Кулабухов С.Ю. Дискретная математика1
.pdfx 2. rAZME]ENIQ, PERESTANOWKI I SO^ETANIQ S POWTORENIQMI. bINOM nX@TONA I POLINOMIALXNAQ FORMULA
|
|
k |
|
|
|
|
|
rAZME]ENIQ S POWTORENIQMI An. pERESTANOWKI S POWTORENIQMI. |
pOLINOMIALXNYE KO\FFICI- |
||
|
|
k |
k |
|
|
|
|
ENTY. sO^ETANIQ S POWTORENIQMI fn . fORMULY DLQ WY^ISLENIQ An, POLINOMIALXNYH KO\F- |
|||
k |
|
||
FICIENTOW I fn . bINOM nX@TONA. tREUGOLXNIK pASKALQ. pOLINOMIALXNAQ TEOREMA. |
|||
2.1. rAZME]ENIQ S POWTORENIQMI. |
|
||
oPREDELENIE 1. pUSTX n k 2 N0 I B = fb1 b2 : : : bng. rAZME]ENIEM S POWTORENIQMI IZ n |
|||
\LEMENTOW MNOVESTWA B PO k \LEMENTOW NAZYWAETSQ WSQKAQ POSLEDOWATELXNOSTX DLINY k, |
|||
SOSTAWLENNAQ IZ \LEMENTOW \TOGO MNOVESTWA (W POSLEDOWATELXNOSTI WOZMOVNY POWTORQ@- |
|||
]IESQ \LEMENTY). |
|
o^EWIDNO, ^TO KOLI^ESTWO WSEWOZMOVNYH RAZME]ENIJ S POWTORENIQMI IZ \LEMENTOW MNOVES-
TWA B PO k \LEMENTOW NE ZAWISIT OT PRIRODY \LEMENTOW MNOVESTWA B. pO \TOJ PRI^INE ^EREZ Akn OBOZNA^IM KOLI^ESTWO WSEWOZMOVNYH RAZME]ENIJ S POWTORENIQMI n-\LEMENTNOGO MNOVESTWA PO k
\LEMENTOW. |
|
pRIMER 1. pUSTX C = |
fa b cg. wSE RAZME]ENIQ S POWTORENIQMI PO 2 \TOGO MNOVESTWA: (a a), |
(a b), (a c), (b a), (b b), (b c), (c a), (c b), (c c). |
tAKIM OBRAZOM, A23 = 9.
tEOREMA 1. ~ISLO RAZME]ENIJ S POWTORENIQMI
Akn = nk:
dOKAZATELXSTWO. 1-YM \LEMENTOM POSLEDOWATELXNOSTI MOVET BYTX L@BOJ IZ n \LEMENTOW MNO- VESTWA, 2-YM | TAKVE L@BOJ IZ n \LEMENTOW I T. D., DO k-GO \LEMENTA POSLEDOWATELXNOSTI.
oTS@DA, PO PRAWILU UMNOVENIQ, Akn = n n : : : n = nk.
| {zk }
zADA^A 1. dLQ ZAPIRANIQ SEJFOW I AWTOMATI^ESKIH KAMER HRANENIQ PRIMENQ@T SEKRETNYE ZAM- KI, KOTORYE OTKRYWA@TSQ LI[X TOGDA, KOGDA NABRANO NEKOTOROE \TAJNOE SLOWO". |TO SLOWO NABI- RA@T S POMO]X@ ODNOGO ILI NESKOLXKIH DISKOW, NA KOTORYH NANESENY BUKWY (ILI CIFRY). pUSTX NA DISK NANESENY 12 BUKW, A SEKRETNOE SLOWO SOSTOIT IZ 5 BUKW. sKOLXKO NEUDA^NYH POPYTOK MOVET BYTX SDELANO ^ELOWEKOM NE ZNA@]IM SEKRETNOGO SLOWA?
rE[ENIE. oB]EE ^ISLO KOMBINACIJ RAWNO
A512 = 125 = 248832:
zNA^IT, NEUDA^NYH POPYTOK MOVET BYTX 248831. wPRO^EM, OBY^NO SEJFY DELA@T TAK, ^TO POSLE PERWOJ VE NEUDA^NOJ POPYTKI OTKRYTX IH RAZDAETSQ SIGNAL TREWOGI.
2.2.pERESTANOWKI S POWTORENIQMI.
oPREDELENIE 1. pUSTX n 2 N0, B = fb1 b2 : : : bng. pERESTANOWKOJ c POWTORENIQMI IZ \LE- MENTOW MNOVESTWA B NAZYWAETSQ WSQKOE RAZME]ENIE S POWTORENIQMI DLINY n.
pUSTX k1 k2 : : : km | CELYE NEOTRICATELXNYE ^ISLA, PRI^EM k1 + k2 + : : : + km = n. ~ISLO PERESTANOWOK S POWTORENIQMI, W KOTORYH m RAZLI^NYH \LEMENTOW MNOVESTWA B I ki \LEMENTOW i-GO WIDA (i = 1 2 : : : m) NE ZAWISIT OT PRIRODY \LEMENTOW MNOVESTWA B. pO\TOMU ^ISLO TAKIH PERESTANOWOK BUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ Cn(k1 k2 : : : km). ~ISLA Cn(k1 k2 : : : km) NAZYWA@TSQ PO-
LINOMIALXNYMI KO\FFICIENTAMI.
pRIMER 1. pUSTX A = fa b c dg. tOGDA SOOTWETSTWU@]IE PERESTANOWKI S POWTORENIQMI W KO-
TORYH 1 \LEMENT a I 3 \LEMENTA b (m = 2, k1 = 1, k2 = 3): (a b b b), (b a b b), (b b a b), (b b b a). tO ESTX C4(1 3) = 4.
