Кулабухов С.Ю. Дискретная математика

x 1. oSNOWNYE PONQTIQ TEORII MNOVESTW

3.kOMMUTATIWNOSTX OPERACIJ \ I [:

A \ B = B \ A A [ B = B [ A:

4.aSSOCIATIWNOSTX OPERACIJ \ I [:

A \ (B \ C) = (A \ B) \ C A [ (B [ C) = (A [ B) [ C:

5.dISTRIBUTIWNYE ZAKONY KAVDOJ IZ OPERACIJ \ I [ OTNOSITELXNO DRUGOJ:

A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C):

6.zAKONY POGLO]ENIQ:

A \ (A [ B) = A A [ (A \ B) = A:

7.zAKONY DE-mORGANA:

A \ B = A [ B A [ B = A \ B:

8.A \ A = ? A [ A = U:

sWOJSTWA 2{4, 8, 9 SLEDU@T NEPOSREDSTWENNO IZ SOOTWETSTWU@]IH OPREDELENIJ. sWOJSTWA 1, 5{7 DOKAZYWA@TSQ STANDARTNYM METODOM NA OSNOWE ANTISIMMETRI^NOGO SWOJSTWA OTNO[ENIQ WKL@- ^ENIQ. pROWEDITE SAMOSTOQTELXNO \TI RASSUVDENIQ.

1.8. kOLI^ESTWO \LEMENTOW OB_EDINENIQ MNOVESTW. bUDEM OBOZNA^ATX ^EREZ jAj KO-

LI^ESTWO \LEMENTOW KONE^NOGO MNOVESTWA A. ~ISLO jAj NAZYWA@T TAKVE MO]NOSTX@ MNOVEST- WA A, A MNOVESTWA SODERVA]IE ODINAKOWOE KOLI^ESTWO \LEMENTOW | RAWNOMO]NYMI. oSNOWNAQ FORMULA, KOTOROJ POLXZU@TSQ PRI NAHOVDENII ^ISLA \LEMENTOW OB_EDINENIQ DWUH KONE^NYH MNO- VESTW TAKOWA:

dEJSTWITELXNO, jAj+jBj ESTX ^ISLO, KOTOROE MY POLU^IM, PERE^ISLIW WSE \LEMENTY MNOVESTWA A, A ZATEM | WSE \LEMENTY MNOVESTWA B. nO W \TOM SLU^AE OB]IE \LEMENTY (IH ^ISLO jA\Bj) BUDUT PERE^ISLENY DWAVDY, TO ESTX

jAj + jBj = jA [ Bj + jA \ Bj:

oTS@DA I POLU^AETSQ RAWENSTWO (1).

uSTANOWIM TEPERX OB]U@ FORMULU DLQ NAHOVDENIQ ^ISLA \LEMENTOW OB_EDINENIQ NESKOLXKIH MNOVESTW.

tEOREMA 1. eSLI A1 A2 : : : An | NEKOTORYE KONE^NYE MNOVESTWA, TO

11

gLAWA I. wWEDENIE W TEORI@ MNOVESTW

dOKAZATELXSTWO. pRAWAQ ^ASTX RAWENSTWA (2) QWLQETSQ SUMMOJ n SLAGAEMYH, k-E PO PORQDKU SLAGAEMOE IMEET WID

(;1)k;1Sk(A1 A2 : : : An)

GDE Sk(A1 A2 : : : An) ESTX SUMMA ^ISEL jAi1 \ Ai2 \ : : : \ Aik j PO WSEM WOZMOVNYM PERESE^ENIQM ROWNO k RAZNYH MNOVESTW IZ MNOVESTW A1 A2 : : : An.

iZ FORMULY (1) SLEDUET, ^TO FORMULA (2) SPRAWEDLIWA DLQ DWUH MNOVESTW. pREDPOLOVIM, ^TO ONA SPRAWEDLIWA DLQ n ; 1 MNOVESTWA, I POKAVEM, ^TO ONA WYPOLNQETSQ I DLQ n MNOVESTW, TO ESTX PROWEDEM DOKAZATELXSTWO METODOM MATEMATI^ESKOJ INDUKCII.

pO PREDPOLOVENI@

jA1 [ A2 [ : : : [ Anj = jA1j + jA2 [ A3 [ : : : [ Anj; ;j(A1 \ A2) [ (A1 \ A3) [ : : : [ (A1 \ An)j =

= jA1j + ;S1(A2 A3 : : : An) ; S2(A2 A3 : : : An) + : : :

: : : + (;1)n;2Sn;1(A2 A3 : : : An) ; ;;S1(A1 \ A2 A1 \ A3 : : : A1 [ An);

