Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Кулабухов С.Ю. Дискретная математика1

.pdf
Скачиваний:
49
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
1.17 Mб
Скачать

x 2. rAZME]ENIQ, PERESTANOWKI I SO^ETANIQ S POWTORENIQMI. bINOM nX@TONA I POLINOMIALXNAQ FORMULA

 

 

k

 

 

 

 

rAZME]ENIQ S POWTORENIQMI An. pERESTANOWKI S POWTORENIQMI.

pOLINOMIALXNYE KO\FFICI-

 

 

k

k

 

 

 

ENTY. sO^ETANIQ S POWTORENIQMI fn . fORMULY DLQ WY^ISLENIQ An, POLINOMIALXNYH KO\F-

k

 

FICIENTOW I fn . bINOM nX@TONA. tREUGOLXNIK pASKALQ. pOLINOMIALXNAQ TEOREMA.

2.1. rAZME]ENIQ S POWTORENIQMI.

 

oPREDELENIE 1. pUSTX n k 2 N0 I B = fb1 b2 : : : bng. rAZME]ENIEM S POWTORENIQMI IZ n

\LEMENTOW MNOVESTWA B PO k \LEMENTOW NAZYWAETSQ WSQKAQ POSLEDOWATELXNOSTX DLINY k,

SOSTAWLENNAQ IZ \LEMENTOW \TOGO MNOVESTWA (W POSLEDOWATELXNOSTI WOZMOVNY POWTORQ@-

]IESQ \LEMENTY).

 

o^EWIDNO, ^TO KOLI^ESTWO WSEWOZMOVNYH RAZME]ENIJ S POWTORENIQMI IZ \LEMENTOW MNOVES-

TWA B PO k \LEMENTOW NE ZAWISIT OT PRIRODY \LEMENTOW MNOVESTWA B. pO \TOJ PRI^INE ^EREZ Akn OBOZNA^IM KOLI^ESTWO WSEWOZMOVNYH RAZME]ENIJ S POWTORENIQMI n-\LEMENTNOGO MNOVESTWA PO k

\LEMENTOW.

 

pRIMER 1. pUSTX C =

fa b cg. wSE RAZME]ENIQ S POWTORENIQMI PO 2 \TOGO MNOVESTWA: (a a),

(a b), (a c), (b a), (b b), (b c), (c a), (c b), (c c).

tAKIM OBRAZOM, A23 = 9.

tEOREMA 1. ~ISLO RAZME]ENIJ S POWTORENIQMI

Akn = nk:

dOKAZATELXSTWO. 1-YM \LEMENTOM POSLEDOWATELXNOSTI MOVET BYTX L@BOJ IZ n \LEMENTOW MNO- VESTWA, 2-YM | TAKVE L@BOJ IZ n \LEMENTOW I T. D., DO k-GO \LEMENTA POSLEDOWATELXNOSTI.

oTS@DA, PO PRAWILU UMNOVENIQ, Akn = n n : : : n = nk.

| {zk }

zADA^A 1. dLQ ZAPIRANIQ SEJFOW I AWTOMATI^ESKIH KAMER HRANENIQ PRIMENQ@T SEKRETNYE ZAM- KI, KOTORYE OTKRYWA@TSQ LI[X TOGDA, KOGDA NABRANO NEKOTOROE \TAJNOE SLOWO". |TO SLOWO NABI- RA@T S POMO]X@ ODNOGO ILI NESKOLXKIH DISKOW, NA KOTORYH NANESENY BUKWY (ILI CIFRY). pUSTX NA DISK NANESENY 12 BUKW, A SEKRETNOE SLOWO SOSTOIT IZ 5 BUKW. sKOLXKO NEUDA^NYH POPYTOK MOVET BYTX SDELANO ^ELOWEKOM NE ZNA@]IM SEKRETNOGO SLOWA?

rE[ENIE. oB]EE ^ISLO KOMBINACIJ RAWNO

A512 = 125 = 248832:

zNA^IT, NEUDA^NYH POPYTOK MOVET BYTX 248831. wPRO^EM, OBY^NO SEJFY DELA@T TAK, ^TO POSLE PERWOJ VE NEUDA^NOJ POPYTKI OTKRYTX IH RAZDAETSQ SIGNAL TREWOGI.

2.2.pERESTANOWKI S POWTORENIQMI.

oPREDELENIE 1. pUSTX n 2 N0, B = fb1 b2 : : : bng. pERESTANOWKOJ c POWTORENIQMI IZ \LE- MENTOW MNOVESTWA B NAZYWAETSQ WSQKOE RAZME]ENIE S POWTORENIQMI DLINY n.

pUSTX k1 k2 : : : km | CELYE NEOTRICATELXNYE ^ISLA, PRI^EM k1 + k2 + : : : + km = n. ~ISLO PERESTANOWOK S POWTORENIQMI, W KOTORYH m RAZLI^NYH \LEMENTOW MNOVESTWA B I ki \LEMENTOW i-GO WIDA (i = 1 2 : : : m) NE ZAWISIT OT PRIRODY \LEMENTOW MNOVESTWA B. pO\TOMU ^ISLO TAKIH PERESTANOWOK BUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ Cn(k1 k2 : : : km). ~ISLA Cn(k1 k2 : : : km) NAZYWA@TSQ PO-

LINOMIALXNYMI KO\FFICIENTAMI.

pRIMER 1. pUSTX A = fa b c dg. tOGDA SOOTWETSTWU@]IE PERESTANOWKI S POWTORENIQMI W KO-

TORYH 1 \LEMENT a I 3 \LEMENTA b (m = 2, k1 = 1, k2 = 3): (a b b b), (b a b b), (b b a b), (b b b a). tO ESTX C4(1 3) = 4.

