Курсовая работа - Выделение компонент сильной связности

Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра АПРиС

Курсовая работа

по дискретной математике

Выделение компонент сильной связности.

Выполнили:

САПР-130

Проверила:

Шерыхалина Н.М.

доц. каф. КМ

Уфа – 2007

Оглавление:

Введение 3

Алгоритм 4

Блок-схема. 7

Листинг программы 13

Заключение 19

Список использованной литературы: 20

Цель работы

Целью данной работы является создание алгоритма выделения компонент сильной связности и проектирование программы, применяющей этот алгоритм.

Введение

Теория графов это один из разделов дискретной математики, изучающий свойства графов. Теория графов имеет огромное практическое значение, к примеру, маршрутизация данных в Интернете была бы невозможна без ее применения.

В данной работе рассмотрена одна из классических задач теории графов – выделение компонент сильной связности.

Для выполнения этой работы необходимо хорошее знание всех определений связанных с данным проектом, а также правильное понимание самого алгоритма, так как упущение даже одного звена алгоритма повлечет неверный результат.

Собственно для программиста разработка программы для выполнения этого алгоритма означает работа с матрицами. Поэтому должен быть произведен ввод матрицы, а на выходе должны получиться компоненты сильной связности.

Алгоритм

1. Присваиваем p=1 (p− количество компонент связности), .

2. Включаем в множество вершин V_pкомпоненты сильной связности D_p вершины, соответствующие единицам первой строки матрицы S_p. В качестве матрицы A(D_p) возьмем подматрицу матрицы A(D), состоящую из элементов матрицы A, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из V_p.

3. Вычеркиваем из S_p строки и столбцы, соответствующие вершинам из V_p. Если не остается ни одной строки (и столбца), то p- количество компонент сильной связности. В противном случае обозначим оставшуюся после вычеркивания срок и столбцов матрицу как S_p+1, присваиваем p=p+1 и переходим к п. 2.

Пример

Выделим компоненты связности ориентированного графа, изображенного на рис. 6. В данной задаче количество вершин n=5.

Рис. 6.

Значит, для данного ориентированного графа матрица смежности будет иметь размерность 5×5 и будет выглядеть следующим образом

                      .

Найдем матрицу достижимости для данного ориентированного графа по формуле 1) из утверждения 3:

       , ,

                   ,

Следовательно,

     .

Таким образом, матрица сильной связности, полученная по формуле 2) утверждения 3, будет следующей:

    .

Присваиваем p=1  и составляем множество вершин первой компоненты сильной связности D₁: это те вершины, которым соответствуют единицы в первой строке матрицы S(D). Таким образом, первая компонента сильной связности состоит из одной вершины .

Вычеркиваем из матрицы S₁(D) строку и столбец, соответствующие вершине v₁, чтобы получить матрицу S₂(D):

                   .

Присваиваем p=2. Множество вершин второй компоненты связности составят те вершины, которым соответствуют единицы в первой строке матрицы S₂(D), то есть . Составляем матрицу смежности для компоненты сильной связности  исходного графа D− в ее качестве возьмем подматрицу матрицы A(D), состоящую из элементов матрицы A, находящихся на пересечении строк и столбцов, соответствующих вершинам из V₂:

                        .

Вычеркиваем из матрицы S₂(D) строки и столбцы, соответствующие вершинам из V₂ ,чтобы получить матрицу S₃(D), которая состоит из одного элемента:

                           

и присваиваем p=3. Таким образом, третья компонента сильной связности исходного графа, как и первая, состоит из одной вершины .

Таким образом, выделены 3 компоненты сильной связности ориентированного графа D:

D1:

D2:

D3:

Блок-схема.

Листинг программы

Программа была написана на C++.

#include <iostream.h>

#include <fstream.h>

#include <conio.h>

#include <stdlib.h>

#include <stdio.h>

#define n 5

void main()

{

clrscr();

int i,j,k,s;

cout<<"\n";

int a[n][n],

a1[n][n],

a2[n][n],

a3[n][n],

a4[n][n],

t[n][n],

t_trans[n][n],

sd[n][n];

cout<<"Vvedite elementi matrici smezhnosti po strokam\n";

for (i=0; i<n; i++) //A(D)

{

for (j=0; j<n; j++)

{

cin>>a[i][j];

if(j==4)

{clrscr();

cout<<"Vvedite elementi matrici smezhnosti po strokam\n";}

}

}

for (i=0; i<n; i++) //A1(D)

{

for (j=0; j<n; j++)

{

a1[i][j]=a[i][j];

