FUNKCIJ MOVNO TAKVE OBOZNA^ATX Pn, n = maxmi, GDE mi | KOLI^ESTWO SU]ESTWENNYH PEREMENNYH i-OJ FUNKCII IZ Pn.
1.3.rEALIZACIQ BULEWYH FUNKCIJ FORMULAMI. pUSTX = ff1 f2 : : : fmg | MNO-VESTWO BULEWYH FUNKCIJ.
oPREDELENIE 1. fORMULOJ NAD NAZYWAETSQ WYRAVENIE WIDA
F[ ] = f(t1 t2 : : : tn)
GDE f 2 I ti LIBO PEREMENNAQ, LIBO FORMULA NAD .
75
gLAWA IV. bULEWY FUNKCII
mNOVESTWO NAZYWAETSQ BAZISOM, f | GLAWNOJ (WNE[NEJ) OPERACIEJ (FUNKCIEJ), A ti |
PODFORMULAMI. wSQKOJ FORMULE F ODNOZNA^NO SOOTWETSTWUET NEKOTORAQ BULEWA FUNKCIQ f. w \TOM SLU^AE GOWORQT, ^TO FORMULA F REALIZUET FUNKCI@ f I OBOZNA^A@T:
f = func F:
zNAQ TABLICY ISTINNOSTI DLQ FUNKCIJ BAZISA, MOVNO WY^ISLITX TABLICU ISTINNOSTI TOJ FUNK- CII, KOTORU@ REALIZUET DANNAQ FORMULA.
pRIMER 1. pUSTX = f !g I F = (x y) ! x. tOGDA
x |
y |
x y |
(x y) ! x = F |
|
|
||
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
pRIMER 2. pUSTX = f_ 0 g I F = (x y) _ (x y0). tOGDA
x |
y |
x y |
x y0 |
(x y) _ (x y0) = F |
|
|
|||
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
1.4.rAWNOSILXNYE FORMULY. lEGKO PONQTX, ^TO ODNA BULEWA FUNKCIQ NAD DANNYM BA-
ZISOM MOVET IMETX MNOGO REALIZACIJ.
oPREDELENIE 1. fORMULY, REALIZU@]IE ODNU I TU VE BULEWU FUNKCI@ NAZYWA@TSQ RAWNO- SILXNYMI, TO ESTX
F1 F2 () func F1 = func F2:
tEOREMA 1. dLQ L@BYH BULEWYH FUNKCIJ f, g I h ISTINNY SLEDU@]IE RAWNOSILXNOSTI.
1.f00 f:
2.iDEMPOTENTNOSTX KON_@NKCII, DIZ_@NKCII I SLOVENIQ PO MODUL@ DWA: f f f f _ f f f + f f:
3.kOMMUTATIWNOSTX KON_@NKCII, DIZ_@NKCII I SLOVENIQ PO MODUL@ DWA: f g g f f _ g g _ f f + g g + f
4.aSSOCIATIWNOSTX KON_@NKCII, DIZ_@NKCII I SLOVENIQ PO MODUL@ DWA: f (g h) (f g) h f _ (g _ h) (f _ g) _ h f + (g + h) (f + g) + h:
5.dISTRIBUTIWNYE ZAKONY:
f(g _ h) (f g) _ (f h) f _ (g h) (f _ g) (f _ h) f (g + h) (f g) + (f h):
6.zAKONY POGLO]ENIQ:
f(f _ g) f f _ (f g) f:
7.zAKONY DE mORGANA:
(f g)0 f0 _ g0 (f _ g)0 f0 g0:
8.f _ f0 1 f f0 0:
76
x 1. bULEWY FUNKCII. rEALIZACIQ BULEWYH FUNKCIJ FORMULAMI
9.f 1 f, f _ 0 f, f _ 1 1, f 0 0, 10 0, 00 1.
10.zAKON KONTRAPOZICII: f ! g g0 ! f0:
11.pRAWILO ISKL@^ENIQ IMPLIKACII: f ! g f0 _ g
12.pRAWILO ISKL@^ENIQ \KWIWALENCII: f g (f ! g) (g ! f):
13.f0 f j f f #f f + 1.
14.f jg (f g)0, f # g (f _ g)0.
15.f _ g (f j f) j(g j g), f g (f # f) #(g # g), f ! g f j(g j g).
16.f + g (f g)0.
dOKAZATELXSTWO \TIH RAWNOSILXNOSTEJ PROWODITSQ POSTROENIEM TABLIC ISTINNOSTI.
