Кулабухов С.Ю. Дискретная математика1

gLAWA III. aLGEBRA WYSKAZYWANIJ

tEOREMA 2. wSQKAQ POLNAQ SISTEMA SWQZOK IZ SODERVIT SWQZKU :.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX M | MNOVESTWO WSEH FORMUL aw, NE SODERVA]IH W SWOEJ ZAPISI

SWQZKI :, TO ESTX M = f& _ ! g. lEGKO UBEDITXSQ W TOM, ^TO ESLI a(A1 : : : An) 2 M, TO a(1 : : : 1) = 1. rASSMOTRIM FORMULU b(A B) = :A & B. o^EWIDNO, b(1 1) = 0, ZNA^IT b(A B) 2 f g, NO b(A B) NERAWNOSILXNA NIKAKOJ FORMULE IZ f& _ ! g. |TO OZNA^AET,

^TO MNOVESTWO f& _ ! g NE QWLQETSQ P. S. S. pO TEOREME 3.2.1, P. 1, NIKAKOE PODMNOVESTWO MNOVESTWA f& _ ! g NE QWLQETSQ P. S. S. |TO I OZNA^AET, ^TO WSQKAQ P. S. S. IZ OBQZANA

SODERVATX OPERACI@ :.

3.3.oPISANIE POLNYH SISTEM SWQZOK IZ . pO TEOREME 3.2.2, WSQKAQ P. S. S. IZ

SODERVIT :. wOZNIKAET WOPROS O TOM, A NE QWLQETSQ LI ODNO\LEMENTNOE MNOVESTWO f:g P. S. S.? oTWET DAET

tEOREMA 1. mNOVESTWO f:g NE QWLQETSQ P. S. S.

dOKAZATELXSTWO. oTMETIM, ^TO f:g SOSTOIT IZ WSEH BUKW ALFAWITA I FORMUL WIDA :: : : :: A,

| {zn }

n 2 N. oDNAKO, NI ODNA IZ \TIH FORMUL NE QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ. sLEDOWATELXNO, FORMULA A_:A, NAPRIMER, NERAWNOSILXNA NIKAKOJ FORMULE IZ f:g. sLEDOWATELXNO, MNOVESTWO f:g NE QWLQETSQ P. S. S.

tEOREMA 2. sLEDU@]IE NIVE MNOVESTWA SWQZOK IZ QWLQETSQ P. S. S.:

1)f: &g

2)f: _g

3)f: !g.

dOKAZATELXSTWO. 1) f: &g. w PRIMERE 3.2.1 POKAZANO, ^TO MNOVESTWO f: & _g | P. S. S. pOLX- ZUQSX RAWNOSILXNOSTX@

a _ b :(:a & :b)

WSQKU@ FORMULU IZ f: & _g RAWNOSILXNYMI PREOBRAZOWANIQMI MOVNO PRIWESTI K FORMULE, W ZAPISI KOTOROJ NET OPERACII _. |TO OZNA^AET, ^TO WSQKAQ FORMULA IZ f: & _g RAWNOSILXNA

NEKOTOROJ FORMULE IZ f: &g. a TAK KAK f: & _g | P. S. S., TO PO TEOREME 3.2.1, P. 2, f: &g | TOVE P. S. S.

2) f: _g. rASSUVDENIQ TAKIE VE, KAK I W PREDYDU]EM PUNKTE S ISPOLXZOWANIEM RAWNOSILX- NOSTI a & b :(:a _ :b).

3) f: !g. pOLXZUQSX RAWNOSILXNOSTX@ a _ b :a ! b, WSQKU@ FORMULU IZ f: _g RAWNO- SILXNYMI PREOBRAZOWANIQMI MOVNO PRIWESTI K FORMULE IZ f: !g, TO ESTX WSQKAQ FORMULA

IZ f: _g RAWNOSILXNA NEKOTOROJ FORMULE IZ f: !g I f: _g | P. S. S. sLEDOWATELXNO, PO TEOREME 3.2.1, P.2, f: !g | TOVE P. S. S.

sLEDSTWIE 1. wSQKAQ SISTEMA SWQZOK IZ , SODERVA]AQ SWQZKU : I HOTQ BY ODNU IZ SWQZOK &, _, !, QWLQETSQ P. S. S.

dOKAZATELXSTWO SLEDUET NEPOSREDSTWENNO IZ PREDYDU]EJ TEOREMY I TEOREMY 3.2.1, P. 1.