50
x 2. rAZME]ENIQ, PERESTANOWKI I SO^ETANIQ S POWTORENIQMI. bINOM nX@TONA I POLINOMIALXNAQ FORMULA
tEOREMA 1. pUSTX k1 k2 : : : km | CELYE NEOTRICATELXNYE ^ISLA, PRI^EM k1+k2+: : :+km = n. ~ISLO RAZLI^NYH PERESTANOWOK, KOTORYE MOVNO SOSTAWITX IZ n \LEMENTOW, SREDI KOTORYH IMEETSQ k1 \LEMENTOW PERWOGO TIPA, k2 \LEMENTOW WTOROGO TIPA, : : : , km \LEMENTOW m-GO TIPA (POLINOMIALXNYJ KO\FFICIENT) RAWNO
n!
Cn(k1 k2 : : : km) = k1! k2! : : : km!:
dOKAZATELXSTWO. rASSMOTRIM ODNU PERESTANOWKU I ZAMENIM W NEJ WSE ODINAKOWYE \LEMENTY RAZNYMI. tOGDA ^ISLO RAZLI^NYH PERESTANOWOK, KOTORYE MOVNO SOSTAWITX IZ RASSMATRIWAEMOJ PERESTANOWKI, RAWNO k1! k2! : : : km!. pRODELAW \TO DLQ KAVDOJ PERESTANOWKI, POLU^IM n! PERE- STANOWOK. sLEDOWATELXNO,
Cn(k1 k2 : : : km) k1! k2! : : : km! = n!
^TO I DOKAZYWAET UTWERVDENIE TEOREMY.
pOLINOMIALXNYE KO\FFICIENTY IME@T E]E ODNU O^ENX WAVNU@ KOMBINATORNU@ INTERPRETA-
CI@. pUSTX IMEETSQ n BUKW: k1 BUKW a1, k2 BUKW a2, : : :, km BUKW am (k1 + k2 + : : :+ km = n). ~ISLO RAZLI^NYH SLOW, KOTORYE MOVNO SOSTAWITX IZ \TIH BUKW, O^EWIDNO, RAWNO
n!
Cn(k1 k2 : : : km) = k1! k2! : : : km!:
zADA^A 1. sKOLXKO RAZLI^NYH SLOW MOVNO SOSTAWITX, PERESTAWLQQ BUKWY SLOWA \MATEMATIKA"?
rE[ENIE. ~ISLO RAZLI^NYH SLOW RAWNO
10!
C10(2 2 3 1 1 1) = 2! 2! 3! = 151200:
zADA^A 2. sKOLXKIMI SPOSOBAMI MOVNO RAZDELITX m + n + s PREDMETOW NA 3 GRUPPY TAK, ^TOBY W PERWOJ GRUPPE BYLO m PREDMETOW, WO WTOROJ | n PREDMETOW, W TRETXEJ | s PREDMETOW?
rE[ENIE. iSKOMOE ^ISLO SPOSOBOW RAWNO
(m + n + s)!
Cm+n+s(m n s) = m! n! s! :
2.3.sO^ETANIQ S POWTORENIQMI.
oPREDELENIE 1. pUSTX k 2 N0, n 2 N. sO^ETANIEM IZ n \LEMENTOW PO k \LEMENTOW S PO- WTORENIQMI NAZYWAETSQ SOWOKUPNOSTX, SODERVA]AQ k \LEMENTOW, PRI^EM KAVDYJ \LEMENT PRINADLEVIT K ODNOMU IZ n TIPOW.
~ISLO SO^ETANIJ IZ n \LEMENTOW PO k \LEMENTOW S POWTORENIQMI OBOZNA^AETSQ fnk.
pRIMER 1. iZ TREH BUKW a, b, c MOVNO SOSTAWITX TAKIE SO^ETANIQ PO DWA S POWTORENIQMI: aa, bb, cc, ac, bc, ab. tAKIM OBRAZOM, f32 = 6.