1.5.pODSTANOWKA I ZAMENA. eSLI W FORMULU F WHODIT PEREMENNAQ x, TO \TOT FAKT BU-
DEM OBOZNA^ATX F (: : : x : : :). zAPISX F (: : : G : : :) OBOZNA^AET, ^TO FORMULA F SODERVIT W SWOEJ ZAPISI PODFORMULU G. wMESTO PODFORMULY (W ^ASTNOSTI, WMESTO PEREMENNOJ) W FORMULU MOVNO PODSTAWITX DRUGU@ FORMULU (W ^ASTNOSTI, PEREMENNU@), W REZULXTATE POLU^ITSQ NOWAQ PRAWILX- NO POSTROENNAQ FORMULA. eSLI POSTANOWKA PROIZWODITSQ WMESTO NEKOTORYH WHOVDENIJ (W TOM ^ISLE WMESTO ODNOGO), TO REZULXTAT PODSTANOWKI OBOZNA^IM F (: : : G1 : : :)fG2=G1g. eSLI VE POD- STANOWKA PROIZWODITSQ WMESTO WSEH WHOVDENIJ ZAMENQEMOJ PODFORMULY (ILI PEREMENNOJ), TO REZULXTAT PODSTANOWKI OBOZNA^IM F (: : : G1 : : :)fG2==G1g.
pRIMER 1.
1.x _ x0fy z==xg = (y z) _ (y z)0.
2.x ! (y _ z)fx0==y _ zg = x ! x0.
3.zAMENA PERWOGO WHOVDENIQ PEREMENNOJ: x x0fy=xg = y x0.
4.zAMENA WTOROGO WHOVDENIQ PODFORMULY: x _ (y z)0 _ (y z)fx=y zg = x _ (y z)0 _ x.
pRAWILO ZAMENY. eSLI W FORMULE ZAMENITX NEKOTORU@ PODFORMULU NA RAWNOSILXNU@ EJ, TO POLU^ITSQ RAWNOSILXNAQ FORMULA
G1 G2 =) F (: : : G1 : : :) F (: : : G1 : : :)fG2=G1g:
pRAWILO PODSTANOWKI. eSLI W RAWNOSILXNYH FORMULAH WMESTO WSEH WHOVDENIJ NEKOTOROJ PEREMENNOJ x POSTAWITX ODNU I TU VE FORMULU, TO POLU^ATSQ RAWNOSILXNYE FORMULY
F1(: : : x : : :) F2(: : : x : : :) =) F1(: : : x : : :)fG==xg F2(: : : x : : :)fG==xg:
pRIMER 2. tAK KAK x ! y x0 _ y, TO, PO PRAWILU ZAMENY
(z (x ! y)) _ (x ! y) (z (x ! y)) _ (x0 _ y) = (z (x ! y)) _ (x ! y)fx0 _ y=x ! yg: tAK KAK x0 (y ! x) (x + 1) (y ! x), TO, PO PRAWILU ZAMENY, IMEEM
x0 (y ! x)fx _ z==xg (x + 1) (y ! x)fx _ z==xg
ILI
(x _ z)0 (y ! (x _ z)) ((x _ z) + 1) (y ! (x _ z)):
oTMETIM, ^TO W PRAWILE PODSTANOWKI USLOWIE ZAMENY WSEH WHOVDENIJ SU]ESTWENNO. nAPRIMER, x _ x0 1 I x _ x0fy==xg = y _ y0 1, NO x _ x0fy=xg = y _ x0 6 1.
77
gLAWA IV. bULEWY FUNKCII
1.6.pRINCIP DWOJSTWENNOSTI.
oPREDELENIE 1. pUSTX f(x1 : : : xn) 2 Pn | BULEWA FUNKCIQ, TOGDA FUNKCIQ f (x1 : : : xn) = f0(x01 : : : x0n)
NAZYWAETSQ DWOJSTWENNOJ K BULEWOJ FUNKCII f.
iZ OPREDELENIQ NEPOSREDSTWENNO WIDNO, ^TO DLQ L@BOJ BULEWOJ FUNKCII f WYPOLNQETSQ RA- WENSTWO f = f.
pRIMER 1. pUSTX f = x_y, g = x, h = x0, TOGDA, IZ OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO f = (x0_y0)0 x y,
g = (x0)0 = x00 x, h = (x00)0 = x000 x0.
bUDEM NAZYWATX FUNKCI@ f SAMODWOJSTWENNOJ, ESLI f f. iZ PREDYDU]EGO PRIMERA WID- NO, ^TO OTRICANIE I TOVDESTWENNAQ FUNKCIQ QWLQ@TSQ SAMODWOJSTWENNYMI, A DIZ_@NKCIQ NE SAMODWOJSTWENNAQ.
tEOREMA 1. eSLI BULEWA FUNKCIQ '(x1 : : : xn) REALIZOWANA FORMULOJ
f(f1(x1 : : : xn) : : : fn(x1 : : : xn))
GDE f f1 : : : fn | BULEWY FUNKCII, TO FORMULA
f (f1 (x1 : : : xn) : : : fn(x1 : : : xn))
REALIZUET FUNKCI@ ' (x1 : : : xn).