3.4.oDNO\LEMENTNYE POLNYE SISTEMY SWQZOK. w P. III.3.3. DOKAZANO, ^TO SREDI SWQZOK

IZ NET TAKOJ SWQZKI, KOTORAQ SOSTAWLQLA BY P. S. S. eSTX LI TAKIE SWQZKI NE W ? oTWET POLOVITELXNYJ. wWEDEM DWE SWQZKI, KOTORYE OBOZNA^IM & I _, A SMYSL IH OPREDELIM TABLICAMI ISTINNOSTI:

70

x 3. pOLNYE SISTEMY SWQZOK

sWQZKU & PRINQTO NAZYWATX \{TRIH {EFERA" I OBOZNA^ATX SIMWOLOM j. sWQZKU _ INOGDA NAZYWA@T \OPERACIQ pIRSA" I OBOZNA^A@T #. oDNAKO MY PREDPO^TEM MNEMONI^ESKIJ PODHOD K OBOZNA^ENI@ \TIH SWQZOK.

tEOREMA 1. mNOVESTWA f&g I f_g QWLQ@TSQ POLNYMI SISTEMAMI SWQZOK. dOKAZATELXSTWO. 1. iZ TABLICY ISTINNOSTI DLQ SWQZKI & LEGKO USMATRIWAETSQ RAWNOSILXNOSTX:

:(a & b) a & b:

wOSPOLXZOWAW[ISX E@, POLU^IM:

:a :(a & a) a & a

a _ b :(:a & :b) :(:(a & a) & :(b & b)):((a & a) & (b & b)) (a & a) & (b & b):

tAKIM OBRAZOM, POLU^ENY RAWNOSILXNOSTI:

:a a & a

a _ b (a & a) & (b & b):

iSPOLXZUQ IH, RAWNOSILXNYMI PREOBRAZOWANIQMI KAVDU@ FORMULU IZ f: _g MOVNO PRIWES- TI K NEKOTOROJ FORMULE IZ f&g, TO ESTX WSQKAQ FORMULA IZ f: _g RAWNOSILXNA NEKOTOROJ

FORMULE IZ f&g. kROME TOGO, f: _g | P. S. S. pO TEOREME 3.2.1, P. 2, f&g | TOVE P. S. S.

2. pOLNOTA SISTEMY SWQZOK f_g DOKAZYWAETSQ ANALOGI^NO PREDYDU]EMU. pO\TOMU MY PRIWE- DEM LI[X NEOBHODIMYE DLQ RASSUVDENIQ RAWNOSILXNOSTI, KOTORYE TAKVE NEOBHODIMO PROWERITX.

:a (a _ a)

a & b (a _ a) _(b _b):

3.5. iSKL@^ITELXNOSTX SWQZOK & I _.

2 I f g | P. S. S., TO = & ILI = _.

dOKAZATELXSTWO. 1. pREDPOLOVIM, ^TO SWQZKA ODNOMESTNAQ. tOGDA WSQKAQ FORMULA IZ f g IMEET WID: a = : : : A, GDE A | NEKOTORAQ WYSKAZYWATELXNAQ PEREMENNAQ. tOGDA PRI A = 1,

a = 1 LIBO a = 0.

pUSTX PRI A = 1, a = 1. fORMULA A & B PRI A = 1, B = 0 PRINIMAET ZNA^ENIE A & B = 0, A PRI A = 1, B = 1, A & B = 1, TO ESTX FORMULA A & B PRI A = 1 MOVET PRINIMATX KAK ZNA^ENIE RAWNOE 0, TAK I RAWNOE 1. tOVE SAMOE WERNO I DLQ WSQKOJ FORMULY WIDA b = : : : B. tAKIM OBRAZOM, FORMULA A & B NERAWNOSILXNA NIKAKOJ FORMULE IZ f g. sLEDOWATELXNO, ODNOMESTNYE SWQZKI NE MOGUT UDOWLETWORQTX USLOWI@ TEOREMY.

