Кулабухов С.Ю. Дискретная математика1
.pdfgLAWA III. aLGEBRA WYSKAZYWANIJ
12.pRAWILO ISKL@^ENIQ IMPLIKACII: a ! b :a _ b
13.pRAWILO ISKL@^ENIQ \KWIWALENCII: a b (a ! b) & (b ! a):
dOKAZATELXSTWO. sWOJSTWA 1{4, 8{10 NEPOSREDSTWENNO SLEDU@T IZ OPREDELENIQ SOOTWETSTWU@- ]IH OPERACIJ. wSE OSTALXNYE SWOJSTWA DOKAZYWA@TSQ STANDARTNYM METODOM | SOSTAWLENIEM I SRAWNENIEM TABLIC ISTINNOSTI DLQ LEWOJ I PRAWOJ ^ASTI DOKAZYWAEMOJ RAWNOSILXNOSTI.
pROWEDITE \TI DOKAZATELXSTWA SAMOSTOQTELXNO.
1.8.aLGEBRA WYSKAZYWANIJ. pUSTX M | NEKOTOROE MNOVESTWO BOLX[IH LATINSKIH
BUKW, SNABVENNYH, BYTX MOVET, [TRIHAMI ILI INDEKSAMI, TO ESTX M | NEKOTOROE MNOVEST- WO WYSKAZYWATELXNYH PEREMENNYH. (M) | MNOVESTWO WSEWOZMOVNYH FORMUL OT BUKW IZ M. pONQTNO, ^TO PRIMENENIE LOGI^ESKIH OPERACIJ :, &, _, !, K FORMULAM IZ (M) DAET SNO- WA FORMULY IZ (M), TO ESTX (M) ZAMKNUTO OTNOSITELXNO \TIH OPERACIJ I, SLEDOWATELXNO, QWLQETSQ ALGEBROJ, KOTORU@ OBOZNA^IM ^EREZ h (M) : & _ ! i I BUDEM NAZYWATX ALGEBROJ WYSKAZYWANIJ W ALFAWITE M.
1.9.nOWYE TERMINY. wYSKAZYWANIQ: PROSTYE I SOSTAWNYE. zNA^ENIQ ISTINNOSTI: 0 I 1.
wYSKAZYWATELXNYE PEREMENNYE. lOGI^ESKIE OPERACII NAD WYSKAZYWANIQMI: OTRICANIE, KON_- @NKCIQ, DIZ_@NKCIQ, IMPLIKACIQ, \KWIWALENCIQ. lOGI^ESKAQ WOZMOVNOSTX FORMULY. oB]AQ LO- GI^ESKAQ WOZMOVNOSTX DWUH FORMUL. rAWNOSILXNYE FORMULY. tAWTOLOGII I PROTIWORE^IQ. tAB- LICA ISTINNOSTI. zAKONY LOGIKI: DWOJNOGO OTRICANIQ, IDEMPOTENTNOSTI, KOMMUTATIWNOSTI, AS- SOCIATIWNOSTI, DISTRIBUTIWNOSTI, POGLO]ENIQ, DE-mORGANA, ISKL@^ENNOGO TRETXEGO, PROTIWORE- ^IQ, KONTRAPOZICII, PRAWILA ISKL@^ENIQ IMPLIKACII I \KWIWALENCII. aLGEBRA WYSKAZYWANIJ.
1.10.kONTROLXNYE WOPROSY.
1.pRIWEDITE PRIMERY WYSKAZYWANIJ (ISTINNYH I LOVNYH) I PREDLOVENIJ, NE QWLQ@]IHSQ WYSKAZYWANIQMI.
2.qWLQETSQ LI WYSKAZYWANIE \NEWERNO, ^TO 6 DELITSQ NA 3" PROSTYM?
3.pOKAVITE NA PRIMERE, ^TO ZNA^ENIE ISTINNOSTI SOSTAWNOGO WYSKAZYWANIQ ZAWISIT OT TIPA SWQZOK, U^ASTWU@]IH W OBRAZOWANII SOSTAWNOGO WYSKAZYWANIQ.
4.pODS^ITAJTE KOLI^ESTWO LOGI^ESKIH WOZMOVNOSTEJ FORMULY OT 3-H WYSKAZYWATELXNYH PE- REMENNYH, 4-H WYSKAZYWATELXNYH PEREMENNYH.
5.pERE^ISLITE OB]IE LOGI^ESKIE WOZMOVNOSTI FORMUL
A! :A I (A ! :A) & (B _ :B):
6.mOVNO LI OPISANIE FORMUL, PRIWEDENNOE W P. III.1.4. S^ITATX OPREDELENIEM? pO^EMU?
7.dAJTE SLOWESNOE OPREDELENIE OPERACIQM :, &, _, !, . iH TABLI^NOE OPREDELENIE SM. W P. III.1.3.
8.iZWESTNO, ^TO WYSKAZYWANIE A ! B ISTINNO. ~TO MOVNO SKAZATX OB ISTINNOSTI WYSKAZY- WANIJ A I B?
9.iZWESTNO, ^TO WYSKAZYWANIE A ! B LOVNO. ~TO MOVNO SKAZATX OB ISTINNOSTI A I B?
10.iZWESTNO, ^TO A ! B I A ISTINNY. ~TO MOVNO SKAZATX OB ISTINNOSTI B?