50

x 2. rAZME]ENIQ, PERESTANOWKI I SO^ETANIQ S POWTORENIQMI. bINOM nX@TONA I POLINOMIALXNAQ FORMULA

tEOREMA 1. pUSTX k1 k2 : : : km | CELYE NEOTRICATELXNYE ^ISLA, PRI^EM k1+k2+: : :+km = n. ~ISLO RAZLI^NYH PERESTANOWOK, KOTORYE MOVNO SOSTAWITX IZ n \LEMENTOW, SREDI KOTORYH IMEETSQ k1 \LEMENTOW PERWOGO TIPA, k2 \LEMENTOW WTOROGO TIPA, : : : , km \LEMENTOW m-GO TIPA (POLINOMIALXNYJ KO\FFICIENT) RAWNO

n!

Cn(k1 k2 : : : km) = k1! k2! : : : km!:

dOKAZATELXSTWO. rASSMOTRIM ODNU PERESTANOWKU I ZAMENIM W NEJ WSE ODINAKOWYE \LEMENTY RAZNYMI. tOGDA ^ISLO RAZLI^NYH PERESTANOWOK, KOTORYE MOVNO SOSTAWITX IZ RASSMATRIWAEMOJ PERESTANOWKI, RAWNO k1! k2! : : : km!. pRODELAW \TO DLQ KAVDOJ PERESTANOWKI, POLU^IM n! PERE- STANOWOK. sLEDOWATELXNO,

Cn(k1 k2 : : : km) k1! k2! : : : km! = n!

^TO I DOKAZYWAET UTWERVDENIE TEOREMY.

pOLINOMIALXNYE KO\FFICIENTY IME@T E]E ODNU O^ENX WAVNU@ KOMBINATORNU@ INTERPRETA-

CI@. pUSTX IMEETSQ n BUKW: k1 BUKW a1, k2 BUKW a2, : : :, km BUKW am (k1 + k2 + : : :+ km = n). ~ISLO RAZLI^NYH SLOW, KOTORYE MOVNO SOSTAWITX IZ \TIH BUKW, O^EWIDNO, RAWNO

n!

Cn(k1 k2 : : : km) = k1! k2! : : : km!:

zADA^A 1. sKOLXKO RAZLI^NYH SLOW MOVNO SOSTAWITX, PERESTAWLQQ BUKWY SLOWA \MATEMATIKA"?

rE[ENIE. ~ISLO RAZLI^NYH SLOW RAWNO

10!

C10(2 2 3 1 1 1) = 2! 2! 3! = 151200:

zADA^A 2. sKOLXKIMI SPOSOBAMI MOVNO RAZDELITX m + n + s PREDMETOW NA 3 GRUPPY TAK, ^TOBY W PERWOJ GRUPPE BYLO m PREDMETOW, WO WTOROJ | n PREDMETOW, W TRETXEJ | s PREDMETOW?

rE[ENIE. iSKOMOE ^ISLO SPOSOBOW RAWNO

(m + n + s)!

Cm+n+s(m n s) = m! n! s! :

2.3.sO^ETANIQ S POWTORENIQMI.

oPREDELENIE 1. pUSTX k 2 N0, n 2 N. sO^ETANIEM IZ n \LEMENTOW PO k \LEMENTOW S PO- WTORENIQMI NAZYWAETSQ SOWOKUPNOSTX, SODERVA]AQ k \LEMENTOW, PRI^EM KAVDYJ \LEMENT PRINADLEVIT K ODNOMU IZ n TIPOW.

~ISLO SO^ETANIJ IZ n \LEMENTOW PO k \LEMENTOW S POWTORENIQMI OBOZNA^AETSQ fnk.

pRIMER 1. iZ TREH BUKW a, b, c MOVNO SOSTAWITX TAKIE SO^ETANIQ PO DWA S POWTORENIQMI: aa, bb, cc, ac, bc, ab. tAKIM OBRAZOM, f32 = 6.

tEOREMA 1. ~ISLO RAZLI^NYH SO^ETANIJ IZ n \LEMENTOW PO k \LEMENTOW S POWTORENIQMI RAW- NO

k

n;1

k

fn

= Cn+k;1

= Cn+k;1:

dOKAZATELXSTWO. kAVDOE SO^ETANIE POLNOSTX@ OPREDELQETSQ, ESLI UKAZATX, SKOLXKO \LEMENTOW KAVDOGO IZ n TIPOW W NEGO WHODIT. pOSTAWIM W SOOTWETSTWIE KAVDOMU SO^ETANI@ POSLEDOWA- TELXNOSTX NULEJ I EDINIC, SOSTAWLENNU@ PO TAKOMU PRAWILU: NAPI[EM PODRQD STOLXKO EDINIC, SKOLXKO \LEMENTOW PERWOGO TIPA WHODIT W SO^ETANIE, DALEE POSTAWIM NULX I POSLE NEGO NAPI[EM