71

gLAWA III. aLGEBRA WYSKAZYWANIJ

d) pREDPOLOVIM, ^TO DLQ FORMULY a(A B) = A B IMEET MESTO: a(1 0) = 1, a(0 1) = 0.

tOGDA IMEEM:

|TA TABLICA ISTINNOSTI POKAZYWAET, ^TO: a(A B) = A B :B. |TO OZNA^AET, ^TO WSQKAQ

FORMULA IZ f g RAWNOSILXNA NEKOTOROJ FORMULE IZ f:g. a TAK KAK f g | P. S. S., TO I f:g | P. S. S. pROTIWORE^IE. sLEDOWATELXNO, NEWOZMOVNO, ^TOBY a(1 0) = 1, A a(0 1) = 0.

e) pUSTX a(1 0) = 0, A a(0 1) = 1. tOGDA IMEEM:

|TO OZNA^AET, ^TO

a(A B) = A B :A

kAK I W SLU^AE d) POLU^AEM, ^TO f:g | P. S. S., ^TO PROTIWORE^IT TEOREME 3.3.2. tAKIM OBRAZOM, TAKVE NEWOZMOVNO, ^TOBY

a(1 0) = 0, A a(0 1) = 1.

f) tAKIM OBRAZOM, DLQ a(A B) = A B OSTALOSX LI[X DWE WOZMOVNYE, OPREDELQ@]IE SWQZKU , TABLICY ISTINNOSTI.

nO \TO OZNA^AET, ^TO 1 = &, A 2 = _.

3.6.nOWYE TERMINY. oSNOWNYE SWQZKI. pOLNYE SISTEMY SWQZOK (P. S. S.). oTRICANIE

KON_@NKCII & ([TRIH {EFFERA). oTRICANIE DIZ_@NKCII _ (OPERACIQ pIRSA).

72

x 3. pOLNYE SISTEMY SWQZOK

3.7.kONTROLXNYE WOPROSY.

1.sKOLXKO \LEMENTOW WO MNOVESTWAH I ?

2.kAKOE MNOVESTWO OBOZNA^ENO ^EREZ f 1g DLQ 1 ?

3.oHARAKTERIZUJTE MNOVESTWO f?g.

4.oHARAKTERIZUJTE MNOVESTWO f g.

5.wERNO LI, ^TO f?g f g?

6.kAKIE IZ PRIWEDENNYH NIVE MNOVESTW QWLQETSQ P. S. S.:

7. sFORMULIRUJTE OSNOWNYE REZULXTATY O P. S. S. IZ . 8. dAJTE SLOWESNOE OPREDELENIE SWQZOK & I _.

9. kAKIE IZ PRIWEDENNYH NIVE MNOVESTW QWLQ@TSQ P. S. S.:

10. pERE^ISLITE WSE ODNO\LEMENTNYE P. S. S.

3.8.uPRAVNENIQ.

1.dOKAVITE, ^TO KOLI^ESTWO WSEH UNARNYH SWQZOK RAWNO 4, A BINARNYH | 16.

2.wOSPROIZWEDITE BOLEE DETALXNO, ^EM W TEKSTE, DOKAZATELXSTWO TEOREMY 3.2.1, P. 2.

3.pRIWEDITE DOKAZATELXSTWO P. 2 TEOREMY 3.3.2.

4.pRIWEDITE DOKAZATELXSTWO P. 2 TEOREMY 3.4.1.

5.rAWNOSILXNYMI PREOBRAZOWANIQMI PRIWEDITE SLEDU@]IE NIVE FORMULY K WIDU, SODERVA- ]EMU LI[X SWQZKU & (LI[X SWQZKU _):

73

gLAWA IV

bULEWY FUNKCII

x 1. bULEWY FUNKCII. rEALIZACIQ BULEWYH FUNKCIJ FORMULAMI

bULEWY FUNKCII. pRIMERY BULEWYH FUNKCIJ. rEALIZACIQ BULEWYH FUNKCIJ FORMULAMI. rAW- NOSILXNYE FORMULY. dWOJSTWENNYE FUNKCII. pRINCIP DWOJSTWENNOSTI.