11.A B ISTINNO. ~TO MOVNO SKAZATX OB ISTINNOSTI FORMUL :A B I A ! B?
12.A & :B I A B LOVNY. ~TO MOVNO SKAZATX OB ISTINNOSTI A I B?
60
x 1. pOSTROENIE ALGEBRY WYSKAZYWANIJ
13.rAWNOSILXNY LI FORMULY ZADANIQ 5?
14.nE PRIBEGAQ K ZAPISQM DOKAVITE ZAKONY LOGIKI 1{4, 6, 8{10.
15.sKOLXKO SU]ESTWUET POPARNO NERAWNOSILXNYH FORMUL OT ODNOJ WYSKAZYWATELXNOJ PERE- MENNOJ. oT DWUH WYSKAZYWATELXNYH PEREMENNYH?
1.11.uPRAVNENIQ.
1.oBOZNA^IW PROSTYE WYSKAZYWANIQ BOLX[IMI LATINSKIMI BUKWAMI, A LOGI^ESKIE SWQZKI SOOTWETSTWU@]IMI SIMWOLAMI, ZAPISATX W WIDE FORMUL SLEDU@]IE WYSKAZYWANIQ:
\ESLI DIAGONALI PARALLELOGRAMMA WZAIMNO PERPENDIKULQRNY ILI QWLQ@TSQ BISSEKTRISAMI UGLOW, TO \TOT PARALLELOGRAMM ESTX ROMB"
\ESLI PRI PERESE^ENII DWUH PRQMYH TRETXEJ, WNUTRENNIE NAKRESTLEVA]IE UGLY RAWNY, TO \TI PRQMYE PARALLELXNY"
\ESLI CELOE ^ISLO POLOVITELXNO I QWLQETSQ ^ETNYM, TO LIBO ONO PROSTOE LIBO BOLX[E DWUH"
2.pUSTX BUKWY A, B, C, D OBOZNA^A@T WYSKAZYWANIQ: A | \\TO ^ISLO QWLQETSQ CELYM",
B | \\TO ^ISLO POLOVITELXNO",
C | \\TO ^ISLO QWLQETSQ PROSTYM", D | \DANNOE ^ISLO DELITSQ NA TRI".
pEREWEDITE NA OBY^NYJ QZYK SLEDU@]IE FORMULY: A _ B, A & B, A _ :A, B & :B, D C, (A & C) ! :D, (A & D) ! :C, (A _ B) & (C _ D), :A _ :D, (A & B & C) _ D.
kAKIE IZ SFORMULIROWANNYH WYSKAZYWANIJ QWLQ@TSQ ISTINNYMI?
3.sOSTAWXTE TABLICU LOGI^ESKIH WOZMOVNOSTEJ DLQ FORMULY OT TREH BUKW. dLQ FORMULY OT ^ETYREH BUKW.
4.dOKAVITE, ^TO FORMULA OT n BUKW IMEET 2n LOGI^ESKIH WOZMOVNOSTEJ.
5.pRIDUMAJTE UDOBNYJ SPOSOB POSTROENIQ TABLICY LOGI^ESKIH WOZMOVNOSTEJ DLQ FORMULY OT n BUKW.
6.dOKAVITE TEOREMU P. III.1.5. I P. III.1.7.
7.wNIMATELXNO IZU^ITE DOKAZATELXSTWO ODNOGO IZ ZAKONOW POGLO]ENIQ, PRIWEDENNOE NIVE.
a & (a _ b) a
a) pUSTX W NEKOTOROJ LOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTI FORMULA a & (a _ b) PRINIMAET ZNA^ENIE, RAWNOE 1, TO ESTX a & (a _ b) = 1. pO OPREDELENI@ OPERACII & OTS@DA SLEDUET, ^TO a = 1. tAK ^TO, ESLI a & (a _ b) = 1, TO I a = 1.
B) pUSTX TEPERX W KAKOJ-TO LOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTI a & (a _ b) = 0. pO OPREDELENI@
OPERACII &, OTS@DA SLEDUET, ^TO a = 0 ILI VE a _ b = 0. eSLI a _ b = 0, TO IZ OPREDELENIQ OPERACII _ WYTEKAET, ^TO a = 0. tAKIM OBRAZOM, WSE RAWNO a = 0. tO ESTX,
ESLI a & (a _ b) = 0, TO I a = 0.
iZ A) I B) POLU^AEM, ^TO FORMULY a & (a _ b) I a W L@BOJ LOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTI PRINI- MA@T ODINAKOWYE ZNA^ENIQ ISTINNOSTI, ^TO OZNA^AET, ^TO \TI FORMULY RAWNOSILXNY.
wOSPROIZWEDITE SHEMU PRIWEDENNOGO SPOSOBA DOKAZATELXSTWA RAWNOSILXNOSTI FORMUL. ~TO WY MOVETE SKAZATX O TAKOM METODE I METODE SOSTAWLENIQ TABLIC ISTINNOSTI W PLANE IH SRAWNENIQ?
61
gLAWA III. aLGEBRA WYSKAZYWANIJ
8.sPOSOBOM, UKAZANNOM W PREDYDU]EM UPRAVNENII DOKAVITE ASSOCIATIWNOSTX OPERACII _, DISTRIBUTIWNOSTX OPERACII & OTNOSITELXNO _, NE DOKAZANNYJ WAMI ZAKON DE-mORGANA, PRA- WILA ISKL@^ENIQ IMPLIKACII I \KWIWALENCII.
