Кулабухов С.Ю. Дискретная математика1

mINISTERSTWO OB]EGO I PROFESSIONALXNOGO OBRAZOWANIQ rOSSIJSKOJ fEDERACII

tAGANROGSKIJ RADIOTEHNI^ESKIJ UNIWERSITET

s. `. kULABUHOW

dISKRETNAQ MATEMATIKA

(KONSPEKT LEKCIJ)

tAGANROG

2001

s. `. kULABUHOW.

dISKRETNAQ MATEMATIKA. tAGANROG, 2001.

kONSPEKT SODERVIT LEKCII I UPRAVNENIQ PO KURSU \dISKRETNAQ MATEMATIKA", KOTORYJ ^I- TAETSQ W tAGANROGSKOM RADIOTEHNI^ESKOM UNIWERSITETE DLQ STUDENTOW, OBU^A@]IHSQ PO SPECI- ALXNOSTI 010200 \pRIKLADNAQ MATEMATIKA I INFORMATIKA".

dLQ STUDENTOW WYS[IH U^EBNYH ZAWEDENIJ.

c kULABUHOW s. `. 2001

sODERVANIE

3.2.sUPERPOZICIQ SOOTWETSTWIJ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 22

3.3.aSSOCIATIWNOSTX SUPERPOZICII SOOTWETSTWIJ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23

3.4.sUPERPOZICIQ FUNKCIJ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23

3.5.sWOJSTWA TOVDESTWENNOJ I OBRATNOJ FUNKCII. : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23

3.6.pREOBRAZOWANIQ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24

3.7.pREOBRAZOWANIQ KONE^NYH MNOVESTW. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25

3.8.pODSTANOWKI. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25

3.9.nOWYE TERMINY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26

3.10.kONTROLXNYE WOPROSY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26

3.11.uPRAVNENIQ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 26 x 4. oTNO[ENIQ \KWIWALENTNOSTI I RAZBIENIQ NA KLASSY : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28

4.1.bINARNYE OTNO[ENIQ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28

4.2.rAZBIENIQ NA KLASSY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28

4.3.kLASSY \KWIWALENTNOSTI. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29

4.4.fAKTORMNOVESTWO. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29

4.5.rAZBIENIQ I FAKTORMNOVESTWA. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30

4.6.nOWYE TERMINY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 30

2

sODERVANIE

gLAWA II oSNOWY KOMBINATORIKI : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42 x 1. oSNOWNOJ PRINCIP KOMBINATORIKI. pERESTANOWKI, RAZME]ENIQ I SO^ETANIQ : : : : 42

1.1. oSNOWNOJ PRINCIP KOMBINATORIKI. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42 1.2. kOLI^ESTWO PODMNOVESTW DANNOGO MNOVESTWA. : : : : : : : : : : : : : : : : : : 44 1.3. rAZME]ENIQ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 44 1.4. pERESTANOWKI. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45 1.5. sO^ETANIQ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 46 1.6. nEKOTORYE SWOJSTWA SO^ETANIJ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47 1.7. nOWYE TERMINY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47 1.8. uPRAVNENIQ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48

x 2. rAZME]ENIQ, PERESTANOWKI I SO^ETANIQ S POWTORENIQMI. bINOM nX@TONA I POLI-

NOMIALXNAQ FORMULA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 50

2.1.rAZME]ENIQ S POWTORENIQMI. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 50

2.2.pERESTANOWKI S POWTORENIQMI. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 50

2.3.sO^ETANIQ S POWTORENIQMI. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51

2.4.bINOM nX@TONA. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 52

2.5.pOLINOMIALXNAQ TEOREMA. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 53

2.6.bINOMIALXNYE TOVDESTWA. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 54

2.7.nOWYE TERMINY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 54

2.8.uPRAVNENIQ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 54

gLAWA III aLGEBRA WYSKAZYWANIJ: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 56 x 1. pOSTROENIE ALGEBRY WYSKAZYWANIJ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 56 1.1. pROSTYE I SOSTAWNYE WYSKAZYWANIQ. wYSKAZYWATELXNYE PEREMENNYE. : : : : 56