1.1.oPREDELENIE I PRIMERY BULEWYH FUNKCIJ.

oPREDELENIE 1. fUNKCII f: f0 1gn ! f0 1g NAZYWA@TSQ FUNKCIQMI ALGEBRY LOGIKI ILI BULE- WYMI FUNKCIQMI.

mNOVESTWO BULEWYH FUNKCIJ OT n PEREMENNYH OBOZNA^IM Pn:

Pn = ff j f: f0 1gn ! f0 1gg:

wSEGO IMEETSQ [ESTNADCATX RAZLI^NYH BULEWYH FUNKCIJ OT DWUH PEREMENNYH. mNOGIE IZ NIH IME@T SPECIALXNYE NAZWANIQ:

g1(x y) = x y | KON_@NKCIQ, g4(x y) = x #y | STRELKA pIRSA,

g6(x y) = x + y | SLOVENIE PO MODUL@ 2 ILI SUMMA vEGALKINA,

74

x 1. bULEWY FUNKCII. rEALIZACIQ BULEWYH FUNKCIJ FORMULAMI

GDE i 2 f0 1g, i = 1 2 : : : 2n. w \TOJ TABLICE IMEETSQ 2n STROK, SOOTWETSTWU@]IH RAZLI^NYM KOMBINACIQM ZNA^ENIJ PEREMENNYH, KOTORYM MOVNO SOPOSTAWITX 22n RAZLI^NYH STOLBCOW. nO KAVDYJ TAKOJ STOLBEC SOOTWETSTWUET KAKOJ-TO BULEWOJ FUNKCII OT n PEREMENNYH. tAKIM OBRA- ZOM, DOKAZANA

tEOREMA 1. ~ISLO RAZLI^NYH BULEWYH FUNKCIJ OT n PEREMENNYH RAWNO 22n ILI jPnj = 22n.

1.2.sU]ESTWENNYE I NESU]ESTWENNYE PEREMENNYE.

oPREDELENIE 1. gOWORQT, ^TO BULEWA FUNKCIQ f 2 Pn SU]ESTWENNO ZAWISIT OT PEREMEN- NOJ xi, ESLI SU]ESTWUET TAKOJ NABOR ZNA^ENIJ PEREMENNYH a1 : : : ai;1 ai+1 : : : an, ^TO

f(a1 : : : ai;1 0 ai+1 : : : an) 6= f(a1 : : : ai;1 1 ai+1 : : : an):

w \TOM SLU^AE xi NAZYWAETSQ SU]ESTWENNOJ PEREMENNOJ, W PROTIWNOM SLU^AE xi | NESU]EST-

WENNAQ (FIKTIWNAQ) PEREMENNAQ.

pRIMER 1. pUSTX BULEWY FUNKCII f1, f2 I f3 ZADANY TABLICAMI ISTINNOSTI:

wIDNO, ^TO DLQ f1 PEREMENNAQ x QWLQETSQ SU]ESTWENNOJ, A y | NESU]ESTWENNOJ DLQ f2 OBE PEREMENNYE NESU]ESTWENNYE DLQ f3 OBE PEREMENNYE SU]ESTWENNYE.

pO OPREDELENI@ BUDEM S^ITATX BULEWY FUNKCII RAWNYMI, ESLI ODNA IZ DRUGOJ POLU^AETSQ UDALENIEM ILI WWEDENIEM NESU]ESTWENNYH PEREMENNYH. pO\TOMU DALEE BULEWY FUNKCII RASSMAT- RIWA@TSQ S TO^NOSTX@ DO NESU]ESTWENNYH PEREMENNYH. |TO POZWOLQET S^ITATX, ^TO WSE BULEWY FUNKCII DANNOGO MNOVESTWA BULEWYH FUNKCIJ OT OGRANI^ENNOGO W SOWOKUPNOSTI ^ISLA PEREMEN- NYH ZAWISQT OT ODNIH I TEH VE PEREMENNYH. tAKOE MNOVESTWO BULEWYH FUNKCIJ MOVNO TAKVE OBOZNA^ATX Pn, n = maxmi, GDE mi | KOLI^ESTWO SU]ESTWENNYH PEREMENNYH i-OJ FUNKCII IZ Pn.