9.iSPOLXZUQ LI[X ZAKONY POGLO]ENIQ I DISTRIBUTIWNYE ZAKONY, DOKAZATX ZAKONY IDEMPO- TENTNOSTI.
10.sLEDU@]IE FORMULY PRIWESTI K BOLEE PROSTOMU WIDU:
(a)(a & :b) _ (a & :c) _ (b & c) _ b _ c,
(b)(a & b & c) _ (a & b & :c) _ (a & :b),
(c):((a ! b) & (b ! :a)),
(d)(a ! :b) _ :(a _ b),
(e):(:a & :b) _ ((a ! b) & a).
11.dOKAVITE, ^TO KAVDAQ FORMULA ALGEBRY WYSKAZYWANIJ RAWNOSILXNA FORMULE:
(a)NE SODERVA]EJ OPERACIJ IMPLIKACII I \KWIWALENCII I W KOTOROJ OPERACIQ OTRICANIQ OTNESENA LI[X K BUKWAM
(b)SODERVA]EJ LI[X OPERACII : I &
(c)SODERVA]EJ LI[X OPERACII : I _.
(d)SODERVA]EJ LI[X OPERACII : I !.
12.dOKAVITE TOVDESTWENNU@ ISTINNOSTX FORMUL, ISPOLXZUQ ZAKONY LOGIKI.
(a)a ! (b ! a),
(b)(a ! (b ! c)) ! ((a ! b) ! (a ! c)),
(c)(:b ! :a) ! ((:b ! a) ! b),
13.sKOLXKO POPARNO NERAWNOSILXNYH FORMUL MOVNO SOSTAWITX W ALFAWITE, SODERVA]EM W TO^- NOSTI n WYSKAZYWATELXNYH PEREMENNYH?
62
x 2. sOWER[ENNYE NORMALXNYE FORMY. pRIMENENIE ALGEBRY WYSKA- ZYWANIJ K PEREKL@^ATELXNYM SHEMAM
pOSTROENIE FORMUL PO ZADANNYM TABLICAM ISTINNOSTI. nORMALXNYE DIZ_@NKTIWNYE (KON_- @NKTIWNYE) FORMY. sOWER[ENNYE NORMALXNYE DIZ_@NKTIWNYE (KON_@NKTIWNYE) FORMY. lOGI^ESKIE OPERACII NAD DWUHPOL@SNYMI PEREKL@^ATELQMI. zADA^I SINTEZA I ANALIZA PE- REKL@^ATELXNYH SHEM.
2.1.pOSTROENIE FORMUL PO ZADANNYM TABLICAM ISTINNOSTI. rASSMOTRIM WNA^ALE
RE[ENIE \TOJ ZADA^I NA PRIMERE. pUSTX FORMULA a = a(A1 A2 A3) OT TREH WYSKAZYWATELXNYH PEREMENNYH ZADANA TAKOJ TABLICEJ ISTINNOSTI (SM. TABLICU 7).
tABL. 7: tABLICA ISTINNOSTI FORMULY OT TREH WYSKAZYWATELXNYH PEREMENNYH.
A1 |
A2 |
A3 |
a(A1 A2 A3) |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
pONQTNO, ^TO SU]ESTWUET BESKONE^NO MNOGO RAWNOSILXNYH FORMUL ALGEBRY WYSKAZYWANIJ, IME@]IH \TU TABLICU ISTINNOSTI. uKAVEM SPOSOB NAHOVDENIQ DWUH TAKIH FORMUL.
pOME^AEM TE STROKI TABLICY, W KOTORYH a(A1 A2 A3) PRINIMAET ZNA^ENIE, RAWNOE 1. |TO STROKI 1, 3, 7. dLQ KAVDOJ STROKI (LOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTI) SOSTAWIM FORMULU, ISTINNU@ TOLXKO W \TOJ LOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTI I LOVNU@ WO WSEH OSTALXNYH LOGI^ESKIH WOZMOVNOSTQH:
1-Q STROKA | A1 & A2 & A3
3-Q STROKA | A1 & :A2 & A3
7-Q STROKA | :A1 & :A2 & A3.
eSLI WOZXMEM TEPERX DIZ_@NKCI@ WSEH \TIH FORMUL, TO \TO I BUDET ISKOMOJ FORMULOJ:
a = (A1 & A2 & A3) _ (A1 & :A2 & A3) _ (:A1 & :A2 & A3): |
(1) |
rASSMOTRIM DRUGOE RE[ENIE \TOJ ZADA^I. pOME^AEM TEPERX TE STROKI TABLICY, W KOTORYH a(A1 A2 A3) PRINIMAET ZNA^ENIE, RAWNOE 0. |TO STROKI 2, 4, 5, 6, 8. dLQ KAVDOJ LOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTI SOSTAWIM FORMULU, LOVNU@ TOLXKO W \TOJ LOGI^ESKOJ WOZMOVNOSTI I ISTINNU@ WO WSEH OSTALXNYH LOGI^ESKIH WOZMOVNOSTQH:
2-Q STROKA | :A1 _ :A2 _ A3
4-Q STROKA | :A1 _ A2 _ A3
5-Q STROKA | A1 _ :A2 _ :A3
6-Q STROKA | A1 _ :A2 _ A3
8-Q STROKA | A1 _ A2 _ A3.