}

}

clrscr();

cout<<" \n\nElementi matrici:";

gotoxy(1,6);

for (i=0; i<n; i++) //A(D)

{

for (j=0; j<n; j++)

{

textcolor(2);

cprintf("%d",a[i][j]);

if(a[i][j]<10)

gotoxy(wherex()+2,wherey());

else cout<<" ";

if (i==n-1,j==n-1)

{

cout<<"\n\n";

}

}

}

for(i=0;i<n;i++) //A2(D)

{

for(j=0;j<n;j++)

{

s=0;

for(k=0;k<n;k++)

{

s=s+a[i][k]*a1[k][j];

a2[i][j]=s;

}

}

}

for(i=0;i<n;i++) //A3(D)

{

for(j=0;j<n;j++)

{

s=0;

for(k=0;k<n;k++)

{

s=s+a2[i][k]*a[k][j];

a3[i][j]=s;

}

}

}

for(i=0;i<n;i++) //A4(D)

{

for(j=0;j<n;j++)

{

s=0;

for(k=0;k<n;k++)

{

s=s+a3[i][k]*a[k][j];

a4[i][j]=s;

}

}

}

for(i=0;i<n;i++) //vse=1

{

for(j=0;j<n;j++)

{

if(a4[i][j]>1) a4[i][j]=1;

}

}

cout<<"\n\n";

for(i=0;i<n;i++) //T(D), T(D)_trans

{

for(j=0;j<n;j++)

{

if(i==j) t[i][j]=1;

else t[i][j]=a[i][j]+a2[i][j]+a3[i][j]+a4[i][j];

if(t[i][j]>1) t[i][j]=1;

t_trans[j][i]=t[i][j];

}

}

for(i=0;i<n;i++) //S(D)

{

for(j=0;j<n;j++)

{

sd[i][j]=t[i][j]*t_trans[i][j];

}

}

for (i=0; i<n; i++)

{

for (j=0; j<n; j++)

{

textcolor(2);

cprintf("%d",sd[i][j]);

if(sd[i][j]<10)

gotoxy(wherex()+2,wherey());

else cout<<" ";

if (i==n-1,j==n-1)

{

cout<<"\n\n";

}

}

}

cout<<"-----------------------------------\n";

cout<<"\nKomponenti silnoi sviaznosti:\n";

cout<<"{"; //1str

for(i=0; i<n; i++)

{

if(sd[0][i]==1) {

sd[0][i]=0;

cout<<"v"<<i+1<<",";

for(j=0; j<n; j++)

{

sd[j][i]=0;

}

}

}

cout<<"}\n\n\n";

cout<<"{";

for(i=0; i<n; i++) //2str

{

if(sd[1][i]==1) {

sd[1][i]=0;

cout<<"v"<<i+1<<",";

for(j=0; j<n; j++)

{

sd[j][i]=0;

}

}

}

cout<<"}\n\n\n";

cout<<"{";

for(i=0; i<n; i++) //3str

{

if(sd[2][i]==1) {

sd[2][i]=0;

cout<<"v"<<i+1<<",";

for(j=0; j<n; j++)

{

sd[j][i]=0;

}

}

}

cout<<"}\n\n\n";

cout<<"{";

for(i=0; i<n; i++) //4str

{

if(sd[3][i]==1) {

sd[3][i]=0;

cout<<"v"<<i+1<<",";

for(j=0; j<n; j++)

{

sd[j][i]=0;

}

}

}

cout<<"}\n\n\n";

cout<<"{";

for(i=0; i<n; i++) //5str

{

if(sd[4][i]==1) {

sd[4][i]=0;

cout<<"v"<<i+1<<",";

for(j=0; j<n; j++)

{

sd[j][i]=0;

}

}

}

cout<<"}\n\n\n";

gotoxy(16,10);

cout<<"=A(D) (Matrica smezhnosti.)";

gotoxy(16,22);

cout<<"=S(D) (Matrica silnoi sviaznosti.)";

getch();

}

Тестирование программы

Здесь приведены скриншоты работы программы:

Заключение

В курсовой работе был разработан простой алгоритм выделения компонент сильной связности. Программа четко следует алгоритму, тем самым обеспечивается точность решения и стабильность программы. По данному алгоритму была составлена программа, работа которой была продемонстрирована.

Список использованной литературы:

Теория графов. Методические указания по подготовке к контрольным работам по дисциплине «Дискретная математика». /Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т.; Сост.: Н.И. Житникова, Г.И. Федорова, А.К. Галимов. - Уфа, 2005 -37 с.