;S2(A1 \ A2 A1 \ A3 : : : A1 \ An) + : : :

: : : + (;1)n;2Sn;1(A1 \ A2 A1 \ A3 : : : A1 \ An)

dLQ TOGO, ^TOBY OTS@DA POLU^ITX FORMULU (2), OSTAETSQ PRINQTX WO WNIMANIE, ^TO

jA1j + S1(A2 A3 : : : An) = S1(A1 A2 : : : An)

S2(A2 A3 : : : An) + S1(A1 \ A2 A1 \ A3 : : : A1 \ An) = = S2(A1 A2 : : : An)

Sk(A2 A3 : : : An) + Sk;1(A1 \ A2 A1 \ A3 : : : A1 \ An) = = Sk(A1 A2 : : : An) Sn;1(A1 \ A2 A1 \ A3 : : : A1 \ An) = Sn(A1 A2 : : : An):

tEOREMA DOKAZANA.

zADA^A 1. kAVDYJ U^ENIK KLASSA | LIBO DEWO^KA, LIBO BLONDIN, LIBO L@BIT MATEMATIKU. w KLASSE 20 DEWO^EK, IZ NIH 12 BLONDINOK, I ODNA BLONDINKA L@BIT MATEMATIKU. wSEGO W KLASSE 24 U^ENIKA-BLONDINA, MATEMATIKU IZ NIH L@BQT 12, A WSEGO U^ENIKOW (MALX^IKOW I DEWO^EK), KOTORYE L@BQT MATEMATIKU, 17, IZ NIH 6 DEWO^EK. sKOLXKO U^ENIKOW W DANNOM KLASSE?

rE[ENIE. eSLI A | MNOVESTWO DEWO^EK, B | BLONDINOW, C | U^ENIKOW, KOTORYE L@BQT MATEMA- TIKU, TO jA[B[Cj | ISKOMOE ^ISLO. A\B | MNOVESTWO BLONDINOK, A\C | MNOVESTWO DEWO^EK, KOTORYE L@BQT MATEMATIKU, A \ B \ C | MNOVESTWO BLONDINOK, KOTORYE L@BQT MATEMATIKU. tOGDA

jA [ B [ Cj = jAj + jBj + jCj ; (jA \ Bj + jA \ Cj + jB \ Cj)+

+jA \ B \ Cj = 20 + 24 + 17 ; (12 + 6 + 12) + 1 = 32: tAKIM OBRAZOM, W KLASSE 32 U^ENIKA.

1.9.aLGEBRY MNOVESTW. pUSTX U | NEKOTOROE FIKSIROWANNOE MNOVESTWO. oBOZNA^IM

^EREZ B(U) MNOVESTWO WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA U. oTMETIM, ^TO REZULXTAT PRIMENENIQ OPERACIJ NAD MNOVESTWAMI K MNOVESTWAM IZ B(U) DAET MNOVESTWA, PRINADLEVA]IE TAKVE B(U). w \TOM SLU^AE GOWORQT, ^TO B(U) ZAMKNUTO OTNOSITELXNO UKAZANNYH WY[E OPERACIJ, TO ESTX B(U) OBRAZUET ALGEBRU OTNOSITELXNO OPREDELENNYH RANEE OPERACIJ. |TA ALGEBRA NAZYWAETSQ BULEWOJ ALGEBROJ PODMNOVESTW MNOVESTWA U. |TO NAZWANIE W ^ESTX ANGLIJSKOGO MATEMATIKA I LOGIKA dVORDVA bULQ (1815{1864).

12

x 1. oSNOWNYE PONQTIQ TEORII MNOVESTW

1.10.nOWYE TERMINY. mNOVESTWO, \LEMENT, PRINADLEVIT, METAMATEMATIKA, KONE^NOE

MNOVESTWO, BESKONE^NOE MNOVESTWO, HARAKTERISTI^ESKOE SWOJSTWO, OTNO[ENIE WKL@^ENIQ, POD- MNOVESTWO, SOBSTWENNOE PODMNOVESTWO, REFLEKSIWNOSTX, TRANZITIWNOSTX, ANTISIMMETRI^NOSTX. pERESE^ENIE, OB_EDINENIE, WY^ITANIE MNOVESTW, DOPOLNENIE MNOVESTWA. zAKONY: DWOJNOGO DO- POLNENIQ, IDEMPOTENTNOSTI, KOMMUTATIWNOSTI, ASSOCIATIWNOSTI, DISTRIBUTIWNOSTI, POGLO]E- NIQ, DE-mORGANA. mO]NOSTX MNOVESTWA. rAWNOMO]NYE MNOVESTWA. zAMKNUTOSTX OTNOSITELXNO OPERACII, BULEWA ALGEBRA MNOVESTW (PODMNOVESTW).