eSLI TEPERX WOZXMEM KON_@NKCI@ \TIH FORMUL, TO \TO TAKVE BUDET ISKOMOJ, TO ESTX IME@]EJ ZADANNU@ TABLICU ISTINNOSTI, FORMULOJ:
a = (:A1 _:A2 _A3) & (:A1 _A2 _A3) & (A1 _:A2 _:A3) & (A1 _:A2 _A3) & (A1 _A2 _A3): (2)
63
gLAWA III. aLGEBRA WYSKAZYWANIJ
fORMULY (1) I (2) RAWNOSILXNY, TAK KAK IME@T ODNU I TU VE TABLICU ISTINNOSTI. oTMETIM, ^TO W DANNOM SLU^AE UDOBNEE STROITX FORMULU (1).
lEGKO PONQTX, ^TO PROWEDENNYE RASSUVDENIQ GODQTSQ I DLQ OB]EJ SITUACII, TO ESTX NAHOV- DENIQ FORMULY PO ZADANNOJ PROIZWOLXNOJ TABLICE ISTINNOSTI.
2.2.nORMALXNYE FORMY. dLQ KAVDOJ FORMULY ALGEBRY WYSKAZYWANIJ MOVNO UKAZATX
RAWNOSILXNU@ EJ FORMULU, SODERVA]U@ IZ LOGI^ESKIH SWQZOK LI[X OTRICANIE, KON_@NKCI@ I DIZ_@NKCI@. dLQ \TOGO DOSTATO^NO WOSPOLXZOWATXSQ PRAWILAMI UDALENIQ IMPLIKACII I \KWIWA-
LENCII (SM. III.1.7.). rASSMOTRENIE OSOBOGO WIDA TAKIH FORMUL I SOSTAWLQET CELX POSLEDU@]IH TREH PUNKTOW.
oPREDELENIE 1. kON_@NKTIWNYM ODNO^LENOM OT WYSKAZYWATELXNYH PEREMENNYH A1 : : : An NAZYWAETSQ KON_@NKCIQ \TIH PEREMENNYH ILI IH OTRICANIJ.
nAPRIMER, FORMULY
A1 & :A2 & A3
A2 & A3 & :A2 & A5
A1 & A2 & :A1 & A3 & A1
QWLQ@TSQ KON_@NKTIWNYMI ODNO^LENAMI.
oPREDELENIE 2. dIZ_@NKTIWNYM ODNO^LENOM OT WYSKAZYWATELXNYH PEREMENNYH A1 : : : An NAZYWAETSQ DIZ_@NKCIQ \TIH PEREMENNYH ILI IH OTRICANIJ.
nAPRIMER, FORMULY
:A1 _ A2 _ A4
A3 _ A3 _ A3
:A1 _ A5 _ A4 _ :A4
QWLQ@TSQ DIZ_@NKTIWNYMI ODNO^LENAMI.
oPREDELENIE 3. dIZ_@NKTIWNOJ NORMALXNOJ FORMOJ NAZYWAETSQ DIZ_@NKCIQ KON_@NKTIW- NYH ODNO^LENOW, TO ESTX WYRAVENIE WIDA a1 _ a2 _ : : : _ ak, GDE WSE ai, i = 1 2 : : : k QWLQ@TSQ KON_@NKTIWNYMI ODNO^LENAMI (NE OBQZATELXNO RAZLI^NYMI).
oPREDELENIE 4. kON_@NKTIWNOJ NORMALXNOJ FORMOJ NAZYWAETSQ KON_@NKCIQ DIZ_@NKTIW- NYH ODNO^LENOW b1 & b2 & : : : & bl, GDE WSE bi, i = 1 2 : : : l QWLQ@TSQ DIZ_@NKTIWNYMI ODNO- ^LENAMI (NE OBQZATELXNO RAZLI^NYMI).
tAKVE BUDEM NAZYWATX DIZ_@NKTIWNOJ (KON_@NKTIWNOJ) NORMALXNOJ FORMOJ UKAZANNYE WY- RAVENIQ PRI k = 1 ILI l = 1.
nORMALXNU@ FORMU, PREDSTAWLQ@]U@ FORMULU a (TO ESTX RAWNOSILXNU@ a) BUDEM NAZYWATX
PROSTO NORMALXNOJ FORMOJ \TOJ FORMULY.
nETRUDNO PONQTX ^TO WSQKAQ FORMULA OBLADAET KAK DIZ_@NKTIWNOJ, TAK I KON_@NKTIWNOJ NORMALXNYMI FORMAMI. bOLEE TOGO, U DANNOJ FORMULY a SU]ESTWUET NEOGRANI^ENO MNOGO KAK DIZ_@NKTIWNYH, TAK I KON_@NKTIWNYH NORMALXNYH FORM.