tEOREMA 1. ~ISLO RAZLI^NYH SO^ETANIJ IZ n \LEMENTOW PO k \LEMENTOW S POWTORENIQMI RAW- NO
k |
n;1 |
k |
fn |
= Cn+k;1 |
= Cn+k;1: |
dOKAZATELXSTWO. kAVDOE SO^ETANIE POLNOSTX@ OPREDELQETSQ, ESLI UKAZATX, SKOLXKO \LEMENTOW KAVDOGO IZ n TIPOW W NEGO WHODIT. pOSTAWIM W SOOTWETSTWIE KAVDOMU SO^ETANI@ POSLEDOWA- TELXNOSTX NULEJ I EDINIC, SOSTAWLENNU@ PO TAKOMU PRAWILU: NAPI[EM PODRQD STOLXKO EDINIC, SKOLXKO \LEMENTOW PERWOGO TIPA WHODIT W SO^ETANIE, DALEE POSTAWIM NULX I POSLE NEGO NAPI[EM
51
gLAWA II. oSNOWY KOMBINATORIKI
STOLXKO EDINIC, SKOLXKO \LEMENTOW WTOROGO TIPA WHODIT W SO^ETANIE I T. D. nAPRIMER, NAPISAN- NYM WY[E SO^ETANIQM IZ TREH BUKW PO DWE BUDUT SOOTWETSTWOWATX TAKIE POSLEDOWATELXNOSTI:
1100 0110 0011 1001 0101 1010:
tAKIM OBRAZOM, KAVDOMU SO^ETANI@ IZ n \LEMENTOW PO k \LEMENTOW S POWTORENIQMI SOOTWET- STWUET POSLEDOWATELXNOSTX IZ k EDINIC I n ; 1 NULEJ, I NAOBOROT, PO KAVDOJ TAKOJ POSLEDOWA- TELXNOSTI ODNOZNA^NO WOSSTANAWLIWAETSQ TAKOE SO^ETANIE. pO\TOMU ^ISLO SO^ETANIJ IZ n PO k S POWTORENIQMI RAWNO ^ISLU POSLEDOWATELXNOSTEJ IZ k EDINIC I n ; 1 NULEJ.
rASSMOTRIM MNOVESTWO A POSLEDOWATELXNOSTEJ (x1 x2 : : : xk+n;1), GDE ^ISLA xi PRINIMA@T TOLXKO ZNA^ENIQ 0 ILI 1 I SREDI NIH ROWNO k EDINIC. ~TOBY WY^ISLITX ^ISLO \LEMENTOW MNO- VESTWA A, OBRATIM WNIMANIE, ^TO ONO RAWNOMO]NO MNOVESTWU WSEH k-\LEMENTNYH PODMNOVESTW
MNOVESTWA |
f1 2 : : : k +n;1g: |
PODMNOVESTWO ^ISEL |
fi1 |
: : : ikg |
SOOTWETSTWUET TOJ POSLEDOWATELX |
- |
||||||
|
|
|
|
A |
|
= C |
k |
. |
||||
NOSTI (x1 : : : xk+n;1), U KOTOROJ xi1 = 1, : : : , xik = 1. sLEDOWATELXNO, |
j |
j |
k+n;1 |
|
pRIMER 2. kOSTI DOMINO MOVNO RASSMATRIWATX KAK SO^ETANIQ S POWTORENIQMI IZ SEMI CIFR 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 PO DWE. ~ISLO WSEH TAKIH SO^ETANIJ RAWNO
f2 = C2 = 8 7 = 28:
7 8 2
zADA^A 1. sKOLXKO CELYH NEOTRICATELXNYH RE[ENIJ IMEET URAWNENIE
x1 + x2 + : : : + xn = k?
rE[ENIE. eSLI IMEEM CELYE NEOTRICATELXNYE ^ISLA x1 : : : xn TAKIE, ^TO x1 + : : : + xn = k, TO MOVEM SOSTAWITX SO^ETANIE IZ n \LEMENTOW PO k S POWTORENIQMI WZQW x1 \LEMENTOW PERWOGO TIPA, x2 | WTOROGO TIPA, : : : , xn | n-GO TIPA. nAOBOROT, IMEQ SO^ETANIE IZ n \LEMENTOW PO k, POLU^IM RE[ENIE URAWNENIQ x1+: : :+xn = k (x1 \LEMENTOW PERWOGO TIPA, x2 | WTOROGO TIPA, : : :, xn | n-GO TIPA) W CELYH NEOTRICATELXNYH ^ISLAH. sLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET BIEKCIQ MEVDU MNOVESTWOM WSEH SO^ETANIJ IZ n \LEMENTOW PO k S POWTORENIQMI I MNOVESTWOM WSEH CELYH NEOTRICATELXNYH
k |
n;1 |
k |
RE[ENIJ URAWNENIQ x1 + : : : + xn = k. pO\TOMU ^ISLO RE[ENIJ RAWNO fn |
= Cn+k;1 |
= Cn+k;1. |
2.4.bINOM nX@TONA. iZWESTNO, ^TO
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3:
kAK RASKRYWATX SKOBKI PRI WY^ISLENII WYRAVENIQ (a + b)n? oTWET NA \TOT WOPROS DAET SLEDU@]AQ
tEOREMA 1. iMEET MESTO RAWENSTWO
|
|
(a + b)n = C0anb0 |
+ C1an;1b1 |
+ : : : + Ckan;kbk + : : : + Cna0bn |
(1) |
||
|
|
|
n |
n |
n |
n |
|
GDE Cnk = |
n! |
|
. |
|
|
|
|
k!(n ; k)! |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
fORMULU (1) MOVNO ZAPISATX W WIDE
n
(a + b)n = X Cnkan;kbk:
k=0
dOKAZATELXSTWO. pEREMNOVIM POSLEDOWATELXNO (a + b) n RAZ. tOGDA POLU^IM SUMMU 2n SLAGA- EMYH WIDA d1 : : :dn, GDE di (i = 1 : : : n) RAWNO LIBO a, LIBO b. rAZOBXEM WSE SLAGAEMYE NA n + 1 GRUPPU B0 : : : Bn, OTNESQ K Bk WSE TE PROIZWEDENIQ, W KOTORYH b WSTRE^AETSQ MNOVITELEM k RAZ,
52
x 2. rAZME]ENIQ, PERESTANOWKI I SO^ETANIQ S POWTORENIQMI. bINOM nX@TONA I POLINOMIALXNAQ FORMULA
A a | (n ; k) RAZ. ~ISLO PROIZWEDENIJ W Bk RAWNO, O^EWIDNO, Cnk (TAKIM ^ISLOM SPOSOBOW SRE- DI n MNOVITELEJ d1 d2 : : : dn MOVNO WYBRATX k MNOVITELEJ, KOTORYE BUDUT RAWNY b), A KAVDOE SLAGAEMOE W Bk RAWNO an;kbk. pO\TOMU
n
(a + b)n = X Cnkan;kbk:
k=0
tEOREMA DOKAZANA.