1.11.kONTROLXNYE WOPROSY.

1.sOWPADA@T LI MNOVESTWA:

(a)f1 2 3g I f3 1 2g

(b)f1 2 3g I f1 2 2 3 1g

(c)f1 I2 3g I ff1g 2 3g

(d)? f?g.

2.iSTINNY LI SLEDU@]IE UTWERVDENIQ:

3.rEFLEKSIWNO LI OTNO[ENIE 2?

4.tRANZITIWNO LI OTNO[ENIE 2?

5.pUSTX Z | UNIWERSALXNOE MNOVESTWO WSEH CELYH ^ISEL, Z2 | MNOVESTWO WSEH ^ETNYH CELYH ^ISEL, A = fx j x < 10g. oPI[ITE SLOWESNO MNOVESTWA: Z2, A, Z2 \ A, Z2 [ A, Z2 n A,

A n Z2, Z2 \ A, Z2 [ A, Z2 n A, A n Z2.

6.oBLADA@T LI OPERACII SLOVENIQ, UMNOVENIQ I WY^ITANIQ CELYH ^ISEL SWOJSTWAMI IDEM- POTENTNOSTI, KOMMUTATIWNOSTI I ASSOCIATIWNOSTI?

7.dISTRIBUTIWNA LI OPERACIQ UMNOVENIQ CELYH ^ISEL OTNOSITELXNO SLOVENIQ? sLOVENIQ CELYH ^ISEL OTNOSITELXNO UMNOVENIQ?

8.zAPI[ITE WSE \LEMENTY ALGEBRY B(A) DLQ MNOVESTWA

A= ff?g f1 2g 3g:

9.w ODNOM MNOVESTWE 5 \LEMENTOW, W DRUGOM | 6. mOVNO LI UTWERVDATX, ^TO W OB_EDINENII \TIH MNOVESTW 11 \LEMENTOW? pRIWEDITE SOOTWETSTWU@]IJ PRIMER.

10.w ODNOM MNOVESTWE 4 \LEMENTA, A W DRUGOM | 11. mOVNO LI UTWERVDATX, ^TO W PERESE^ENII MOVET OKAZATXSQ 5?

11.iZ DESQTI DEWO^EK 5a KLASSA 8 POSE]AET MUZYKALXNU@ [KOLU, A TROE | dOM TWOR^ESTWA. kAK \TO MOVET BYTX?

12.iZ 35 U^A]IHSQ W PERIOD LETNIH KANIKUL 17 S_EZDILI NA \KSKURSI@ W mOSKWU, A 19 | WO wLADIWOSTOK. mOVNO LI UTWERVDATX ^TO \KSKURSII PROHODILI W ODNO I TO VE WREMQ?

1.12.uPRAVNENIQ.

1. dOKAZATX, ^TO DLQ L@BYH PREDMETOW a I b

ffag fa bgg = ffcg fc dgg () a = c I b = d:

2. dOKAZATX ISTINNOSTX SLEDU@]IH UTWERVDENIJ DLQ PROIZWOLXNYH MNOVESTW A, B, C:

13

gLAWA I. wWEDENIE W TEORI@ MNOVESTW

(a)A B I B C =) A C

(b)A B I B C =) A C

(c)A B I B C =) A C.

3.wYPOLNITE DEJSTWIQ:

? \ f?g, f?g \ f?g, f? f?gg n ?, f? f?gg n f?g, f? f?gg n ff?gg.

4.iZOBRAZITE NA PLOSKOSTI WNUTRI NEKOTOROGO OGRANI^ENNOGO KONTUROM MNOVESTWA U TO^EK PLOSKOSTI DWA PERESEKA@]IHSQ, NE SOWPADA@]IH MNOVESTWA. kONTURY, OGRANI^IWA@]IE \TI MNOVESTWA NAZOWEM GRANICAMI. wSQKU@ ^ASTX PLOSKOSTI, OGRANI^ENNU@ NEKOTOROJ GRA- NICEJ I TAKU@, ^TO WNUTRI NEE NET GRANIC, NAZOWEM GOSUDARSTWOM, A WS@ POLU^IW[U@SQ KARTINKU | KARTOJ. oHARAKTERIZUJTE KAVDOE GOSUDARSTWO PRI POMO]I ISHODNYH MNO- VESTW.