2.3.sOWER[ENNYE NORMALXNYE FORMY. sREDI MNOVESTWA DIZ_@NKTIWNYH (RAWNO KAK
I KON_@NKTIWNYH) NORMALXNYH FORM, KOTORYMI OBLADAET DANNAQ FORMULA ALGEBRY WYSKAZYWA- NIJ, SU]ESTWUET UNIKALXNAQ FORMA: ONA EDINSTWENNA DLQ DANNOJ FORMULY. |TO TAK NAZYWAEMAQ SOWER[ENNAQ DIZ_@NKTIWNAQ NORMALXNAQ FORMA (SREDI KON_@NKTIWNYH FORM | SOWER[ENNAQ KON_@NKTIWNAQ NORMALXNAQ FORMA).
oPREDELENIE 1. oDNO^LEN (KON_@NKTIWNYJ ILI DIZ_@NKTIWNYJ) OT WYSKAZYWATELXNYH PE- REMENNYH A1 : : : An NAZYWAETSQ SOWER[ENNYM, ESLI W NEGO OT KAVDOJ PARY FORMUL Ai :Ai (i = 1 2 : : : n) WHODIT ROWNO ODNA FORMULA.
nORMALXNAQ FORMA (DIZ_@NKTIWNAQ ILI KON_@NKTIWNAQ) OT PEREMENNYH A1 : : : An NAZYWA- ETSQ SOWER[ENNOJ OT \TIH PEREMENNYH, ESLI W NEE WHODQT LI[X NEPOWTORQ@]IESQ SOWER[ENNYE ODNO^LENY (KON_@NKTIWNYE ILI DIZ_@NKTIWNYE SOOTWETSTWENNO) OT A1 : : : An
64
x 2. sOWER[ENNYE NORMALXNYE FORMY. pRIMENENIE ALGEBRY WYSKAZYWANIJ K PEREKL@^ATELXNYM SHEMAM
nAPRIMER, FORMULA
(A & B) _ (:A & B) _ (A & :B)
QWLQETSQ SOWER[ENNOJ DIZ_@NKTIWNOJ FORMOJ OT WYSKAZYWATELXNYH PEREMENNYH A I B. pRI- MERAMI SOWER[ENNOJ KON_@NKTIWNOJ I DIZ_@NKTIWNOJ FORM QWLQ@TSQ TAKVE FORMULY (2) I (1) SOOTWETSTWENNO.
2.4. pREDSTAWLENIE FORMUL ALGEBRY WYSKAZYWANIJ SOWER[ENNYMI NORMALXNY- MI FORMAMI.
tEOREMA 1. kAVDAQ NE TOVDESTWENNO LOVNAQ FORMULA ALGEBRY WYSKAZYWANIJ IMEET EDINST- WENNU@ (S TO^NOSTX@ DO PERESTANOWKI DIZ_@NKTIWNYH ^LENOW) SOWER[ENNU@ DIZ_@NKTIWNU@ NORMALXNU@ FORMU.
tEOREMA 2. kAVDAQ FORMULA ALGEBRY WYSKAZYWANIJ, KOTORAQ NE QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ, IME- ET EDINSTWENNU@ (S TO^NOSTX@ DO PERESTANOWKI KON_@NKTIWNYH ^LENOW) SOWER[ENNU@ KON_- @NKTIWNU@ NORMALXNU@ FORMU.
2.5.lOGI^ESKIE OPERACII NAD DWUHPOL@SNYMI PEREKL@^ATELQMI. rASSMOTRIM
DWUHPOL@SNYE PEREKL@^ATELI, TO ESTX TAKIE, KOTORYE IME@T DWA SOSTOQNIQ: \ZAMKNUTO" | 1 I \RAZOMKNUTO" | 0. bUDEM IH OBOZNA^ATX BOLX[IMI LATINSKIMI BUKWAMI I NA SHEMAH IZOBRAVATX TAK:
A
rIS. III.1.
pEREKL@^ATELX, KOTORYJ SBLOKIROWAN S PEREKL@^ATELEM A TAK, ^TO ON ZAMKNUT, ESLI A RA- ZOMKNUT, I RAZOMKNUT, ESLI A ZAMKNUT, NAZOWEM INWERSNYM I BUDEM OBOZNA^ATX :A (SRAWNITE S OPERACIEJ OTRICANIQ NAD WYSKAZYWANIQMI). oPERACI@ POSLEDOWATELXNOGO SOEDINENIQ DWUH PE- REKL@^ATELEJ BUDEM OBOZNA^ATX &:
A & B
rIS. III.2.
sRAWNITE S OPERACIEJ KON_@NKCII WYSKAZYWANIJ.
oPERACI@ PARALLELXNOGO SOEDINENIQ DWUH PEREKL@^ATELEJ OBOZNA^IM ^EREZ _:
A
_
B
rIS. III.3.
sRAWNITE S OPERACIEJ DIZ_@NKCII WYSKAZYWANIJ.
tAKIM OBRAZOM, WSQKU@ FORMULU ALGEBRY WYSKAZYWANIJ OT SWQZOK :, &, _ MOVNO TRAKTO- WATX KAK NEKOTORU@ POSLEDOWATELXNO-PARALLELXNU@ SHEMU OT DWUHPOL@SNYH PEREKL@^ATELEJ. sOWER[ENNO O^EWIDNO, ^TO WSE SWOJSTWA OPERACIJ :, &, _ NAD WYSKAZYWANIQMI PERENOSQTSQ NA SOOTWETSTWU@]IE OPERACII NAD PEREKL@^ATELQMI (POSLEDOWATELXNO-PARALLELXNYMI SHEMAMI). tAKIM OBRAZOM, MY IMEEM ALGEBRU PEREKL@^ATELXNYH SHEM.