|TU TEOREMU INOGDA NAZYWA@T BINOMIALXNOJ TEOREMOJ, A ^ISLA Cnk | BINOMIALXNYMI KO\F- FICIENTAMI. rAWENSTWO (1) ^ASTO NAZYWA@T BINOMOM nX@TONA.
nAPOMNIM SLEDU@]EE WAVNOE SWOJSTWO BINOMIALXNYH KO\FFICIENTOW:
Cnk+1 = Cnk + Cnk;1: |
(2) |
oNO BYLO USTANOWLENO W P. II.1.5.
rAWENSTWO (2) POKAZYWAET, ^TO BINOMIALXNYE KO\FFICIENTY MOVNO POSLEDOWATELXNO WYPI- SYWATX W WIDE TREUGOLXNOJ TABLICY, KOTORAQ NAZYWAETSQ TREUGOLXNIKOM pASKALQ:
|
1 |
1 |
|
|
n = 1 |
|
1 |
2 |
1 |
|
n = 2 |
1 |
3 |
3 |
1 |
|
n = 3 |
1 |
4 |
6 |
4 |
1 |
n = 4 |
1 5 |
10 |
10 |
5 |
1 |
n = 5 |
|
|
: : : |
|
|
|
w n-OJ STROKE TREUGOLXNIKA pASKALQ STOQT KO\FFICIENTY RAZLOVENIQ (a + b)n, PRI^EM KAV- DYJ KO\FFICIENT, KROME KRAJNIH DWUH, KOTORYE RAWNY 1, RAWEN SUMME SOOTWETSTWU@]IH KO\F- FICIENTOW IZ PREDYDU]EJ STROKI.
2.5.pOLINOMIALXNAQ TEOREMA. rASSMOTRIM WOPROS O TOM, KAK RASKRYWATX SKOBKI PRI
WY^ISLENII WYRAVENIQ WIDA
(a1 + a2 + : : : + ak)n: oTWET NA \TOT WOPROS DAET SLEDU@]AQ
tEOREMA 1. wYRAVENIE
(a1 + a2 + : : : + ak)n
RAWNO SUMME WSEH WOZMOVNYH SLAGAEMYH WIDA
|
n! |
|
|
a1r1 a2r2 : : : akrk |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
r1!r2! : : :rk! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
GDE r1 + r2 + : : : + rk = n, TO ESTX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a1 + a2 + : : : + ak)n = |
0X |
|
|
|
n! |
|
|
|
a1r1 a2r2 : : : akrk : |
|
(3) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
r1!r2! : : :rk! |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
r1 |
::: rk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
r1+:::+rk=n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
dOKAZATELXSTWO pEREMNOVIM POSLEDOWATELXNO |
a1 +: : :+ak n |
RAZ |
. |
tOGDA POLU^IM |
k |
n SLAGAEMYH |
||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
WIDA d1 : : :dn, GDE KAVDYJ MNOVITELX di RAWEN ILI a1, ILI a2, : : :, ILI ak. oBOZNA^IM ^EREZ |
||||||||||||||||
B(r1 : : : rk) SOWOKUPNOSTX WSEH TEH SLAGAEMYH, GDE a1 WSTRE^AETSQ MNOVITELEM r1 RAZ, a2 | |
||||||||||||||||
r2 RAZ, : : :, ak | rk RAZ. ~ISLO TAKIH SLAGAEMYH RAWNO Cn(r1 : : : rk) (SM. P. II.2.2.). nO |
||||||||||||||||
Cn(r1 : : : rk) = |
|
|
|
n! |
: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
r1!r2! : : :rk! |
|
|
|
|
|
|
|
53
gLAWA II. oSNOWY KOMBINATORIKI
sLEDOWATELXNO,
(a1 + a2 + : : : + ak)n = |
0X |
|
|
|
|
|
n! |
ar1 ar2 |
: : :ark : |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
r1!r2! : : :rk! |
||||||||
|
|
0 |
|
1 2 |
k |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
r1 |
|
::: rk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1+:::+rk=n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
dANNAQ TEOREMA NAZYWAETSQ POLINOMIALXNOJ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
pRI n = 2 RAWENSTWO (3) PRINIMAET WID |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n! |
|
|
|
|
|
||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(a1 + a2)n |
= |
r!(n |
; |
r)!a1n;ra2r: |
|
||||||
r=0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tAKIM OBRAZOM, FORMULA BINOMA nX@TONA QWLQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM POLINOMIALXNOJ FOR- MULY.