dOKAZATELXSTWO. ' (x1 : : : xn) = '0(x01 : : : x0n) = func f0(f1(x01 : : : x0n) : : : fn(x01 : : : x0n)) = = func f0(f100(x01 : : : x0n) : : : fn00(x01 : : : x0n)) = func f0(f1 0(x1 : : : xn) : : : fn0(x1 : : : xn) =
= func f (f1 (x1 : : : xn) : : : fn(x1 : : : xn)).
sLEDU@]AQ TEOREMA NOSIT NAZWANIE \PRINCIP DWOJSTWENNOSTI" I DOKAZYWAETSQ METODOM MA- TEMATI^ESKOJ INDUKCII, PRI \TOM INDUKCIONNYJ PEREHOD PROISHODIT NA OSNOWE TOLXKO ^TO DO- KAZANNOJ TEOREMY.
tEOREMA 2 (pRINCIP DWOJSTWENNOSTI). pUSTX = ff1 : : : fmg I = ff1 : : : fmg | BAZISY. tOGDA, ESLI FORMULA F NAD BAZISOM REALIZUET FUNKCI@ f, TO FORMULA F NAD BAZISOM , POLU^ENNAQ IZ FORMULY F ZAMENOJ fi NA DWOJSTWENNYE FUNKCII fi , REALIZUET FUNKCI@ f , TO ESTX
f = func F [ ] =) f = func F [ ]
GDE F [ ] = F [ ]ffi ==figmi=1.
1.7.nOWYE TERMINY. bULEWY FUNKCII. sU]ESTWENNYE I NESU]ESTWENNYE PEREMENNYE.
bAZIS, GLAWNAQ (WNE[NQQ) OPERACIQ (FUNKCIQ), PODFORMULA. rAWNOSILXNYE FORMULY. pODSTANOW- KA I ZAMENA. dWOJSTWENNAQ I SAMODWOJSTWENNAQ FUNKCII. pRINCIP DWOJSTWENNOSTI.
1.8.kONTROLXNYE WOPROSY.
1.sKOLXKO SU]ESTWUET RAZLI^NYH BULEWYH FUNKCIJ OT TREH PEREMENNYH?
2.sKOLXKO FORMUL REALIZUET DANNU@ FUNKCI@ f NAD DANNYM BAZISOM ?
3.eSLI SOSTOIT IZ SAMODWOJSTWENNYH BULEWYH FUNKCIJ, TO ^TO MOVNO SKAZATX O ?
4.~EMU RAWNA FORMULA (x y) _ (z + (x y)0)fx==x yg?
78
x 1. bULEWY FUNKCII. rEALIZACIQ BULEWYH FUNKCIJ FORMULAMI
1.9.uPRAVNENIQ.
1.dOKAVITE, ^TO ^ISLO BULEWYH FUNKCIJ OT n PEREMENNYH, SREDI KOTORYH ROWNO k NESU]EST- WENNYH RAWNO 22n k .
2.pROWERXTE RAWNOSILXNOSTI TEOREMY 1.4.1 PUTEM POSTROENIQ TABLIC ISTINNOSTI.
3.nAJDITE FUNKCII, DWOJSTWENNYE FUNKCIQM , !, , +, j, #.
4.wYRAZITE FUNKCII _, !, , +, j, # ^EREZ FUNKCII I 0.
5.wYRAZITE FUNKCII _, , , +, j, # ^EREZ FUNKCII ! I 0.
79
x 2. pOLNYE KLASSY BULEWYH FUNKCIJ
rAZLOVENIE BULEWOJ FUNKCII PO PEREMENNOJ. wYRAVENIE BULEWYH FUNKCIJ ^EREZ OTRICANIE, KON_@NKCI@ I DIZ_@NKCI@. sOWER[ENNYE NORMALXNYE FORMY BULEWYH FUNKCIJ. zAMKNU- TYE, SOBSTWENNYE M POLNYE KLASSY BULEWYH FUNKCIJ. pRIMERY POLNYH KLASSOW. tEOREMA O POLNOTE SISTEMY BULEWYH FUNKCIJ.
w SOWREMENNYH |wm SISTEMA KOMAND CENTRALXNOGO PROCESSORA PREDSTAWLQET SOBOJ, FAKTI^ES- KI, NEKOTOROE KONE^NOE MNOVESTWO BULEWYH FUNKCIJ. w SWQZI S \TIM WOZNIKAET WOPROS: SU]ESTWU- @T LI (I ESLI SU]ESTWU@T, TO KAKIE) KLASSY BULEWYH FUNKCIJ, OBLADA@]IE TEM SWOJSTWOM, ^TO S IH POMO]X@ MOVNO WYRAZITX WSE DRUGIE BULEWY FUNKCII? w \TOM PARAGRAFE BUDET DOKAZANA TEOREMA pOSTA O POLNOTE KLASSA BULEWYH FUNKCIJ W KOTOROJ USTANAWLIWA@TSQ NEOBHODIMYE I DOSTATO^NYE USLOWIQ TOGO, ^TOBY KLASS BULEWYH FUNKCIJ OBLADAL \TIM SWOJSTWOM
2.1.wYRAVENIE BULEWYH FUNKCIJ ^EREZ OTRICANIE, KON_@NKCI@ I DIZ_@NKCI@.