1.2. oSNOWNYE LOGI^ESKIE SWQZKI. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 56 1.3. lOGI^ESKIE OPERACII NAD WYSKAZYWANIQMI. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 56 1.4. fORMULY I IH LOGI^ESKIE WOZMOVNOSTI. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 56 1.5. rAWNOSILXNYE FORMULY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 58 1.6. tAWTOLOGII I PROTIWORE^IQ. tABLICY ISTINNOSTI. : : : : : : : : : : : : : : : 59

1.7. sWOJSTWA LOGI^ESKIH OPERACIJ (ZAKONY LOGIKI). : : : : : : : : : : : : : : : : : 59 1.8. aLGEBRA WYSKAZYWANIJ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 60 1.9. nOWYE TERMINY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 60 1.10. kONTROLXNYE WOPROSY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 60 1.11. uPRAVNENIQ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61

x 2. sOWER[ENNYE NORMALXNYE FORMY. pRIMENENIE ALGEBRY WYSKAZYWANIJ K PEREKL@-

^ATELXNYM SHEMAM : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63

3

sODERVANIE

2.1.pOSTROENIE FORMUL PO ZADANNYM TABLICAM ISTINNOSTI. : : : : : : : : : : : : 63

2.2.nORMALXNYE FORMY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64

2.3.sOWER[ENNYE NORMALXNYE FORMY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 64

2.4.pREDSTAWLENIE FORMUL ALGEBRY WYSKAZYWANIJ SOWER[ENNYMI NORMALXNYMI FORMAMI. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65

2.5.lOGI^ESKIE OPERACII NAD DWUHPOL@SNYMI PEREKL@^ATELQMI. : : : : : : : : : 65

2.6.zADA^I SINTEZA I ANALIZA PEREKL@^ATELXNYH SHEM. : : : : : : : : : : : : : : : 66

2.7.nOWYE TERMINY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67

2.8.kONTROLXNYE WOPROSY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67

2.9.uPRAVNENIQ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 68 x 3. pOLNYE SISTEMY SWQZOK : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 69

3.1.oPREDELENIE POLNOJ SISTEMY SWQZOK. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 69

3.2.sWOJSTWA POLNYH SISTEM SWQZOK. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 69

3.3.oPISANIE POLNYH SISTEM SWQZOK IZ . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 70

3.4.oDNO\LEMENTNYE POLNYE SISTEMY SWQZOK. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 70

3.5.iSKL@^ITELXNOSTX SWQZOK & I _. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71

3.6.nOWYE TERMINY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72

3.7.kONTROLXNYE WOPROSY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 73

3.8.uPRAVNENIQ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 73

gLAWA V iS^ISLENIE WYSKAZYWANIJ: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 86 x 1. qZYK I AKSIOMY IS^ISLENIQ WYSKAZYWANIJ. tEOREMA DEDUKCII : : : : : : : : : : : : 86

1.1. fORMALXNYE I SODERVATELXNYE AKSIOMATI^ESKIE TEORII. : : : : : : : : : : : : 86 1.2. pRINCIP POSTROENIQ FORMALXNYH AKSIOMATI^ESKIH TEORIJ. : : : : : : : : : : 86

1.3. wYWODIMOSTX IZ MNOVESTWA FORMUL. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 87 1.4. qZYK iw. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 87 1.5. aKSIOMY I PRAWILA WYWODA iw. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 88 1.6. pRIMER WYWODIMOSTI W iw. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 88 1.7. tEOREMA DEDUKCII. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 88 1.8. sLEDSTWIQ IZ TEOREMY DEDUKCII. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 89 1.9. nOWYE TERMINY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 90 1.10. kONTROLXNYE WOPROSY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 90 1.11. uPRAVNENIQ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 90

x 2. tEOREMA O WYWODIMOSTI : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91 2.1. zAKON DWOJNOGO OTRICANIQ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91 2.2. zAKON PROTIWORE^IWOJ POSYLKI. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91

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2.3.zAKON KONTRAPOZICII. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91