51

gLAWA II. oSNOWY KOMBINATORIKI

STOLXKO EDINIC, SKOLXKO \LEMENTOW WTOROGO TIPA WHODIT W SO^ETANIE I T. D. nAPRIMER, NAPISAN- NYM WY[E SO^ETANIQM IZ TREH BUKW PO DWE BUDUT SOOTWETSTWOWATX TAKIE POSLEDOWATELXNOSTI:

1100 0110 0011 1001 0101 1010:

tAKIM OBRAZOM, KAVDOMU SO^ETANI@ IZ n \LEMENTOW PO k \LEMENTOW S POWTORENIQMI SOOTWET- STWUET POSLEDOWATELXNOSTX IZ k EDINIC I n ; 1 NULEJ, I NAOBOROT, PO KAVDOJ TAKOJ POSLEDOWA- TELXNOSTI ODNOZNA^NO WOSSTANAWLIWAETSQ TAKOE SO^ETANIE. pO\TOMU ^ISLO SO^ETANIJ IZ n PO k S POWTORENIQMI RAWNO ^ISLU POSLEDOWATELXNOSTEJ IZ k EDINIC I n ; 1 NULEJ.

rASSMOTRIM MNOVESTWO A POSLEDOWATELXNOSTEJ (x1 x2 : : : xk+n;1), GDE ^ISLA xi PRINIMA@T TOLXKO ZNA^ENIQ 0 ILI 1 I SREDI NIH ROWNO k EDINIC. ~TOBY WY^ISLITX ^ISLO \LEMENTOW MNO- VESTWA A, OBRATIM WNIMANIE, ^TO ONO RAWNOMO]NO MNOVESTWU WSEH k-\LEMENTNYH PODMNOVESTW

MNOVESTWA

f1 2 : : : k +n;1g:

PODMNOVESTWO ^ISEL

fi1

: : : ikg

SOOTWETSTWUET TOJ POSLEDOWATELX

-

 

 

 

 

A

 

= C

k

.

NOSTI (x1 : : : xk+n;1), U KOTOROJ xi1 = 1, : : : , xik = 1. sLEDOWATELXNO,

j

j

k+n;1

 

pRIMER 2. kOSTI DOMINO MOVNO RASSMATRIWATX KAK SO^ETANIQ S POWTORENIQMI IZ SEMI CIFR 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 PO DWE. ~ISLO WSEH TAKIH SO^ETANIJ RAWNO

f2 = C2 = 8 7 = 28:

7 8 2

zADA^A 1. sKOLXKO CELYH NEOTRICATELXNYH RE[ENIJ IMEET URAWNENIE

x1 + x2 + : : : + xn = k?

rE[ENIE. eSLI IMEEM CELYE NEOTRICATELXNYE ^ISLA x1 : : : xn TAKIE, ^TO x1 + : : : + xn = k, TO MOVEM SOSTAWITX SO^ETANIE IZ n \LEMENTOW PO k S POWTORENIQMI WZQW x1 \LEMENTOW PERWOGO TIPA, x2 | WTOROGO TIPA, : : : , xn | n-GO TIPA. nAOBOROT, IMEQ SO^ETANIE IZ n \LEMENTOW PO k, POLU^IM RE[ENIE URAWNENIQ x1+: : :+xn = k (x1 \LEMENTOW PERWOGO TIPA, x2 | WTOROGO TIPA, : : :, xn | n-GO TIPA) W CELYH NEOTRICATELXNYH ^ISLAH. sLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET BIEKCIQ MEVDU MNOVESTWOM WSEH SO^ETANIJ IZ n \LEMENTOW PO k S POWTORENIQMI I MNOVESTWOM WSEH CELYH NEOTRICATELXNYH

k

n;1

k

RE[ENIJ URAWNENIQ x1 + : : : + xn = k. pO\TOMU ^ISLO RE[ENIJ RAWNO fn

= Cn+k;1

= Cn+k;1.

2.4.bINOM nX@TONA. iZWESTNO, ^TO

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3:

kAK RASKRYWATX SKOBKI PRI WY^ISLENII WYRAVENIQ (a + b)n? oTWET NA \TOT WOPROS DAET SLEDU@]AQ

tEOREMA 1. iMEET MESTO RAWENSTWO

 

 

(a + b)n = C0anb0

+ C1an;1b1

+ : : : + Ckan;kbk + : : : + Cna0bn

(1)

 

 

 

n

n

n

n

 

GDE Cnk =

n!

 

.