2.6. bINOMIALXNYE TOVDESTWA. ~ISLA Cnk IME@T RQD WAVNYH SWOJSTW. uKAVEM NEKO- TORYE IZ NIH I USTANOWIM RQD INTERESNYH TOVDESTW, KOTORYM UDOWLETWORQ@T BINOMIALXNYE KO\FFICIENTY.
rASSMOTRIM SLEDU@]IE RAWENSTWA:
Cnk = Cnn;k |
|
(4) |
||||
Ck |
|
= Ck |
+ Ck;1 |
|
(5) |
|
n+1 |
|
n |
n |
|
|
|
C0 |
+ C1 |
+ |
: : : + Cn |
= 2n |
(6) |
|
n |
|
n |
|
n |
|
|
Cn0 |
; Cn1 |
+ Cn2 ; : : : + (;1)nCnn = 0: |
(7) |
rAWENSTWO (4) LEGKO PROWERQETSQ WY^ISLENIEM. rAWENSTWA (5) I (6) BYLI POLU^ENY RANEE (RAWENSTWO (6) MOVNO POLU^ITX TAKVE WZQW W FORMULE BINOMA a = b = 1). eSLI W FORMULE BINOMA nX@TONA POLOVITX a = 1, b = ;1, TO POLU^IM RAWENSTWO (7).
2.7.nOWYE TERMINY. rAZME]ENIQ S POWTORENIQMI. pERESTANOWKI S POWTORENIQMI. sO^E-
TANIQ S POWTORENIQMI. pOLINOMIALXNYE KO\FFICIENTY. bINOM nX@TONA. tREUGOLXNIK pASKALQ. bINOMIALXNYE KO\FFICIENTY. pOLINOMIALXNAQ TEOREMA. bINOMIALXNYE TOVDESTWA.
2.8.uPRAVNENIQ.
1.sKOLXKO RAZLI^NYH SLOW MOVNO SOSTAWITX, PERESTAWLQQ BUKWY SLOWA \MAMA"? nAPI[ITE WSE \TI SLOWA.
2.sKOLXKO PQTIBUKWENNYH SLOW MOVNO SOSTAWITX IZ BUKW a, b, c, ESLI IZWESTNO, ^TO BUKWA a WSTRE^AETSQ W SLOWE NE BOLEE DWUH RAZ, BUKWA b | NE BOLEE ODNOGO RAZA, BUKWA c | NE BOLEE TREH RAZ?
3.nAPI[ITE WSE SO^ETANIQ S POWTORENIQMI IZ TREH PREDMETOW a, b, c PO 3.
4.sKOLXKIMI SPOSOBAMI MOVNO WYBRATX 6 ODINAKOWYH ILI RAZNYH PIROVNYH W KONDITERSKOJ, GDE ESTX 11 RAZNYH SORTOW PIROVNYH?
5.sKOLXKO CELYH POLOVITELXNYH KORNEJ IMEET URAWNENIE
x1 + : : : + xm = n?
6. sKOLXKO CELYH NEOTRICATELXNYH RE[ENIJ IMEET NERAWENSTWO
x1 + : : : + xm n?
54
x 2. rAZME]ENIQ, PERESTANOWKI I SO^ETANIQ S POWTORENIQMI. bINOM nX@TONA I POLINOMIALXNAQ FORMULA
7.sKOLXKIMI SPOSOBAMI MOVNO RAZDATX 18 RAZLI^NYH PREDMETOW 5 U^ENIKAM TAK, ^TOBY ^ET- WERO IZ NIH POLU^ILI PO 4 PREDMETA, A PQTYJ | 2 PREDMETA. tA VE ZADA^A, NO TROE POLU^A@T PO 4 PREDMETA, A DWOE | PO 3 PREDMETA.
8.sKOLXKIMI SPOSOBAMI MOVNO RASSTAWITX 12 BELYH I 12 ^ERNYH [A[EK NA ^ERNYE POLQ DOSKI TAK, ^TOBY \TO POLOVENIE BYLO SIMMETRI^NO OTNOSITELXNO CENTRA DOSKI?
9.sKOLXKIMI SPOSOBAMI DWA ^ELOWEKA MOGUT RAZDELITX 2n PREDMETOW ODNOGO WIDA, 2n PREDME- TOW WTOROGO WIDA I 2n PREDMETOW TRETXEGO WIDA TAK, ^TOBY KAVDYJ POLU^IL PO 3n PREDME- TOW.
10.nAJTI ^ISLO WSEH RAZBIENIJ n-\LEMENTNOGO MNOVESTWA.
11.uKAZATX NAIBOLX[EE SREDI ^ISEL Cnk (k = 0 1 : : : n).