2.4.pERWOE PRAWILO OTRICANIQ IMPLIKACII. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 92

2.5.oBOB]ENNOE PRAWILO PROTIWORE^IWOJ POSYLKI. : : : : : : : : : : : : : : : : : 92

2.6.tEOREMA O WYWODIMOSTI. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93

2.7.nOWYE TERMINY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 94

2.8.kONTROLXNYE WOPROSY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 95

2.9.uPRAVNENIQ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 95 x 3. pOLNOTA, NEPROTIWORE^IWOSTX I RAZRE[IMOSTX iw nEZAWISIMOSTX AKSIOM iw : : : 96

3.1.pOLNOTA iw OTNOSITELXNO aw. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 96

3.2.nEPROTIWORE^IWOSTX iw. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 97

3.3.rAZRE[IMOSTX iw. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 97

3.4.nEZAWISIMOSTX SISTEMY AKSIOM iw. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 97

3.5.mNOGOZNA^NYE LOGIKI. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 98

3.6.k-ZNA^NYE LOGIKI. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 99

3.7.nOWYE TERMINY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 99

3.8.kONTROLXNYE WOPROSY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 99

3.9.uPRAVNENIQ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 100

4.2.pREDWARENNAQ NORMALXNAQ FORMA. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 115

4.3.nOWYE TERMINY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117

4.4.kONTROLXNYE WOPROSY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117

4.5.uPRAVNENIQ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117 x 5. tEORII PERWOGO PORQDKA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 118

5.1.tERMY I FORMULY TEORIJ PERWOGO PORQDKA. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 118

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5.2.tERM, SWOBODNYJ DLQ PEREMENNOJ W FORMULE. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 119

5.3.aKSIOMY I PRAWILA WYWODA TEORIJ PERWOGO PORQDKA. : : : : : : : : : : : : : : 119

5.4.oBLASTI INTERPRETACII I MODELI. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 120

5.5.nEPROTIWORE^IWOSTX, POLNOTA I NERAZRE[IMOSTX IS^ISLENIJ PREDIKATOW PER-

WOGO PORQDKA. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 121

5.6.fORMALXNAQ ARIFMETIKA. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 121

5.7.pRIMERY WYWODOW W FORMALXNOJ ARIFMETIKE S. : : : : : : : : : : : : : : : : : 123

5.8.tEOREMA gEDELQ O NEPOLNOTE FORMALXNOJ ARIFMETIKI S. : : : : : : : : : : : : 123

5.9.nOWYE TERMINY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 124

gLAWA VII oSNOWY TEORII ALGORITMOW:: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 125 x 1. rEKURSIWNYE FUNKCII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 125 iNTUITIWNOE PONQTIE ALGORITMA. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 125 nEOBHODIMOSTX UTO^NENIQ PONQTIQ ALGORITMA. : : : : : : : : : : : : : : : : : : 126

pROSTEJ[IE FUNKCII. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 126 oPERATOR SUPERPOZICII. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 126 oPERATOR PRIMITIWNOJ REKURSII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 127 oPERATOR MINIMIZACII. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 128

~ASTI^NO REKURSIWNYE FUNKCII. tEZIS ~ER^A. : : : : : : : : : : : : : : : : : 129

nOWYE TERMINY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 129 kONTROLXNYE WOPROSY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 129 uPRAVNENIQ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 130 x 2. mA[INY tX@RINGA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 131

2.1. oPREDELENIE MA[INY tX@RINGA. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 131 2.2. mA[INNYE SLOWA (KONFIGURACII). : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 131 2.3. mODELX MA[INY tX@RINGA. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 132 2.4. rABOTA MODELI MA[INY tX@RINGA. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 132 2.5. wY^ISLIMYE PO tX@RINGU FUNKCII. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 134 2.6. nOWYE TERMINY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 135 2.7. kONTROLXNYE WOPROSY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 135 2.8. uPRAVNENIQ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 136

x 3. nORMALXNYE ALGORITMY mARKOWA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 137 3.1. mARKOWSKIE PODSTANOWKI. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 137