 

 

 

 

k!(n ; k)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fORMULU (1) MOVNO ZAPISATX W WIDE

n

(a + b)n = X Cnkan;kbk:

k=0

dOKAZATELXSTWO. pEREMNOVIM POSLEDOWATELXNO (a + b) n RAZ. tOGDA POLU^IM SUMMU 2n SLAGA- EMYH WIDA d1 : : :dn, GDE di (i = 1 : : : n) RAWNO LIBO a, LIBO b. rAZOBXEM WSE SLAGAEMYE NA n + 1 GRUPPU B0 : : : Bn, OTNESQ K Bk WSE TE PROIZWEDENIQ, W KOTORYH b WSTRE^AETSQ MNOVITELEM k RAZ,

52

x 2. rAZME]ENIQ, PERESTANOWKI I SO^ETANIQ S POWTORENIQMI. bINOM nX@TONA I POLINOMIALXNAQ FORMULA

A a | (n ; k) RAZ. ~ISLO PROIZWEDENIJ W Bk RAWNO, O^EWIDNO, Cnk (TAKIM ^ISLOM SPOSOBOW SRE- DI n MNOVITELEJ d1 d2 : : : dn MOVNO WYBRATX k MNOVITELEJ, KOTORYE BUDUT RAWNY b), A KAVDOE SLAGAEMOE W Bk RAWNO an;kbk. pO\TOMU

n

(a + b)n = X Cnkan;kbk:

k=0

tEOREMA DOKAZANA.

|TU TEOREMU INOGDA NAZYWA@T BINOMIALXNOJ TEOREMOJ, A ^ISLA Cnk | BINOMIALXNYMI KO\F- FICIENTAMI. rAWENSTWO (1) ^ASTO NAZYWA@T BINOMOM nX@TONA.

nAPOMNIM SLEDU@]EE WAVNOE SWOJSTWO BINOMIALXNYH KO\FFICIENTOW:

Cnk+1 = Cnk + Cnk;1:

(2)

oNO BYLO USTANOWLENO W P. II.1.5.

rAWENSTWO (2) POKAZYWAET, ^TO BINOMIALXNYE KO\FFICIENTY MOVNO POSLEDOWATELXNO WYPI- SYWATX W WIDE TREUGOLXNOJ TABLICY, KOTORAQ NAZYWAETSQ TREUGOLXNIKOM pASKALQ:

 

1

1

 

 

n = 1

 

1

2

1

 

n = 2

1

3

3

1

 

n = 3

1

4

6

4

1

n = 4

1 5

10

10

5

1

n = 5

 

 

: : :

 

 

 

w n-OJ STROKE TREUGOLXNIKA pASKALQ STOQT KO\FFICIENTY RAZLOVENIQ (a + b)n, PRI^EM KAV- DYJ KO\FFICIENT, KROME KRAJNIH DWUH, KOTORYE RAWNY 1, RAWEN SUMME SOOTWETSTWU@]IH KO\F- FICIENTOW IZ PREDYDU]EJ STROKI.

2.5.pOLINOMIALXNAQ TEOREMA. rASSMOTRIM WOPROS O TOM, KAK RASKRYWATX SKOBKI PRI

WY^ISLENII WYRAVENIQ WIDA

(a1 + a2 + : : : + ak)n: oTWET NA \TOT WOPROS DAET SLEDU@]AQ

tEOREMA 1. wYRAVENIE

(a1 + a2 + : : : + ak)n

RAWNO SUMME WSEH WOZMOVNYH SLAGAEMYH WIDA

 

n!

 

 

a1r1 a2r2 : : : akrk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1!r2! : : :rk!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GDE r1 + r2 + : : : + rk = n, TO ESTX

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a1 + a2 + : : : + ak)n =

0X

 

 

 

n!

 

 

 

a1r1 a2r2 : : : akrk :

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

r1!r2! : : :rk!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1

::: rk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1+:::+rk=n

 

 

 

 

 

 

 

 

dOKAZATELXSTWO pEREMNOVIM POSLEDOWATELXNO

a1 +: : :+ak n

RAZ

.

tOGDA POLU^IM

k

n SLAGAEMYH

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

WIDA d1 : : :dn, GDE KAVDYJ MNOVITELX di RAWEN ILI a1, ILI a2, : : :, ILI ak. oBOZNA^IM ^EREZ

B(r1 : : : rk) SOWOKUPNOSTX WSEH TEH SLAGAEMYH, GDE a1 WSTRE^AETSQ MNOVITELEM r1 RAZ, a2 |

r2 RAZ, : : :, ak | rk RAZ. ~ISLO TAKIH SLAGAEMYH RAWNO Cn(r1 : : : rk) (SM. P. II.2.2.). nO

Cn(r1 : : : rk) =

 

 

 

n!

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1!r2! : : :rk!

 

 

 

 

 

 

 

53

gLAWA II. oSNOWY KOMBINATORIKI

sLEDOWATELXNO,

(a1 + a2 + : : : + ak)n =

0X

 

 

 

 

 

n!

ar1 ar2

: : :ark :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1!r2! : : :rk!

 

 

0

 

1 2

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1

 

::: rk

 

 

 

 

 

 

 

 

r1+:::+rk=n

 

 

 

 

 

 

 

dANNAQ TEOREMA NAZYWAETSQ POLINOMIALXNOJ.

 

 

 

 

 

 

 

 

pRI n = 2 RAWENSTWO (3) PRINIMAET WID

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n!