12.nAJTI n, ESLI IZWESTNO, ^TO W RAZLOVENII (1 + x)n KO\FFICIENTY PRI x5 I x12 RAWNY.
13.sKOLXKO RACIONALXNYH ^LENOW SODERVIT RAZLOVENIE
(p2 + p4 3)100?
14.pOLXZUQSX POLINOMIALXNOJ TEOREMOJ, WY^ISLITX (x + y + z)3.
15.~EMU RAWEN KO\FFICIENT PRI x2y3z2 W WYRAVENII (x + y + z)7?
16.dOKAZATX, ^TO ^ISLA Cp1 Cp2 : : : Cpp;1 DELQTSQ NA p, ESLI p | PROSTOE ^ISLO.
17.dOKAZATX, ^TO RAZNOSTX ap ; a PRI L@BOM CELOM a DELITSQ NA p, ESLI p | PROSTOE ^ISLO
(MALAQ TEOREMA fERMA).
18.w KLASSE 2n PREDMETOW. wSE U^ENIKI U^ATSQ NA 4 I 5. nIKAKIE 2 IZ NIH NE U^ATSQ ODINAKOWO, NI O KAKIH DWUH IZ NIH NELXZQ SKAZATX, ^TO ODIN IZ NIH U^ITSQ LU^[E DRUGOGO. dOKAZATX, ^TO ^ISLO U^ENIKOW W KLASSE NE PREWY[AET C2nn.
19.wY^ISLITX SUMMU: Cn0 + Cn4 + Cn8 + : : :
20.wY^ISLITX SUMMU: Cn1 + Cn3 + Cn5 + : : :
55
gLAWA III
aLGEBRA WYSKAZYWANIJ
x 1. pOSTROENIE ALGEBRY WYSKAZYWANIJ
wYSKAZYWANIQ: PROSTYE, SOSTAWNYE, KONKRETNYE I PEREMENNYE. lOGI^ESKIE OPERACII NAD WY- SKAZYWANIQMI. fORMULY, LOGI^ESKIE WOZMOVNOSTI FORMULY. tOVDESTWENNO ISTINNYE, TOV- DESTWENNO LOVNYE I RAWNOSILXNYE FORMULY. tABLICY ISTINNOSTI. sWOJSTWA OPERACIJ NAD WYSKAZYWANIQMI. aLGEBRA WYSKAZYWANIJ.
1.1.pROSTYE I SOSTAWNYE WYSKAZYWANIQ. wYSKAZYWATELXNYE PEREMENNYE. pO-
NQTIE WYSKAZYWANIQ QWLQETSQ ODNIM IZ PERWI^NYH NEOPREDELQEMYH PONQTIJ W MATEMATIKE. oPRE- DELENNOE PREDSTAWLENIE O SMYSLE \TOGO PONQTIQ DAET SLEDU@]EE EGO OPISANIE. wYSKAZYWANIE |
\TO PREDLOVENIE, OTNOSITELXNO KOTOROGO IMEET SMYSL UTWERVDATX, ISTINNO ONO ILI LOVNO. tAKIM OBRAZOM, OTLI^ITELXNOJ OSOBENNOSTX@ WYSKAZYWANIJ QWLQETSQ WOZMOVNOSTX PRINIMATX ODNO IZ DWUH ZNA^ENIJ: ISTINA | 1, ILI LOVX | 0. |TI ZNA^ENIQ NAZYWA@TSQ ISTINNOSTNYMI
ZNA^ENIQMI.
wYSKAZYWANIQ MOGUT BYTX PROSTYMI ILI SOSTAWNYMI.
eSLI W WYSKAZYWANII A NELXZQ WYDELITX NEKOTORU@ ^ASTX, KOTORAQ SAMA QWLQETSQ WYSKA- ZYWANIEM I NE SOWPADAET PO SMYSLU S WYSKAZYWANIEM A, TO A NAZYWAETSQ PROSTYM WYSKAZY-
WANIEM. w PROTIWNOM SLU^AE WYSKAZYWANIE A NAZYWAETSQ SOSTAWNYM.
pROSTYE WYSKAZYWANIQ (A W NEKOTORYH SLU^AQH I SOSTAWNYE) BUDEM OBOZNA^ATX BOLX[IMI BUK- WAMI LATINSKOGO ALFAWITA, A FAKT ISTINNOSTI ILI LOVNOSTI WYSKAZYWANIQ: A = 1 ILI A = 0. pODOBNO TOMU, KAK W [KOLXNOJ MATEMATIKE RASSMATRIWALISX KONKRETNYE ^ISLA I NEIZWESTNYE ILI PEREMENNYE ^ISLA, OBOZNA^ENNYE TOJ ILI INOJ BUKWOJ, TAK I ZDESX MY BUDEM RASSMATRIWATX WSQKU@ BOLX[U@ BUKWU LATINSKOGO ALFAWITA KAK NEKOTOROE PEREMENNOE WYSKAZYWANIE, KOTOROE MOVET PRINIMATX ZNA^ENIQ 0 ILI 1 , ESLI NE SKAZANO, ^TO DANNAQ BUKWA OBOZNA^AET KAKOE-TO KON- KRETNOE WYSKAZYWANIE. bUKWY, OBOZNA^A@]IE PEREMENNYE WYSKAZYWANIQ, BUDEM NAZYWATX WY-
SKAZYWATELXNYMI PEREMENNYMI.