3.2.oPREDELENIE NORMALXNOGO ALGORITMA mARKOWA. : : : : : : : : : : : : : : : : : : 138

3.3.pRIMERY NORMALXNYH ALGORITMOW mARKOWA. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 138

3.4.nORMALXNO WY^ISLIMYE FUNKCII. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 139

3.5.pRINCIP NORMALIZACII mARKOWA. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 140

3.6.nOWYE TERMINY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 140

3.7.kONTROLXNYE WOPROSY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 140

3.8.uPRAVNENIQ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 141 x 4. aLGORITMI^ESKI NERAZRE[IMYE PROBLEMY : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 142

4.1.nEWY^ISLIMYE FUNKCII. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 142

4.2.pRIMER NEWY^ISLIMOJ FUNKCII. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 143

4.3.rEKURSIWNYE MNOVESTWA. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 143

4.4.oB]EZNA^IMYE FORMULY ALGEBRY PREDIKATOW. : : : : : : : : : : : : : : : : : : 144

4.5.dIOFANTOWY URAWNENIQ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 145

4.6.nOWYE TERMINY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 145

4.7.kONTROLXNYE WOPROSY. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 145

4.8.uPRAVNENIQ. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 146

gLAWA A aLFAWITY: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 147 gLAWA B pREDMETNYJ UKAZATELX : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 148

6

oT AWTORA

gLAWY KONSPEKTA RAZBITY NA PARAGRAFY, SOOTWETSTWU@]IE, KAK PRAWILO, ODNOJ LEKCII. sTRU- KTURA KAVDOGO PARAGRAFA TAKOWA: KL@^EWYE MOMENTY PARAGRAFA, KRATKAQ TEORIQ, NOWYE TERMI- NY, KONTROLXNYE WOPROSY, UPRAVNENIQ. kONTROLXNYE WOPROSY SODERVAT ZADANIQ, RASS^ITANNYE, KAK PRAWILO, NA USTNOE IH RE[ENIE W SLU^AE USWOENIQ OSNOW KRATKOJ TEORII. uPRAVNENIQ NOSQT BOLEE GLUBOKIJ HARAKTER I RASS^ITANY KAK NA ZAKREPLENIE PRO^ITANNOGO MATERIALA, TAK I NA PRIOBRETENIE OPREDELENNYH WY^ISLITELXNYH NAWYKOW.

kROME TOGO AWTOR ZARANEE BLAGODARIT ^ITATELEJ ZA NAJDENNYE W TEKSTE I DOWEDENNYE DO EGO SWEDENIQ NETO^NOSTI, A TAKVE ZA RAZLI^NYE ZAME^ANIQ I POVELANIQ, SWQZANNYE S DANNYM IZDA- NIEM.

7

gLAWA I

wWEDENIE W TEORI@ MNOVESTW

x 1. oSNOWNYE PONQTIQ TEORII MNOVESTW

mNOVESTWO, \LEMENT, PRINADLEVIT. rAWENSTWO MNOVESTW. pUSTOE MNOVESTWO. kONE^NYE I BESKONE^NYE MNOVESTWA. sPOSOBY ZADANIQ MNOVESTW. wKL@^ENIE MNOVESTW. oPERACII NAD MNOVESTWAMI I IH SWOJSTWA. nAHOVDENIE ^ISLA \LEMENTOW OB_EDINENIQ MNOVESTW. aLGEBRY PODMNOVESTW.

1.1.pERWI^NYE PONQTIQ. tAKIE PONQTIQ, KAK \MNOVESTWO", \\LEMENT", \PRINADLEVIT"

QWLQ@TSQ PERWI^NYMI, NEOPREDELQEMYMI PONQTIQMI TEORII MNOVESTW. sMYSL IH RAZ_QSNQET- SQ PRI POMO]I RAZLI^NOGO RODA METAMATEMATI^ESKIH (WNEMATEMATI^ESKIH) OPISANIJ. g. kANTOR

(1845{1918), OSNOWATELX INTUITIWNOJ TEORII MNOVESTW, PREDLOVIL SLEDU@]EE O^ENX METKOE OPI- SANIE \TOGO PONQTIQ: \mNOVESTWO ESTX MNOGOE, MYSLIMOE NAMI KAK EDINOE CELOE". mNOVESTWA

PRINQTO OBOZNA^ATX BOLX[IMI LATINSKIMI BUKWAMI, \LEMENTY MNOVESTW | MALYMI LATINSKI- MI BUKWAMI. 2 | SIMWOL DLQ OBOZNA^ENIQ PRINADLEVNOSTI TOGO ILI INOGO \LEMENTA DANNOMU MNOVESTWU.