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a1 + a2)n

=

r!(n

;

r)!a1n;ra2r:

 

r=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tAKIM OBRAZOM, FORMULA BINOMA nX@TONA QWLQETSQ ^ASTNYM SLU^AEM POLINOMIALXNOJ FOR- MULY.

2.6. bINOMIALXNYE TOVDESTWA. ~ISLA Cnk IME@T RQD WAVNYH SWOJSTW. uKAVEM NEKO- TORYE IZ NIH I USTANOWIM RQD INTERESNYH TOVDESTW, KOTORYM UDOWLETWORQ@T BINOMIALXNYE KO\FFICIENTY.

rASSMOTRIM SLEDU@]IE RAWENSTWA:

Cnk = Cnn;k

 

(4)

Ck

 

= Ck

+ Ck;1

 

(5)

n+1

 

n

n

 

 

C0

+ C1

+

: : : + Cn

= 2n

(6)

n

 

n

 

n

 

 

Cn0

; Cn1

+ Cn2 ; : : : + (;1)nCnn = 0:

(7)

rAWENSTWO (4) LEGKO PROWERQETSQ WY^ISLENIEM. rAWENSTWA (5) I (6) BYLI POLU^ENY RANEE (RAWENSTWO (6) MOVNO POLU^ITX TAKVE WZQW W FORMULE BINOMA a = b = 1). eSLI W FORMULE BINOMA nX@TONA POLOVITX a = 1, b = ;1, TO POLU^IM RAWENSTWO (7).

2.7.nOWYE TERMINY. rAZME]ENIQ S POWTORENIQMI. pERESTANOWKI S POWTORENIQMI. sO^E-

TANIQ S POWTORENIQMI. pOLINOMIALXNYE KO\FFICIENTY. bINOM nX@TONA. tREUGOLXNIK pASKALQ. bINOMIALXNYE KO\FFICIENTY. pOLINOMIALXNAQ TEOREMA. bINOMIALXNYE TOVDESTWA.

2.8.uPRAVNENIQ.

1.sKOLXKO RAZLI^NYH SLOW MOVNO SOSTAWITX, PERESTAWLQQ BUKWY SLOWA \MAMA"? nAPI[ITE WSE \TI SLOWA.

2.sKOLXKO PQTIBUKWENNYH SLOW MOVNO SOSTAWITX IZ BUKW a, b, c, ESLI IZWESTNO, ^TO BUKWA a WSTRE^AETSQ W SLOWE NE BOLEE DWUH RAZ, BUKWA b | NE BOLEE ODNOGO RAZA, BUKWA c | NE BOLEE TREH RAZ?

3.nAPI[ITE WSE SO^ETANIQ S POWTORENIQMI IZ TREH PREDMETOW a, b, c PO 3.

4.sKOLXKIMI SPOSOBAMI MOVNO WYBRATX 6 ODINAKOWYH ILI RAZNYH PIROVNYH W KONDITERSKOJ, GDE ESTX 11 RAZNYH SORTOW PIROVNYH?

5.sKOLXKO CELYH POLOVITELXNYH KORNEJ IMEET URAWNENIE

x1 + : : : + xm = n?

6. sKOLXKO CELYH NEOTRICATELXNYH RE[ENIJ IMEET NERAWENSTWO

x1 + : : : + xm n?

54

x 2. rAZME]ENIQ, PERESTANOWKI I SO^ETANIQ S POWTORENIQMI. bINOM nX@TONA I POLINOMIALXNAQ FORMULA

7.sKOLXKIMI SPOSOBAMI MOVNO RAZDATX 18 RAZLI^NYH PREDMETOW 5 U^ENIKAM TAK, ^TOBY ^ET- WERO IZ NIH POLU^ILI PO 4 PREDMETA, A PQTYJ | 2 PREDMETA. tA VE ZADA^A, NO TROE POLU^A@T PO 4 PREDMETA, A DWOE | PO 3 PREDMETA.

8.sKOLXKIMI SPOSOBAMI MOVNO RASSTAWITX 12 BELYH I 12 ^ERNYH [A[EK NA ^ERNYE POLQ DOSKI TAK, ^TOBY \TO POLOVENIE BYLO SIMMETRI^NO OTNOSITELXNO CENTRA DOSKI?

9.sKOLXKIMI SPOSOBAMI DWA ^ELOWEKA MOGUT RAZDELITX 2n PREDMETOW ODNOGO WIDA, 2n PREDME- TOW WTOROGO WIDA I 2n PREDMETOW TRETXEGO WIDA TAK, ^TOBY KAVDYJ POLU^IL PO 3n PREDME- TOW.

10.nAJTI ^ISLO WSEH RAZBIENIJ n-\LEMENTNOGO MNOVESTWA.

11.uKAZATX NAIBOLX[EE SREDI ^ISEL Cnk (k = 0 1 : : : n).

12.nAJTI n, ESLI IZWESTNO, ^TO W RAZLOVENII (1 + x)n KO\FFICIENTY PRI x5 I x12 RAWNY.

13.sKOLXKO RACIONALXNYH ^LENOW SODERVIT RAZLOVENIE

(p2 + p4 3)100?

14.pOLXZUQSX POLINOMIALXNOJ TEOREMOJ, WY^ISLITX (x + y + z)3.