65
gLAWA III. aLGEBRA WYSKAZYWANIJ
2.6.zADA^I SINTEZA I ANALIZA PEREKL@^ATELXNYH SHEM. oTME^ENNU@ WY[E SWQZX
MEVDU ALGEBROJ WYSKAZYWANIJ I ALGEBROJ PEREKL@^ATELXNYH SHEM KOROTKO MOVNO WYRAZITX TAK: \TI ALGEBRY ODINAKOWO USTROENY (IZOMORFNY). |TOT IZOMORFIZM MOVET BYTX ISPOLXZOWAN PRI RE[ENII ZADA^ SLEDU@]IH DWUH TIPOW, KOTORYE USLOWNO NAZOWEM ANALIZ SHEM I SINTEZ SHEM.
1. aNALIZ SHEM ZAKL@^AETSQ W SLEDU@]EM. dLQ DANNOJ SHEMY SOSTAWLQETSQ SOOTWETSTWU@- ]AQ FORMULA, KOTORAQ NA OSNOWANII ZAKONOW LOGIKI UPRO]AETSQ I DLQ NEE STROITSQ NOWAQ BOLEE PROSTAQ SHEMA, KOTORAQ (W SILU OTME^ENNOGO WY[E IZOMORFIZMA ALGEBR) OBLADAET TEMI VE \LEK- TRI^ESKIMI SWOJSTWAMI, ^TO I ISHODNAQ SHEMA. pRIWEDEM SOOTWETSTWU@]IJ PRIMER. dANA SHEMA
A
: A B
|
A |
|
B |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
rIS. III.4.
zAPI[EM SOOTWETSTWU@]U@ EJ FORMULU I PREOBRAZUEM EE RAWNOSILXNYMI PREOBRAZOWANIQMI. (A _ (:A & B)) _ (A & B) A _ (:A & B) _ (A & B) A _ (A & B) _ (:A & B)
A _ (:A & B) (A _ :A) & (A _ B) 1 & (A _ B) A _ B. tAKIM OBRAZOM, ISHODNAQ SHEMA RAWNOSILXNA TAKOJ:
A
B
rIS. III.5.
2. sINTEZ SHEM ZAKL@^AETSQ W POSTROENII SHEM S ZADANNYMI \LEKTRI^ESKIMI SWOJSTWAMI. |TO DELAETSQ TAK. nA OSNOWANII ZADANNYH \LEKTRI^ESKIH SWOJSTW STROITSQ FORMULA ALGEBRY WYSKAZYWANIJ, A PO NEJ SOOTWETSTWU@]AQ SHEMA. pRIWEDEM
pRIMER 1. aKTIW STUDEN^ESKOJ GRUPPY, SOSTOQ]IJ IZ TREH ^ELOWEK, HO^ET PRIMENITX \LEKTRI- ^ESKU@ SHEMU DLQ REGISTRACII TAJNOGO GOLOSOWANIQ PROSTYM BOLX[INSTWOM GOLOSOW. pOSTROIM TAKU@ SHEMU, ^TOBY KAVDYJ GOLOSU@]IJ \ZA" NAVIMAL SWO@ KNOPKU, A KAVDYJ GOLOSU@]IJ \PROTIW" NE NAVIMAL SOOTWETSTWU@]EJ KNOPKI. w SLU^AE PRINQTIQ RE[ENIQ DOLVNA ZAGORETXSQ SIGNALXNAQ LAMPO^KA.
rE[ENIE. pUSTX A, B, C | OBOZNA^A@T SOOTWETSTWENNO WYSKAZYWANIQ \1 { YJ ZA", \2 { OJ ZA", \3 { IJ ZA". sOSTAWIM TABLICU ISTINNOSTI FORMULY a(A B C), KOTOROJ BUDET SOOTWETSTWOWATX ISKOMAQ SHEMA.
A |
B |
C |
a(A B C) |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
tEPERX SPOSOBOM, UKAZANNYM W P. III.2.1., SOSTAWLQEM FORMULU a = a(A B C). a = (A & B & C) _ (A & B & :C) _ (A & :B & C) _ (:A & B & C):
66
x 2. sOWER[ENNYE NORMALXNYE FORMY. pRIMENENIE ALGEBRY WYSKAZYWANIJ K PEREKL@^ATELXNYM SHEMAM
i, NAKONEC, SOSTAWIM SHEMU, KOTORAQ SOOTWETSTWUET POSTROENNOJ FORMULE (SM. RIS. III.6.). A B C
A B : C
A : B C
: A B C
rIS. III.6.
pOLU^ENNU@ W \TOM PRIMERE SHEMU MOVNO UPROSTITX, OSU]ESTWLQQ EE ANALIZ. rAWNOSILXNYMI PREOBRAZOWANIQMI UPRO]AEM FORMULU:
a = (A & B & C) _ (A & B & :C) _ (A & :B & C) _ (:A & B & C)(A & B & (C _ :C)) _ ((A _ :A) & (A _ B) & (A _ C) &
& (:B _ :A) & (:B _ B) & (:B _ C) & (C _ :A) & (C _ B) & (C _ C))
(A & B) _ (C & (A _ C) & (C _ B) & (C _ :A) & (C _ :B) & (A _ B) & (:B _ :A))(A & B) _ (C & (A _ B) & (:A _ :B)) (A & B) _ (C & (A _ B) & :(A & B))
((A & B) _ C) & ((A & B) _ A _ B) & ((A & B) _ :(A & B)) ((A & B) _ C) & (A _ B) uPRO]ENNAQ SHEMA PRIWEDENA NA RIS. III.7.
A B A
C B
rIS. III.7.