w \TOM PUNKTE DOKAZYWAETSQ, ^TO WSE BULEWY FUNKCII (OT L@BOGO KOLI^ESTWA ARGUMENTOW) REA- LIZU@TSQ FORMULAMI NAD BAZISOM f0 _g.
lEMMA 1 (O RAZLOVENII FUNKCII PO PEREMENNOJ). dLQ PROIZWOLXNOJ BULEWOJ FUNKCII OT n PE- REMENNYH f(x1 : : : xn) WERNY SLEDU@]IE FORMULY, NAZYWAEMYE FORMULAMI RAZLOVENIQ \TOJ FUNKCII PO PEREMENNOJ xn:
f(x1 : : : xn) |
; |
f(x1 |
: : : xn;1 1) |
xn |
|
_ |
; |
f(x1 |
: : : xn;1 0) |
x0n |
|
(1) |
|||||||
f(x1 : : : xn) |
; |
f(x1 : : : xn;1 1) |
_ |
0 |
|
; |
f(x1 : : : xn;1 0) |
_ |
xn |
|
(2) |
||||||||
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
dOKAZATELXSTWO. dOKAVEM FORMULU (1). nUVNO PROWERITX, ^TO FUNKCII, STOQ]IE W LEWOJ I PRA- WOJ ^ASTQH RAWNOSILXNOSTI, PRI ODINAKOWYH ZNA^ENIQH ARGUMENTOW IME@T RAWNYE ZNA^ENIQ. rAS-
SMOTRIM SNA^ALA WSEWOZMOVNYE NABORY ARGUMENTOW WIDA (a1 : : : an;1 1), GDE a1 : : : an;1 2 f0 1g I WY^ISLIM KAKIE ZNA^ENIQ PRINIMA@T NA NABORAH TAKOGO WIDA FUNKCII, STOQ]IE W PRAWOJ I
LEWOJ ^ASTQH DOKAZYWAEMOJ RAWNOSILXNOSTI.
;f(a1 : : : an;1 1) 1 _ ;f(a1 : : : an;1 0) 0 = f(a1 : : : an;1 1):
wIDNO, ^TO NA \TOM NABORE PEREMENNYH LEWAQ I PRAWAQ ^ASTX DOKAZYWAEMOJ RAWNOSILXNOSTI SOW- PADA@T.
dLQ WSEWOZMOVNYH NABOROW ZNA^ENIJ PEREMENNYH WIDA (a1 : : : an;1 0) TAKVE LEWAQ I PRAWAQ ^ASTI SOWPADA@T, TAK KAK
;f(a1 : : : an;1 1) 0 _ ;f(a1 : : : an;1 0) 1 = f(a1 : : : an;1 0):
iTAK, FUNKCII IZ OBEIH ^ASTEJ DOKAZYWAEMOJ RAWNOSILXNOSTI PRINIMA@T ODINAKOWYE ZNA^ENIQ PRI ODINAKOWYH ZNA^ENIQH IH ARGUMENTOW. sLEDOWATELXNO, \TI FUNKCII RAWNOSILXNY I RAWNO- SILXNOSTX (1) SPRAWEDLIWA.
rAWNOSILXNOSTX (2) DOKAZYWAETSQ ANALOGI^NO. pRODELAJTE \TO SAMOSTOQTELXNO. zAMETIM, ^TO PODOBNYE FORMULY WERNY I DLQ OSTALXNYH PEREMENNYH x1 : : : xn;1.
tEOREMA 1. wSQKAQ BULEWA FUNKCIQ MOVET BYTX PREDSTAWLENA W WIDE SUPERPOZICII OTRI-
CANIQ, KON_@NKCII I DIZ_@NKCII, TO ESTX L@BAQ BULEWA FUNKCIQ REALIZUETSQ FORMULOJ NAD BAZISOM f0 :_g.
dOKAZATELXSTWO. mETOD MATEMATI^ESKOJ INDUKCII PO ^ISLU n ARGUMENTOW BULEWOJ FUNKCII. w PREDYDU]EM PARAGRAFE PERE^ISLENY WSE BULEWY FUNKCII OT ODNOGO ARGUMENTA. tAK KAK
f0(x) = 0 x x0
f1(x) = x f2(x) = x0
f3(x) = 1 x _ x0
80