1.3.rEALIZACIQ BULEWYH FUNKCIJ FORMULAMI. pUSTX = ff1 f2 : : : fmg | MNO-VESTWO BULEWYH FUNKCIJ.

oPREDELENIE 1. fORMULOJ NAD NAZYWAETSQ WYRAVENIE WIDA

F[ ] = f(t1 t2 : : : tn)

GDE f 2 I ti LIBO PEREMENNAQ, LIBO FORMULA NAD .

75

gLAWA IV. bULEWY FUNKCII

mNOVESTWO NAZYWAETSQ BAZISOM, f | GLAWNOJ (WNE[NEJ) OPERACIEJ (FUNKCIEJ), A ti |

PODFORMULAMI. wSQKOJ FORMULE F ODNOZNA^NO SOOTWETSTWUET NEKOTORAQ BULEWA FUNKCIQ f. w \TOM SLU^AE GOWORQT, ^TO FORMULA F REALIZUET FUNKCI@ f I OBOZNA^A@T:

f = func F:

zNAQ TABLICY ISTINNOSTI DLQ FUNKCIJ BAZISA, MOVNO WY^ISLITX TABLICU ISTINNOSTI TOJ FUNK- CII, KOTORU@ REALIZUET DANNAQ FORMULA.

pRIMER 1. pUSTX = f !g I F = (x y) ! x. tOGDA

pRIMER 2. pUSTX = f_ 0 g I F = (x y) _ (x y0). tOGDA

1.4.rAWNOSILXNYE FORMULY. lEGKO PONQTX, ^TO ODNA BULEWA FUNKCIQ NAD DANNYM BA-

ZISOM MOVET IMETX MNOGO REALIZACIJ.

oPREDELENIE 1. fORMULY, REALIZU@]IE ODNU I TU VE BULEWU FUNKCI@ NAZYWA@TSQ RAWNO- SILXNYMI, TO ESTX

F1 F2 () func F1 = func F2:

tEOREMA 1. dLQ L@BYH BULEWYH FUNKCIJ f, g I h ISTINNY SLEDU@]IE RAWNOSILXNOSTI.

1.f00 f:

2.iDEMPOTENTNOSTX KON_@NKCII, DIZ_@NKCII I SLOVENIQ PO MODUL@ DWA: f f f f _ f f f + f f:

3.kOMMUTATIWNOSTX KON_@NKCII, DIZ_@NKCII I SLOVENIQ PO MODUL@ DWA: f g g f f _ g g _ f f + g g + f

4.aSSOCIATIWNOSTX KON_@NKCII, DIZ_@NKCII I SLOVENIQ PO MODUL@ DWA: f (g h) (f g) h f _ (g _ h) (f _ g) _ h f + (g + h) (f + g) + h:

5.dISTRIBUTIWNYE ZAKONY:

f(g _ h) (f g) _ (f h) f _ (g h) (f _ g) (f _ h) f (g + h) (f g) + (f h):

6.zAKONY POGLO]ENIQ:

f(f _ g) f f _ (f g) f:

7.zAKONY DE mORGANA:

(f g)0 f0 _ g0 (f _ g)0 f0 g0:

8.f _ f0 1 f f0 0:

76

x 1. bULEWY FUNKCII. rEALIZACIQ BULEWYH FUNKCIJ FORMULAMI

9.f 1 f, f _ 0 f, f _ 1 1, f 0 0, 10 0, 00 1.

10.zAKON KONTRAPOZICII: f ! g g0 ! f0:

11.pRAWILO ISKL@^ENIQ IMPLIKACII: f ! g f0 _ g

12.pRAWILO ISKL@^ENIQ \KWIWALENCII: f g (f ! g) (g ! f):

13.f0 f j f f #f f + 1.

14.f jg (f g)0, f # g (f _ g)0.

15.f _ g (f j f) j(g j g), f g (f # f) #(g # g), f ! g f j(g j g).

16.f + g (f g)0.

dOKAZATELXSTWO \TIH RAWNOSILXNOSTEJ PROWODITSQ POSTROENIEM TABLIC ISTINNOSTI.