2.7.nOWYE TERMINY. kON_@NKTIWNYJ (DIZ_@NKTIWNYJ) ODNO^LEN. nORMALXNAQ KON_-
@NKTIWNAQ (DIZ_@NKTIWNAQ) FORMA. sOWER[ENNYJ KON_@NKTIWNYJ (DIZ_@NKTIWNYJ) ODNO^LEN. sOWER[ENNAQ NORMALXNAQ KON_@NKTIWNAQ (DIZ_@NKTIWNAQ) FORMA. dWUHPOL@SNOJ PEREKL@^A- TELX. iNWERSNYJ K DANNOMU PEREKL@^ATELX. oPERACII POSLEDOWATELXNOGO I PARALLELXNOGO SO- EDINENIQ PEREKL@^ATELEJ. aLGEBRA PEREKL@^ATELXNYH SHEM. aNALIZ I SINTEZ SHEM.
2.8.kONTROLXNYE WOPROSY.
1.iZWESTNO, ^TO FORMULA a = a(A B C) ISTINA W ODNOM EDINSTWENNOM SLU^AE: a(1 1 0) = 1. zAPI[ITE \TU FORMULU.
2. iZWESTNO, ^TO FORMULA a = a(A B C) ISTINA W TO^NOSTI W DWUH SLU^AQH: a(0 1 0) =
= a(0 0 0) = 1. zAPI[ITE \TU FORMULU.
3.kAKIM SHEMAM SOOTWETSTWU@T RAWNOSILXNYE FORMULY?
67
gLAWA III. aLGEBRA WYSKAZYWANIJ
4.kAKOJ SHEME SOOTWETSTWUET TOVDESTWENNO ISTINNAQ FORMULA? tOVDESTWENNO LOVNAQ?
5.pERESKAVITE SMYSL ANALIZA SHEM.
6.pERESKAVITE SMYSL SINTEZA SHEM.
2.9.uPRAVNENIQ.
1.pOSTROJTE FORMULU OT TREH BUKW, ISTINNU@ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA W TO^NOSTI DWE BUKWY PRINIMA@T ZNA^ENIE, RAWNOE 1. kOGDA W TO^NOSTI ODNA BUKWA PRINIMAET ZNA^ENIE, RAWNOE 0.
2.pRIDUMAJTE FORMULU OT TREH BUKW, LOVNU@ W ODNOM EDINSTWENNOM SLU^AE, KOGDA A = 1,
B = 0, C = 1. kOGDA A = 0, B = 1, C = 1.
3. |
pRIDUMAJTE FORMULU OT TREH BUKW, LOVNU@ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA a(1 0 1) = 0 I |
||||||
|
a(0 0 1) = 0. kOGDA a(0 1 1) = a(1 1 1) = a(0 0 0) = 0. |
||||||
4. |
pOSTROJTE SHEMU, SOOTWETSTWU@]U@ FORMULE |
|
|
|
|
||
|
((A _ B) & :C) _ ((:A & C) _ B). |
||||||
5. |
uPROSTITE SHEMU |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
A
: A : B
B
rIS. III.8.
6.iMEETSQ ODNA LAMPO^KA W LESTNI^NOM PROLETE DWUH\TAVNOGO ZDANIQ. pOSTROJTE SHEMU TAK, ^TOBY NA KAVDOM \TAVE SWOIM WYKL@^ATELEM MOVNO BYLO BY GASITX I ZAVIGATX LAMPU NEZAWISIMO OT POLOVENIQ DRUGOGO PEREKL@^ATELQ.
7.nEOBHODIMO, ^TOBY W BOLX[OM ZALE MOVNO BYLO WKL@^ATX I WYKL@^ATX SWET PRI POMO]I L@BOGO IZ TREH PEREKL@^ATELEJ, RASPOLOVENNYH NA TREH STENAH. sOSTAWXTE TAKU@ SHEMU.
8.gRUPPA STUDENTOW SDAET ZA^ET, SOSTOQ]IJ IZ 4-H WOPROSOW, TREBU@]IH USTANOWITX ISTIN- NOSTX ILI LOVNOSTX KAKIH-TO UTWERVDENIJ. pOSTROITX SHEMU, POZWOLQ@]U@ OTWE^ATX NA KAVDYJ WOPROS NAVATIEM ILI NENAVATIEM SOOTWETSTWU@]EJ KNOPKI. sHEMA DOLVNA PRI \TOM POKAZYWATX KOLI^ESTWO PRAWILXNYH OTWETOW.
9.sOSTAWXTE SHEMU S ^ETYRXMQ PEREKL@^ATELQMI, KOTORAQ PROWODIT TOK TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ZAMYKA@TSQ NE WSE PEREKL@^ATELI, A TOLXKO NEKOTORYE IZ NIH.
10.nA^ERTITE SHEMU S 5 PEREKL@^ATELQMI, KOTORAQ ZAMYKAETSQ, ESLI I TOLXKO ESLI ZAMKNUTY ROWNO 4 IZ \TIH PEREKL@^ATELEJ.
68
x 3. pOLNYE SISTEMY SWQZOK
oPREDELENIE POLNOJ SISTEMY SWQZOK. sWOJSTWA POLNYH SISTEM SWQZOK. oPISANIE P. S. S. IZ . oDNO\LEMENTNYE P. S. S. iSKL@^ITELXNOSTX SWQZOK & I _.