5.tA VE ZADA^A PRI USLOWII, ^TO WNUTRI U IZOBRAVENO 3 PERESEKA@]IHSQ I POPARNO PERESE- KA@]IHSQ, NO NESOWPADA@]IH MNOVESTWA.

6.pUSTX A I B | PODMNOVESTWA NEKOTOROGO UNIWERSALXNOGO MNOVESTWA U. dOKAVITE, ^TO SLEDU@]IE NIVE USLOWIQ (a){(d) \KWIWALENTNY.

(a) A B, (b) B A, (c) A [ B = B, (d) A \ B = A.

7.dOKAVITE SOOTNO[ENIE (A [ B) n B = A n B.

8.dOKAVITE SOOTNO[ENIE A \ (B [ C) = A n ;(A n B) \ (A n C) .

9.dOKAVITE, ^TO A n B = ? TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA A \ B = A

10.| sKOLXKO W WA[EM KLASSE DETEJ, | SPROSILA MAMA SWO@ DO^X. | a WOT PODS^ITAJ, | SKAZALA lENA.

| 17 REBQT NA[EGO KLASSA SPORTSMENY, 22 UWLEKA@TSQ MATEMATIKOJ. kOLQ, wASQ, nADQ, l@DA I lARISA L@BQT SPORT I MATEMATIKU. a ODIN MALX^IK, wALERA, NI^EM NE INTERESUETSQ. pODS^ITAJTE I WY KOLI^ESTWO REBQT W KLASSE lENY.

11.iZ 27 U^A]IHSQ 5a KLASSA 8 U^A]IHSQ U^ASTWOWALI W TANCEWALXNYH NOMERAH NA KONCERTE, A 11 PELI W HORE. 4 ^ELOWEKA I PELI I TANCEWALI. sKOLXKO U^A]IHSQ 5a KLASSA NE PRINQLI U^ASTIQ W HUDOVESTWENNOJ SAMODEQTELXNOSTI?

12.sREDI ^ISEL OT 1 DO 100 | 50 DELQ]IHSQ NA 2, 33 DELQ]IHSQ NA 3, 17 NE^ETNYH DELITSQ NA 3. sKOLXKO ^ISEL DELITSQ NA 6? sKOLXKO ^ISEL NE DELITSQ NA 3? sKOLXKO ^ISEL NE DELITSQ NI NA 2, NI NA 3?

13.iZ 20 SPORTSMENOW 5 KLASSA | 10 LYVNIKOW, 9 GIMNASTOW I 11 LEGKOATLETOW. 6 ZANIMA- @TSQ LEGKOJ ATLETIKOJ I GIMNASTIKOJ, 7 | LYVAMI I LEGKOJ ATLETIKOJ, 6 | LYVAMI I GIMNASTIKOJ. wSEMI TREMQ WIDAMI SPORTA ZANIMA@TSQ 5 SPORTSMENOW. sKOLXKO U^A]IH- SQ ZANIMA@TSQ TOLXKO LYVAMI, TOLXKO LEGKOJ ATLETIKOJ I TOLXKO GIMNASTIKOJ? sKOLXKO U^A]IHSQ ZANIMA@TSQ DRUGIMI WIDAMI SPORTA?

14.iZ 29 U^A]IHSQ 8 KLASSA 18 U^A]IHSQ NE POVELALI PRINQTX U^ASTIE NI W MATEMATI^ES- KOJ, NI W HIMI^ESKOJ, NI W FIZI^ESKOJ OLIMPIADE. w MATEMATI^ESKOJ OLIMPIADE PRINQLI U^ASTIE 8 U^A]IHSQ, W FIZI^ESKOJ | 4, W HIMI^ESKOJ | 4, TOLXKO W MATEMATI^ESKOJ | 3, TOLXKO W FIZI^ESKOJ | 1, TOLXKO W HIMI^ESKOJ | 2. wO WSEH TREH OLIMPIADAH NE PRINQL U^ASTIE NIKTO. mOGLI LI PROHODITX W ODNO I TO VE WREMQ MATEMATI^ESKAQ I HIMI^ESKAQ OLIMPIADY? hIMI^ESKAQ I FIZI^ESKAQ?

15.iZ 100 STUDENTOW ANGLIJSKIJ QZYK ZNA@T 28 STUDENTOW, NEMECKIJ | 30, FRANCUZSKIJ | 42, ANGLIJSKIJ I NEMECKIJ | 8, ANGLIJSKIJ I FRANCUZSKIJ | 10, NEMECKIJ I FRANCUZSKIJ | 5, A WSE TRI QZYKA ZNA@T 3 STUDENTA. sKOLXKO STUDENTOW NE ZNA@T NI ODNOGO IZ TREH QZYKOW?