15.~EMU RAWEN KO\FFICIENT PRI x2y3z2 W WYRAVENII (x + y + z)7?

16.dOKAZATX, ^TO ^ISLA Cp1 Cp2 : : : Cpp;1 DELQTSQ NA p, ESLI p | PROSTOE ^ISLO.

17.dOKAZATX, ^TO RAZNOSTX ap ; a PRI L@BOM CELOM a DELITSQ NA p, ESLI p | PROSTOE ^ISLO

(MALAQ TEOREMA fERMA).

18.w KLASSE 2n PREDMETOW. wSE U^ENIKI U^ATSQ NA 4 I 5. nIKAKIE 2 IZ NIH NE U^ATSQ ODINAKOWO, NI O KAKIH DWUH IZ NIH NELXZQ SKAZATX, ^TO ODIN IZ NIH U^ITSQ LU^[E DRUGOGO. dOKAZATX, ^TO ^ISLO U^ENIKOW W KLASSE NE PREWY[AET C2nn.

19.wY^ISLITX SUMMU: Cn0 + Cn4 + Cn8 + : : :

20.wY^ISLITX SUMMU: Cn1 + Cn3 + Cn5 + : : :

55

gLAWA III

aLGEBRA WYSKAZYWANIJ

x 1. pOSTROENIE ALGEBRY WYSKAZYWANIJ

wYSKAZYWANIQ: PROSTYE, SOSTAWNYE, KONKRETNYE I PEREMENNYE. lOGI^ESKIE OPERACII NAD WY- SKAZYWANIQMI. fORMULY, LOGI^ESKIE WOZMOVNOSTI FORMULY. tOVDESTWENNO ISTINNYE, TOV- DESTWENNO LOVNYE I RAWNOSILXNYE FORMULY. tABLICY ISTINNOSTI. sWOJSTWA OPERACIJ NAD WYSKAZYWANIQMI. aLGEBRA WYSKAZYWANIJ.

1.1.pROSTYE I SOSTAWNYE WYSKAZYWANIQ. wYSKAZYWATELXNYE PEREMENNYE. pO-

NQTIE WYSKAZYWANIQ QWLQETSQ ODNIM IZ PERWI^NYH NEOPREDELQEMYH PONQTIJ W MATEMATIKE. oPRE- DELENNOE PREDSTAWLENIE O SMYSLE \TOGO PONQTIQ DAET SLEDU@]EE EGO OPISANIE. wYSKAZYWANIE |

\TO PREDLOVENIE, OTNOSITELXNO KOTOROGO IMEET SMYSL UTWERVDATX, ISTINNO ONO ILI LOVNO. tAKIM OBRAZOM, OTLI^ITELXNOJ OSOBENNOSTX@ WYSKAZYWANIJ QWLQETSQ WOZMOVNOSTX PRINIMATX ODNO IZ DWUH ZNA^ENIJ: ISTINA | 1, ILI LOVX | 0. |TI ZNA^ENIQ NAZYWA@TSQ ISTINNOSTNYMI

ZNA^ENIQMI.

wYSKAZYWANIQ MOGUT BYTX PROSTYMI ILI SOSTAWNYMI.

eSLI W WYSKAZYWANII A NELXZQ WYDELITX NEKOTORU@ ^ASTX, KOTORAQ SAMA QWLQETSQ WYSKA- ZYWANIEM I NE SOWPADAET PO SMYSLU S WYSKAZYWANIEM A, TO A NAZYWAETSQ PROSTYM WYSKAZY-

WANIEM. w PROTIWNOM SLU^AE WYSKAZYWANIE A NAZYWAETSQ SOSTAWNYM.

pROSTYE WYSKAZYWANIQ (A W NEKOTORYH SLU^AQH I SOSTAWNYE) BUDEM OBOZNA^ATX BOLX[IMI BUK- WAMI LATINSKOGO ALFAWITA, A FAKT ISTINNOSTI ILI LOVNOSTI WYSKAZYWANIQ: A = 1 ILI A = 0. pODOBNO TOMU, KAK W [KOLXNOJ MATEMATIKE RASSMATRIWALISX KONKRETNYE ^ISLA I NEIZWESTNYE ILI PEREMENNYE ^ISLA, OBOZNA^ENNYE TOJ ILI INOJ BUKWOJ, TAK I ZDESX MY BUDEM RASSMATRIWATX WSQKU@ BOLX[U@ BUKWU LATINSKOGO ALFAWITA KAK NEKOTOROE PEREMENNOE WYSKAZYWANIE, KOTOROE MOVET PRINIMATX ZNA^ENIQ 0 ILI 1 , ESLI NE SKAZANO, ^TO DANNAQ BUKWA OBOZNA^AET KAKOE-TO KON- KRETNOE WYSKAZYWANIE. bUKWY, OBOZNA^A@]IE PEREMENNYE WYSKAZYWANIQ, BUDEM NAZYWATX WY-

SKAZYWATELXNYMI PEREMENNYMI.