1.2.oSNOWNYE LOGI^ESKIE SWQZKI. kONSTRUIROWANIE SOSTAWNYH WYSKAZYWANIJ IZ PROS-
TYH OSU]ESTWLQETSQ PRI POMO]I SWQZOK, SM. TABLICU 1.
1.3.lOGI^ESKIE OPERACII NAD WYSKAZYWANIQMI. wO IZBEVANIE NEODINAKOWOJ TRAK-
TOWKI SMYSLA KAVDOJ IZ SWQZOK OPREDELIM \TOT SMYSL SLEDU@]IMI NIVE TABLICAMI 2{6.
1.4.fORMULY I IH LOGI^ESKIE WOZMOVNOSTI.
oPREDELENIE 1. fORMULAMI NAZYWA@TSQ:
1)BOLX[IE BUKWY LATINSKOGO ALFAWITA, SNABVENNYE, BYTX MOVET, [TRIHAMI ILI INDEK- SAMI I OBOZNA^A@]IE WYSKAZYWANIQ ILI WYSKAZYWATELXNYE PEREMENNYE
2)ESLI a I b | FORMULY, TO WYRAVENIQ:
:a (a & b) (a _ b) (a ! b) (a b)
TAKVE QWLQ@TSQ FORMULAMI
3) dRUGIH FORMUL, KROME TEH, KOTORYE OPREDELENY PUNKTAMI 1) I 2), NET.
56
x 1. pOSTROENIE ALGEBRY WYSKAZYWANIJ
tABL. 1: oSNOWNYE LOGI^ESKIE SWQZKI.
sWQZKI |
oBOZNA^ENIQ |
nAZWANIE SOOT- |
|||
|
|
|
|
WETSTWU@]IH |
|
|
|
|
|
OPERACIJ |
|
|
|
|
|
|
|
NET NE NEWERNO : : : |
: ( |
|
) |
OTRICANIE |
|
|
|||||
I A NO : : : |
|
|
KON_@NKCIQ |
||
& |
(^) |
||||
ILI LIBO : : : |
_ |
DIZ_@NKCIQ |
|||
|
|
||||
SLEDUET WLE^ET ESLI : : :, TO : : : |
|
|
IMPLIKACIQ |
||
! |
|
|
|||
TOGDA WYTEKAET : : : |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
\KWIWALENTNO RAWNOSILXNO ESLI I |
($) |
\KWIWALENCIQ |
|||
TOLXKO ESLI TOGDA I TOLXKO TOGDA |
|
|
|
|
|
W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE : : : |
|
|
|
|
tABL. 2: lOGI^ESKAQ SWQZKA :.
A:A
10
01
tABL. 3: lOGI^ESKAQ SWQZKA &.
A |
B |
A & B |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
tABL. 4: lOGI^ESKAQ SWQZKA _.
A |
B |
A _ B |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
tABL. 5: lOGI^ESKAQ SWQZKA !.
A |
B |
A ! B |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
57
gLAWA III. aLGEBRA WYSKAZYWANIJ
tABL. 6: lOGI^ESKAQ SWQZKA .
A |
B |
A B |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
fORMULY BUDEM OBOZNA^ATX MALYMI GOTI^ESKIMI BUKWAMI: a, b, c, : : : eSLI A1 A2 : : : An | WSE BUKWY, U^ASTWU@]IE W ZAPISI FORMULY a, TO BUDEM PISATX a = a(A1 A2 : : : An). nAPRIMER,
a(a) = :a, b(A1 A2 A3) = (A3 ! (A2 ! A1)), c(A B C) = ((A_B) ! C) I T. D. dLQ UMENX[ENIQ KOLI^ESTWA SKOBOK W FORMULAH USLOWIMSQ S^ITATX, ^TO SWQZKA : SWQZYWAET WYSKAZYWANIQ SILXNEE,
^EM WSE OSTALXNYE SWQZKI, & I _ | SILXNEE, ^EM ! I . kROME TOGO, WNE[NIE SKOBKI BUDEM INOGDA OPUSKATX.
oPREDELENIE 2. lOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTX@ FORMULY a(A1 A2 : : : An) OT WYSKAZYWATELXNYH PEREMENNYH A1 A2 : : : An NAZYWAETSQ WSQKIJ NABOR KONKRETNYH ZNA^ENIJ ISTINNOSTI DLQ BUKW A1 A2 : : : An.
tABLICA, SODERVA]AQ PERE^ENX WSEWOZMOVNYH LOGI^ESKIH WOZMOVNOSTEJ FORMULY a, NAZY- WAETSQ TABLICEJ LOGI^ESKIH WOZMOVNOSTEJ \TOJ FORMULY.
tAK, NAPRIMER, WSQKAQ FORMULA OT ODNOJ BUKWY IMEET DWE LOGI^ESKIE WOZMOVNOSTI: 0 I 1. wSQKAQ FORMULA OT DWUH BUKW IMEET ^ETYRE LOGI^ESKIH WOZMOVNOSTI: (1 1), (1 0), (0 1), (0 0).
tABLICA WIDA
11
10
01
00
QWLQETSQ TABLICEJ LOGI^ESKIH WOZMOVNOSTEJ DLQ WSQKOJ FORMULY OT 2 BUKW (WYSKAZYWATELXNYH PEREMENNYH) A I B.