1.5.pODSTANOWKA I ZAMENA. eSLI W FORMULU F WHODIT PEREMENNAQ x, TO \TOT FAKT BU-

DEM OBOZNA^ATX F (: : : x : : :). zAPISX F (: : : G : : :) OBOZNA^AET, ^TO FORMULA F SODERVIT W SWOEJ ZAPISI PODFORMULU G. wMESTO PODFORMULY (W ^ASTNOSTI, WMESTO PEREMENNOJ) W FORMULU MOVNO PODSTAWITX DRUGU@ FORMULU (W ^ASTNOSTI, PEREMENNU@), W REZULXTATE POLU^ITSQ NOWAQ PRAWILX- NO POSTROENNAQ FORMULA. eSLI POSTANOWKA PROIZWODITSQ WMESTO NEKOTORYH WHOVDENIJ (W TOM ^ISLE WMESTO ODNOGO), TO REZULXTAT PODSTANOWKI OBOZNA^IM F (: : : G1 : : :)fG2=G1g. eSLI VE POD- STANOWKA PROIZWODITSQ WMESTO WSEH WHOVDENIJ ZAMENQEMOJ PODFORMULY (ILI PEREMENNOJ), TO REZULXTAT PODSTANOWKI OBOZNA^IM F (: : : G1 : : :)fG2==G1g.

pRIMER 1.

1.x _ x0fy z==xg = (y z) _ (y z)0.

2.x ! (y _ z)fx0==y _ zg = x ! x0.

3.zAMENA PERWOGO WHOVDENIQ PEREMENNOJ: x x0fy=xg = y x0.

4.zAMENA WTOROGO WHOVDENIQ PODFORMULY: x _ (y z)0 _ (y z)fx=y zg = x _ (y z)0 _ x.

pRAWILO ZAMENY. eSLI W FORMULE ZAMENITX NEKOTORU@ PODFORMULU NA RAWNOSILXNU@ EJ, TO POLU^ITSQ RAWNOSILXNAQ FORMULA

G1 G2 =) F (: : : G1 : : :) F (: : : G1 : : :)fG2=G1g:

pRAWILO PODSTANOWKI. eSLI W RAWNOSILXNYH FORMULAH WMESTO WSEH WHOVDENIJ NEKOTOROJ PEREMENNOJ x POSTAWITX ODNU I TU VE FORMULU, TO POLU^ATSQ RAWNOSILXNYE FORMULY

F1(: : : x : : :) F2(: : : x : : :) =) F1(: : : x : : :)fG==xg F2(: : : x : : :)fG==xg:

pRIMER 2. tAK KAK x ! y x0 _ y, TO, PO PRAWILU ZAMENY

(z (x ! y)) _ (x ! y) (z (x ! y)) _ (x0 _ y) = (z (x ! y)) _ (x ! y)fx0 _ y=x ! yg: tAK KAK x0 (y ! x) (x + 1) (y ! x), TO, PO PRAWILU ZAMENY, IMEEM

x0 (y ! x)fx _ z==xg (x + 1) (y ! x)fx _ z==xg

ILI

(x _ z)0 (y ! (x _ z)) ((x _ z) + 1) (y ! (x _ z)):

oTMETIM, ^TO W PRAWILE PODSTANOWKI USLOWIE ZAMENY WSEH WHOVDENIJ SU]ESTWENNO. nAPRIMER, x _ x0 1 I x _ x0fy==xg = y _ y0 1, NO x _ x0fy=xg = y _ x0 6 1.

77

gLAWA IV. bULEWY FUNKCII

1.6.pRINCIP DWOJSTWENNOSTI.

oPREDELENIE 1. pUSTX f(x1 : : : xn) 2 Pn | BULEWA FUNKCIQ, TOGDA FUNKCIQ f (x1 : : : xn) = f0(x01 : : : x0n)

NAZYWAETSQ DWOJSTWENNOJ K BULEWOJ FUNKCII f.

iZ OPREDELENIQ NEPOSREDSTWENNO WIDNO, ^TO DLQ L@BOJ BULEWOJ FUNKCII f WYPOLNQETSQ RA- WENSTWO f = f.

pRIMER 1. pUSTX f = x_y, g = x, h = x0, TOGDA, IZ OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO f = (x0_y0)0 x y,

g = (x0)0 = x00 x, h = (x00)0 = x000 x0.