1.2.oSNOWNYE LOGI^ESKIE SWQZKI. kONSTRUIROWANIE SOSTAWNYH WYSKAZYWANIJ IZ PROS-

TYH OSU]ESTWLQETSQ PRI POMO]I SWQZOK, SM. TABLICU 1.

1.3.lOGI^ESKIE OPERACII NAD WYSKAZYWANIQMI. wO IZBEVANIE NEODINAKOWOJ TRAK-

TOWKI SMYSLA KAVDOJ IZ SWQZOK OPREDELIM \TOT SMYSL SLEDU@]IMI NIVE TABLICAMI 2{6.

1.4.fORMULY I IH LOGI^ESKIE WOZMOVNOSTI.

oPREDELENIE 1. fORMULAMI NAZYWA@TSQ:

1)BOLX[IE BUKWY LATINSKOGO ALFAWITA, SNABVENNYE, BYTX MOVET, [TRIHAMI ILI INDEK- SAMI I OBOZNA^A@]IE WYSKAZYWANIQ ILI WYSKAZYWATELXNYE PEREMENNYE

2)ESLI a I b | FORMULY, TO WYRAVENIQ:

:a (a & b) (a _ b) (a ! b) (a b)

TAKVE QWLQ@TSQ FORMULAMI

3) dRUGIH FORMUL, KROME TEH, KOTORYE OPREDELENY PUNKTAMI 1) I 2), NET.

56

x 1. pOSTROENIE ALGEBRY WYSKAZYWANIJ

tABL. 1: oSNOWNYE LOGI^ESKIE SWQZKI.

sWQZKI

oBOZNA^ENIQ

nAZWANIE SOOT-

 

 

 

 

WETSTWU@]IH

 

 

 

 

OPERACIJ

 

 

 

 

 

NET NE NEWERNO : : :

: (

 

)

OTRICANIE

 

I A NO : : :

 

 

KON_@NKCIQ

&

(^)

ILI LIBO : : :

_

DIZ_@NKCIQ

 

 

SLEDUET WLE^ET ESLI : : :, TO : : :

 

 

IMPLIKACIQ

!

 

 

TOGDA WYTEKAET : : :

 

 

 

 

 

 

 

\KWIWALENTNO RAWNOSILXNO ESLI I

($)

\KWIWALENCIQ

TOLXKO ESLI TOGDA I TOLXKO TOGDA

 

 

 

 

W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE : : :

 

 

 

 

tABL. 2: lOGI^ESKAQ SWQZKA :.

A:A

10

01

tABL. 3: lOGI^ESKAQ SWQZKA &.

A

B

A & B

 

 

 

1

1

1

 

 

 

1

0

0

 

 

 

0

1

0

 

 

 

0

0

0

 

 

 

tABL. 4: lOGI^ESKAQ SWQZKA _.

A

B

A _ B

 

 

 

1

1

1

 

 

 

1

0

1

 

 

 

0

1

1

 

 

 

0

0

0

 

 

 

tABL. 5: lOGI^ESKAQ SWQZKA !.

A

B

A ! B

 

 

 

1

1

1

 

 

 

1

0

0

 

 

 

0

1

1

 

 

 

0

0

1

 

 

 

57

gLAWA III. aLGEBRA WYSKAZYWANIJ

tABL. 6: lOGI^ESKAQ SWQZKA .

A

B

A B

 

 

 

1

1

1

 

 

 

1

0

0

 

 

 

0

1

0

 

 

 

0

0

1

 

 

 

fORMULY BUDEM OBOZNA^ATX MALYMI GOTI^ESKIMI BUKWAMI: a, b, c, : : : eSLI A1 A2 : : : An | WSE BUKWY, U^ASTWU@]IE W ZAPISI FORMULY a, TO BUDEM PISATX a = a(A1 A2 : : : An). nAPRIMER,

a(a) = :a, b(A1 A2 A3) = (A3 ! (A2 ! A1)), c(A B C) = ((A_B) ! C) I T. D. dLQ UMENX[ENIQ KOLI^ESTWA SKOBOK W FORMULAH USLOWIMSQ S^ITATX, ^TO SWQZKA : SWQZYWAET WYSKAZYWANIQ SILXNEE,

^EM WSE OSTALXNYE SWQZKI, & I _ | SILXNEE, ^EM ! I . kROME TOGO, WNE[NIE SKOBKI BUDEM INOGDA OPUSKATX.

oPREDELENIE 2. lOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTX@ FORMULY a(A1 A2 : : : An) OT WYSKAZYWATELXNYH PEREMENNYH A1 A2 : : : An NAZYWAETSQ WSQKIJ NABOR KONKRETNYH ZNA^ENIJ ISTINNOSTI DLQ BUKW A1 A2 : : : An.

tABLICA, SODERVA]AQ PERE^ENX WSEWOZMOVNYH LOGI^ESKIH WOZMOVNOSTEJ FORMULY a, NAZY- WAETSQ TABLICEJ LOGI^ESKIH WOZMOVNOSTEJ \TOJ FORMULY.

tAK, NAPRIMER, WSQKAQ FORMULA OT ODNOJ BUKWY IMEET DWE LOGI^ESKIE WOZMOVNOSTI: 0 I 1. wSQKAQ FORMULA OT DWUH BUKW IMEET ^ETYRE LOGI^ESKIH WOZMOVNOSTI: (1 1), (1 0), (0 1), (0 0).

tABLICA WIDA

11

10

01

00

QWLQETSQ TABLICEJ LOGI^ESKIH WOZMOVNOSTEJ DLQ WSQKOJ FORMULY OT 2 BUKW (WYSKAZYWATELXNYH PEREMENNYH) A I B.