1.2.rAWENSTWO MNOVESTW. pUSTOE MNOVESTWO.

oPREDELENIE 1 (RAWENSTWA MNOVESTW). dWA MNOVESTWA S^ITA@TSQ RAWNYMI W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA ONI SOSTOQT IZ ODNIH I TEH VE \LEMENTOW.

oPREDELENIE 2 (PUSTOGO MNOVESTWA). wSQKOE MNOVESTWO, NE SODERVA]EE NI ODNOGO \LEMEN- TA, NAZYWAETSQ PUSTYM.

tEOREMA 1 (EDINSTWENNOSTX PUSTOGO MNOVESTWA). sU]ESTWUET EDINSTWENNOE PUSTOE MNOVES- TWO. oNO OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM ?.

dOKAZATELXSTWO. 1. sU]ESTWOWANIE. mNOVESTWO WSEH WE]ESTWENNYH KORNEJ URAWNENIQ x2 = ;1 QWLQ@TSQ, O^EWIDNO, PUSTYM.

2. eDINSTWENNOSTX. pUSTX A I B PUSTYE MNOVESTWA. eSLI BY ONI NE SOWPADALI, TO SOSTOQLI BY NE IZ ODNIH I TEH VE \LEMENTOW. tO ESTX, W ODNOM IZ \TIH MNOVESTW NA[ELSQ BY \LEMENT, KOTOROGO NET W DRUGOM. oDNAKO, NALI^IE \LEMENTA W KAKOM-LIBO IZ MNOVESTW A ILI B PROTIWORE- ^IT OPREDELENI@ PUSTOGO MNOVESTWA. tAKIM OBRAZOM, IZ A = B SLEDUET SU]ESTWOWANIE NE BOLEE ODNOGO PUSTOGO MNOVESTWA.

1.3.sPOSOBY ZADANIQ MNOVESTW. mNOVESTWO, KOTOROE SODERVIT KONE^NOE (BESKONE^-

NOE) ^ISLO \LEMENTOW, NAZYWAETSQ KONE^NYM (BESKONE^NYM). ? S^ITAETSQ KONE^NYM MNOVESTWOM.

oPREDELENIE 1. bUDEM S^ITATX MNOVESTWO ZADANNYM, ESLI DLQ L@BOGO PREDMETA (\LEMENTA) ESTX PRINCIPIALXNAQ WOZMOVNOSTX USTANOWITX, QWLQETSQ ON \LEMENTOM \TOGO MNOVESTWA ILI NET.

zADANIE MNOVESTW PERE^ISLENIEM. dLQ NEKOTORYH KONE^NYH MNOVESTW UPOTREBLQETSQ SPOSOB ZADANIQ PERE^ISLENIEM WSEH \LEMENTOW \TIH MNOVESTW. pRI \TOM PERE^ISLQEMYE \LEMENTY

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x 1. oSNOWNYE PONQTIQ TEORII MNOVESTW

ZAKL@^A@TSQ W FIGURNYE SKOBKI. nAPRIMER, f27 3 g f g ff gg f f gg I T. D. pONQTNO, ^TO NE WSE MNOVESTWA REALXNO MOVNO ZADATX PERE^ISLENIEM I, DAVE, NE WSE KONE^NYE.