bUDEM NAZYWATX FUNKCI@ f SAMODWOJSTWENNOJ, ESLI f f. iZ PREDYDU]EGO PRIMERA WID- NO, ^TO OTRICANIE I TOVDESTWENNAQ FUNKCIQ QWLQ@TSQ SAMODWOJSTWENNYMI, A DIZ_@NKCIQ NE SAMODWOJSTWENNAQ.

tEOREMA 1. eSLI BULEWA FUNKCIQ '(x1 : : : xn) REALIZOWANA FORMULOJ

f(f1(x1 : : : xn) : : : fn(x1 : : : xn))

GDE f f1 : : : fn | BULEWY FUNKCII, TO FORMULA

f (f1 (x1 : : : xn) : : : fn(x1 : : : xn))

REALIZUET FUNKCI@ ' (x1 : : : xn).

dOKAZATELXSTWO. ' (x1 : : : xn) = '0(x01 : : : x0n) = func f0(f1(x01 : : : x0n) : : : fn(x01 : : : x0n)) = = func f0(f100(x01 : : : x0n) : : : fn00(x01 : : : x0n)) = func f0(f1 0(x1 : : : xn) : : : fn0(x1 : : : xn) =

= func f (f1 (x1 : : : xn) : : : fn(x1 : : : xn)).

sLEDU@]AQ TEOREMA NOSIT NAZWANIE \PRINCIP DWOJSTWENNOSTI" I DOKAZYWAETSQ METODOM MA- TEMATI^ESKOJ INDUKCII, PRI \TOM INDUKCIONNYJ PEREHOD PROISHODIT NA OSNOWE TOLXKO ^TO DO- KAZANNOJ TEOREMY.

tEOREMA 2 (pRINCIP DWOJSTWENNOSTI). pUSTX = ff1 : : : fmg I = ff1 : : : fmg | BAZISY. tOGDA, ESLI FORMULA F NAD BAZISOM REALIZUET FUNKCI@ f, TO FORMULA F NAD BAZISOM , POLU^ENNAQ IZ FORMULY F ZAMENOJ fi NA DWOJSTWENNYE FUNKCII fi , REALIZUET FUNKCI@ f , TO ESTX

f = func F [ ] =) f = func F [ ]

GDE F [ ] = F [ ]ffi ==figmi=1.

1.7.nOWYE TERMINY. bULEWY FUNKCII. sU]ESTWENNYE I NESU]ESTWENNYE PEREMENNYE.

bAZIS, GLAWNAQ (WNE[NQQ) OPERACIQ (FUNKCIQ), PODFORMULA. rAWNOSILXNYE FORMULY. pODSTANOW- KA I ZAMENA. dWOJSTWENNAQ I SAMODWOJSTWENNAQ FUNKCII. pRINCIP DWOJSTWENNOSTI.

1.8.kONTROLXNYE WOPROSY.

1.sKOLXKO SU]ESTWUET RAZLI^NYH BULEWYH FUNKCIJ OT TREH PEREMENNYH?

2.sKOLXKO FORMUL REALIZUET DANNU@ FUNKCI@ f NAD DANNYM BAZISOM ?

3.eSLI SOSTOIT IZ SAMODWOJSTWENNYH BULEWYH FUNKCIJ, TO ^TO MOVNO SKAZATX O ?

4.~EMU RAWNA FORMULA (x y) _ (z + (x y)0)fx==x yg?

78

x 1. bULEWY FUNKCII. rEALIZACIQ BULEWYH FUNKCIJ FORMULAMI

1.9.uPRAVNENIQ.

1.dOKAVITE, ^TO ^ISLO BULEWYH FUNKCIJ OT n PEREMENNYH, SREDI KOTORYH ROWNO k NESU]EST- WENNYH RAWNO 22n k .

2.pROWERXTE RAWNOSILXNOSTI TEOREMY 1.4.1 PUTEM POSTROENIQ TABLIC ISTINNOSTI.

3.nAJDITE FUNKCII, DWOJSTWENNYE FUNKCIQM , !, , +, j, #.

4.wYRAZITE FUNKCII _, !, , +, j, # ^EREZ FUNKCII I 0.

5.wYRAZITE FUNKCII _, , , +, j, # ^EREZ FUNKCII ! I 0.

79