1.5.rAWNOSILXNYE FORMULY.

oPREDELENIE 1 (OB]EJ LOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTI). pUSTX a I b DWE FORMULY, A A1 A2 : : : An

WSE WYSKAZYWATELXNYE PEREMENNYE, WHODQ]IE W ZAPISX HOTQ BY ODNOJ IZ \TIH FORMUL. oB- ]EJ LOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTX@ FORMUL a I b NAZYWAETSQ WSQKIJ NABOR KONKRETNYH ZNA^ENIJ ISTINNOSTI DLQ WYSKAZYWATELXNYH PEREMENNYH A1 A2 : : : An.

mOVNO OPREDELITX PONQTIE OB]EJ LOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTI DLQ L@BOGO KONE^NOGO ^ISLA FOR- MUL.

oPREDELENIE 2 (RAWNOSILXNYH FORMUL). dWE FORMULY a I b NAZYWA@TSQ RAWNOSILXNYMI: a b, ESLI WO WSQKOJ OB]EJ DLQ a I b LOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTI a I b PRINIMA@T ODINAKO- WYE ZNA^ENIQ.

tEOREMA 1. oTNO[ENIE NA MNOVESTWE WSEH FORMUL OT BUKW IZ NEKOTOROGO ALFAWITA M QWLQETSQ OTNO[ENIEM \KWIWALENTNOSTI.

dOKAZATELXSTWO PROWEDITE SAMOSTOQTELXNO.

58

x 1. pOSTROENIE ALGEBRY WYSKAZYWANIJ

1.6.tAWTOLOGII I PROTIWORE^IQ. tABLICY ISTINNOSTI.

oPREDELENIE 1 (TAWTOLOGII I PROTIWORE^IQ). fORMULA a NAZYWAETSQ TOVDESTWENNO ISTIN- NOJ (TOVDESTWENNO LOVNOJ) ILI TAWTOLOGIEJ (PROTIWORE^IEM) I OBOZNA^AETSQ: a 1 (a 0), ESLI WO WSEH LOGI^ESKIH WOZMOVNOSTQH ONA PRINIMAET ODNO I TO VE ZNA^ENIE, RAWNOE 1 (RAW- NOE 0). zAPISX j= a OZNA^AET, ^TO a | TAWTOLOGIQ.

tEOREMA 1. dLQ L@BYH DWUH FORMUL a I b ISTINNO UTWERVDENIE:

a b ()j= (a b):

dOKAZATELXSTWO PROWEDITE SAMOSTOQTELXNO.

oPREDELENIE 2 (TABLICY ISTINNOSTI). tABLICA, W KOTOROJ PRIWEDEN PERE^ENX WSEH LOGI^ES- KIH WOZMOVNOSTEJ FORMULY a (OB]IH LOGI^ESKIH WOZMOVNOSTEJ FORMUL a1 : : : an) WMESTE S UKAZANIEM ZNA^ENIJ a (ZNA^ENIJ a1 : : : an) W KAVDOJ LOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTI (OB]EJ LOGI^ES- KOJ WOZMOVNOSTI), NAZYWAETSQ TABLICEJ ISTINNOSTI FORMULY a (FORMUL a1 : : : an).

1.7.sWOJSTWA LOGI^ESKIH OPERACIJ (ZAKONY LOGIKI).

tEOREMA 1. dLQ L@BYH LOGI^ESKIH FORMUL a, b, c ISTINNY SLEDU@]IE RAWNOSILXNOSTI.

1. zAKON DWOJNOGO OTRICANIQ:

::a a:

2.iDEMPOTENTNOSTX OPERACIJ & I _: a & a a a _ a a:

3.kOMMUTATIWNOSTX OPERACIJ & I _: a & b b & a a _ b b _ a:

4.aSSOCIATIWNOSTX OPERACIJ & I _:

a & (b & c) (a & b) & c a _ (b _ c) (a _ b) _ c:

5.dISTRIBUTIWNYE ZAKONY KAVDOJ IZ OPERACIJ & I _ OTNOSITELXNO DRUGOJ: a & (b _ c) (a & b) _ (a & c) a _ (b & c) (a _ b) & (a _ c):

6.zAKONY POGLO]ENIQ:

a & (a _ b) a a _ (a & b) a:

7.zAKONY DE mORGANA:

:(a & b) :a _ :b :(a _ b) :a & :b:

8.zAKON ISKL@^ENNOGO TRETXEGO:

a _ :a 1

9.zAKON PROTIWORE^IQ: a & :a 0:

10.sWOJSTWA TAWTOLOGII I PROTIWORE^IQ:

a & 1

a a _ 0

a,

a _ 1

1

a & 0

0,

:1

0

:0

1.

11.zAKON KONTRAPOZICII:

a ! b :b ! :a:

59