1.5.rAWNOSILXNYE FORMULY.
oPREDELENIE 1 (OB]EJ LOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTI). pUSTX a I b DWE FORMULY, A A1 A2 : : : An
WSE WYSKAZYWATELXNYE PEREMENNYE, WHODQ]IE W ZAPISX HOTQ BY ODNOJ IZ \TIH FORMUL. oB- ]EJ LOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTX@ FORMUL a I b NAZYWAETSQ WSQKIJ NABOR KONKRETNYH ZNA^ENIJ ISTINNOSTI DLQ WYSKAZYWATELXNYH PEREMENNYH A1 A2 : : : An.
mOVNO OPREDELITX PONQTIE OB]EJ LOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTI DLQ L@BOGO KONE^NOGO ^ISLA FOR- MUL.
oPREDELENIE 2 (RAWNOSILXNYH FORMUL). dWE FORMULY a I b NAZYWA@TSQ RAWNOSILXNYMI: a b, ESLI WO WSQKOJ OB]EJ DLQ a I b LOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTI a I b PRINIMA@T ODINAKO- WYE ZNA^ENIQ.
tEOREMA 1. oTNO[ENIE NA MNOVESTWE WSEH FORMUL OT BUKW IZ NEKOTOROGO ALFAWITA M QWLQETSQ OTNO[ENIEM \KWIWALENTNOSTI.
dOKAZATELXSTWO PROWEDITE SAMOSTOQTELXNO.
58
x 1. pOSTROENIE ALGEBRY WYSKAZYWANIJ
1.6.tAWTOLOGII I PROTIWORE^IQ. tABLICY ISTINNOSTI.
oPREDELENIE 1 (TAWTOLOGII I PROTIWORE^IQ). fORMULA a NAZYWAETSQ TOVDESTWENNO ISTIN- NOJ (TOVDESTWENNO LOVNOJ) ILI TAWTOLOGIEJ (PROTIWORE^IEM) I OBOZNA^AETSQ: a 1 (a 0), ESLI WO WSEH LOGI^ESKIH WOZMOVNOSTQH ONA PRINIMAET ODNO I TO VE ZNA^ENIE, RAWNOE 1 (RAW- NOE 0). zAPISX j= a OZNA^AET, ^TO a | TAWTOLOGIQ.
tEOREMA 1. dLQ L@BYH DWUH FORMUL a I b ISTINNO UTWERVDENIE:
a b ()j= (a b):
dOKAZATELXSTWO PROWEDITE SAMOSTOQTELXNO.
oPREDELENIE 2 (TABLICY ISTINNOSTI). tABLICA, W KOTOROJ PRIWEDEN PERE^ENX WSEH LOGI^ES- KIH WOZMOVNOSTEJ FORMULY a (OB]IH LOGI^ESKIH WOZMOVNOSTEJ FORMUL a1 : : : an) WMESTE S UKAZANIEM ZNA^ENIJ a (ZNA^ENIJ a1 : : : an) W KAVDOJ LOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTI (OB]EJ LOGI^ES- KOJ WOZMOVNOSTI), NAZYWAETSQ TABLICEJ ISTINNOSTI FORMULY a (FORMUL a1 : : : an).
1.7.sWOJSTWA LOGI^ESKIH OPERACIJ (ZAKONY LOGIKI).
tEOREMA 1. dLQ L@BYH LOGI^ESKIH FORMUL a, b, c ISTINNY SLEDU@]IE RAWNOSILXNOSTI.
1. zAKON DWOJNOGO OTRICANIQ:
::a a:
2.iDEMPOTENTNOSTX OPERACIJ & I _: a & a a a _ a a:
3.kOMMUTATIWNOSTX OPERACIJ & I _: a & b b & a a _ b b _ a:
4.aSSOCIATIWNOSTX OPERACIJ & I _:
a & (b & c) (a & b) & c a _ (b _ c) (a _ b) _ c:
5.dISTRIBUTIWNYE ZAKONY KAVDOJ IZ OPERACIJ & I _ OTNOSITELXNO DRUGOJ: a & (b _ c) (a & b) _ (a & c) a _ (b & c) (a _ b) & (a _ c):
6.zAKONY POGLO]ENIQ:
a & (a _ b) a a _ (a & b) a:
7.zAKONY DE mORGANA:
:(a & b) :a _ :b :(a _ b) :a & :b:
8.zAKON ISKL@^ENNOGO TRETXEGO:
a _ :a 1
9.zAKON PROTIWORE^IQ: a & :a 0:
10.sWOJSTWA TAWTOLOGII I PROTIWORE^IQ:
a & 1 |
a a _ 0 |
a, |
|
a _ 1 |
1 |
a & 0 |
0, |
:1 |
0 |
:0 |
1. |
11.zAKON KONTRAPOZICII:
a ! b :b ! :a:
59