zADANIE MNOVESTW UKAZANIEM HARAKTERISTI^ESKOGO SWOJSTWA. pUSTX NEKOTOROE MNO-

VESTWO U UVE ZADANO I P | NEKOTOROE SWOJSTWO, KOTORYM KAKIE-TO \LEMENTY U OBLADA@T, A KAKIE-TO NE OBLADA@T. tAKIM OBRAZOM, ZADANO MNOVESTWO M WSEH TEH I TOLXKO TEH \LEMENTOW IZ U, KOTORYE OBLADA@T SWOJSTWOM P . sWOJSTWO P NAZYWAETSQ HARAKTERISTI^ESKIM DLQ MNOVES- TWA M, A TAKOJ SPOSOB ZADANIQ MNOVESTW | PRI POMO]I (ILI UKAZANIEM) HARAKTERISTI^ESKOGO SWOJSTWA. w OB]EM WIDE PRINQTY TAKIE OBOZNA^ENIQ:

M = fx j x 2 U I P (x)g ILI M = fx 2 U j P (x)g

GDE ZAPISX P (x) OZNA^AET, ^TO \LEMENT x OBLADAET SWOJSTWOM P . ~ITAETSQ \MNOVESTWO WSEH x IZ U, OBLADA@]IH SWOJSTWOM P " ILI BOLEE KRATKO \MNOVESTWO WSEH x IZ U TAKIH, ^TO P (x)". eSLI IZ KONTEKSTA QSNO O KAKOM MNOVESTWE U IDET RE^X, TO PI[UT:

M = fx j P(x)g:

pRIMER 1. pUSTX N | MNOVESTWO WSEH NATURALXNYH ^ISEL I MNOVESTWO

M = fx 2 N j x3 ; 5x2 + 6x = 0g:

pONQTNO, ^TO M W DANNOM SLU^AE MOVNO ZADATX I PERE^ISLENIEM: M = f2 3g.

sLOWESNYJ SPOSOB ZADANIQ MNOVESTW | \TO, W DEJSTWITELXNOSTI, ESTX LIBO PERE^ISLE- NIE, LIBO SLOWESNOE OPISANIE HARAKTERISTI^ESKOGO SWOJSTWA.

1.4.oTNO[ENIE WKL@^ENIQ MNOVESTW.

oPREDELENIE 1. gOWORQT, ^TO MNOVESTWO A WKL@^AETSQ WO MNOVESTWO B (SODERVITSQ WO MNOVESTWE B): A B, ESLI WSE \LEMENTY MNOVESTWA A QWLQ@TSQ \LEMENTAMI I MNOVEST-

eSLI VE A B I A =6 B, TO GOWORQT, ^TO MNOVESTWO A STROGO WKL@^AETSQ W B: A B.

eSLI A B, TO GOWORQT TAKVE, ^TO A | PODMNOVESTWO MNOVESTWA B, A ESLI A B, TO GOWORQT, ^TO A SOBSTWENNOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA B.

tEOREMA 1. pUSTOE MNOVESTWO QWLQETSQ PODMNOVESTWOM L@BOGO MNOVESTWA I SOBSTWENNYM PODMNOVESTWOM L@BOGO NEPUSTOGO MNOVESTWA.

dOKAVITE SAMOSTOQTELXNO.

1.5.sWOJSTWA OTNO[ENIQ WKL@^ENIQ.

1.rEFLEKSIWNOSTX. dLQ L@BOGO MNOVESTWA A:

A A:

2.tRANZITIWNOSTX. dLQ L@BYH MNOVESTW A, B, C:

ESLI A B I B C TO A C:

3. aNTISIMMETRI^NOSTX. dLQ L@BYH MNOVESTW A, B:

ESLI A B I B A TO A = B:

nA ANTISIMMETRI^NOM SWOJSTWE OTNO[ENIQ WKL@^ENIQ OSNOWANO DOKAZATELXSTWO RAWENSTWA MNOVESTW. dLQ DOKAZATELXSTWA TOGO, ^TO A = B DOKAZYWA@T DWA WKL@^ENIQ A B I B A.

dOKAZATELXSTWO SWOJSTW 1{3 PROWODITSQ NA OSNOWANII OPREDELENIQ OTNO[ENIQ WKL@^ENIQ. sDELAJTE \TO SAMOSTOQTELXNO.

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