3.1.oPREDELENIE POLNOJ SISTEMY SWQZOK. rANEE BYLI ODNOZNA^NO OPREDELENY PQTX
OSNOWNYH LOGI^ESKIH SWQZOK, ISPOLXZUEMYH W QZYKE ALGEBRY WYSKAZYWANIJ DLQ ZAPISI FORMUL. oBOZNA^IM:
= f: & _ ! g:
oTMETIM, ^TO ^TO MOVNO WWESTI I DRUGIE SWQZKI (OPREDELITX TABLICAMI ISTINNOSTI), OT- LI^NYE OT SWQZOK IZ .
wSEGO RAZLI^NYH UNARNYH SWQZOK MOVNO OPREDELITX 4, A BINARNYH | 16 (SM. UPR. 1). w VE WSEGO ODNA UNARNAQ SWQZKA I 4 BINARNYH. sWQZKI IZ BUDEM NAZYWATX OSNOWNYMI SWQZKAMI. mNO- VESTWO WSEH UNARNYH I BINARNYH SWQZOK (A WSEGO IH 20) OBOZNA^IM ^EREZ . pONQTNO, ^TO . eSLI 1 | NEKOTOROE MNOVESTWO SWQZOK, TO ESTX 1 , TO OBOZNA^IM ^EREZ f 1g MNOVESTWO WSEWOZMOVNYH FORMUL aw, W ZAPISI KOTORYH MOGUT U^ASTWOWATX LI[X SWQZKI IZ 1. iNA^E GO- WORQ, f 1g SOSTOIT IZ FORMUL, NE SODERVA]IH W SWOEJ ZAPISI SWQZOK IZ n 1. tAK, NAPRIMER, PROSTEJ[IE FORMULY, TO ESTX BUKWY LATINSKOGO ALFAWITA, SNABVENNYE, BYTX MOVET, [TRIHA- MI ILI INDEKSAMI, WHODQT W f 1g DLQ L@BOGO PODMNOVESTWA 1 MNOVESTWA . iZ OPREDELENIQf 1g NEPOSREDSTWENNO SLEDU@T O^EWIDNYE SWOJSTWA 1{2.
1. f g | MNOVESTWO WSEWOZMOVNYH FORMUL ALGEBRY WYSKAZYWANIJ (aw). 2. eSLI 1 2 , TO f 1g f 2g.
oPREDELENIE 1. mNOVESTWO 1 SWQZOK IZ NAZYWAETSQ POLNOJ SISTEMOJ SWQZOK (P. S. S.), ESLI WSQKAQ FORMULA IZ f g RAWNOSILXNA NEKOTOROJ FORMULE IZ f 1g.
pRIMER 1. eSLI W KA^ESTWE 1 WOZXMEM , TO PONQTNO, ^TO WSQKAQ FORMULA IZ ( ) RAWNOSILXNA NEKOTOROJ FORMULE IZ f g. tAKIM OBRAZOM, | POLNAQ SISTEMA SWQZOK.
pRIMER 2. pOLXZUQSX PRAWILOM ISKL@^ENIQ \KWIWALENCII
a b (a ! b) & (b ! a)
RAWNOSILXNYMI PREOBRAZOWANIQMI WSQKU@ FORMULU MOVNO PRIWESTI K WIDU, W KOTOROM NET OPERA- CII . sLEDOWATELXNO, WSQKAQ FORMULA IZ f g RAWNOSILXNA NEKOTOROJ FORMULE IZ f: & _ !g. |TO OZNA^AET, ^TO MNOVESTWO f: & _ !g | P. S. S.
3.2.sWOJSTWA POLNYH SISTEM SWQZOK.
tEOREMA 1. pOLNYE SISTEMY SWQZOK OBLADA@T SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI:
1)ESLI KAKOE-TO MNOVESTWO SWQZOK 1 SODERVIT NEKOTORU@ P. S. S., TO 1 | TOVE P. S. S.
2)ESLI 1 | P. S. S. I WSQKAQ FORMULA IZ ( 1) RAWNOSILXNA KAKOJ-TO FORMULE IZ ( 2) DLQ NEKOTOROJ SISTEMY SWQZOK 2, TO 2 TOVE P. S. S.
dOKAZATELXSTWO. 1) nEPOSREDSTWENNO SLEDUET IZ OPREDELENIQ P. S. S.
2) pUSTX a 2 ( ). tAK KAK 1 | P. S. S., TO a b DLQ NEKOTOROJ FORMULY b IZ ( 1). pO USLOWI@ b c DLQ NEKOTOROJ c IZ ( 2). pO TRANZITIWNOSTI OTNO[ENIQ RAWNOSILXNOSTI IMEEM:
a c I c 2 ( 2)
|TO OZNA^AET, ^TO 2 | P. S. S.
pRIMER 1. pOLXZUQSX PRAWILOM ISKL@^ENIQ IMPLIKACII
a ! b :a _ b
RAWNOSILXNYMI PREOBRAZOWANIQMI WSQKU@ FORMULU aw IZ f: & _ !g MOVNO PRIWESTI K WIDU, W KOTOROM NET OPERACII !. |TO OZNA^AET, ^TO WSQKAQ FORMULA IZ f: & _ !g RAWNOSILXNA
NEKOTOROJ FORMULE IZ f: & _g I f: & _ !g | P. S. S., SM. PRIMER 3.1.2. pRIMENQQ P. 2 TEOREMY 3.2.1, POLU^AEM, ^TO f: & _g | P. S. S.
69