14

x 1. oSNOWNYE PONQTIQ TEORII MNOVESTW

16.w KROWOPROLITNOM BO@ NE MENEE 70% WOINOW POTERQLI GLAZ, NE MENEE 75% | UHO, NE ME- NEE 80% | RUKU I NE MENEE 85% | NOGU. oCENITX SNIZU ^ISLO WOINOW, POTERQW[IH ODNO- WREMENNO GLAZ, UHO, RUKU I NOGU. (lX@IS k\RROLL).

17.w KLASSE U^ITSQ n U^ENIKOW, KOTORYE POSE]A@T 2n;1 KRUVKOW. iZWESTNO, ^TO L@BYE DWA RAZNYH KRUVKA IME@T RAZLI^NYJ SOSTAW I L@BYE TRI KRUVKA IME@T HOTQ BY ODNOGO OB]E- GO U^ASTNIKA. dOKAVITE, ^TO SU]ESTWUET W TO^NOSTI ODIN U^ENIK, KOTORYJ POSE]AET WSE KRUVKI.

15

x 2. sOOTWETSTWIQ, FUNKCII, OTOBRAVENIQ

pOSLEDOWATELXNOSTI. dEKARTOWY PROIZWEDENIQ. sOOTWETSTWIQ. gRAFY SOOTWETSTWIJ. oBRAT- NOE SOOTWETSTWIE. ~ASTI^NYE FUNKCII I FUNKCII (OTOBRAVENIQ). oBRATIMYE ^ASTI^NYE FUNKCII I OBRATIMYE FUNKCII. kRITERIJ OBRATIMOSTI FUNKCII (^ASTI^NOJ FUNKCII). kLA- SSIFIKACIQ FUNKCIJ (= OTOBRAVENIJ).

2.1.dEKARTOWY PROIZWEDENIQ.

oPREDELENIE 1. pUSTX a1 a2 : : : an | \LEMENTY NEKOTORYH MNOVESTW, n 2 N. oPREDELIM INDUKTIWNO POSLEDOWATELXNOSTX (a1 a2 : : : an):

PRI n = 1 (a1) = a1

PRI n = 2 (a1 a2) = fa1 fa1 a2gg

PRI n > 2 (a1 : : : an) = ((a1 : : : an;1) an).

pOSLEDOWATELXNOSTX (a1 a2) NAZYWAETSQ PAROJ ILI UPORQDO^ENNOJ PAROJ \LEMENTOW a1, a2.

tEOREMA 1. dWE POSLEDOWATELXNOSTI = (a1 a2 : : : an) I = (b1 b2 : : : bn) RAWNY = TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA a1 = b1 a2 = b2 : : : an = bn.

dOKAZATELXSTWO PROWODITSQ INDUKCIEJ PO n. pROWEDITE EGO SAMOSTOQTELXNO.

oPREDELENIE 2. pUSTX A1 A2 : : : An, n 2 N, | KAKIE-TO NEPUSTYE MNOVESTWA. iH DEKAR- TOWYM PROIZWEDENIEM A1 A2 : : : An NAZYWAETSQ MNOVESTWO:

A1 A2 : : : An = f(a1 a2 : : : an) j a1 2 A1 a2 2 A2 : : : an 2 Ang:

2.2.sOOTWETSTWIQ.

oPREDELENIE 1. wSQKOE PODMNOVESTWO % DEKARTOWA PROIZWEDENIQ A B NEPUSTOGO MNOVEST- WA A NA NEPUSTOE MNOVESTWO B NAZYWAETSQ SOOTWETSTWIEM IZ MNOVESTWA A WO MNOVESTWO B ILI OTNO[ENIEM MEVDU MNOVESTWAMI A I B

pO OPREDELENI@, SOOTWETSTWIQMI IZ A W B QWLQ@TSQ PODMNOVESTWA DEKARTOWA PROIZWEDENIQ, PO\TOMU ? I A B TAKVE QWLQ@TSQ SOOTWETSTWIQMI, KOTORYE NAZYWA@TSQ SOOTWETSTWENNO PUSTYM SOOTWETSTWIEM (OTNO[ENIEM) I POLNYM SOOTWETSTWIEM (OTNO[ENIEM).

uSLOWIMSQ \LEMENTY IZ MNOVESTW A I B IZOBRAVATX TO^KAMI PLOSKOSTI (WER[INAMI), A PA- RY (a b) PRINADLEVA]IE SOOTWETSTWI@ %, STRELO^KAMI (DUGAMI), NA^INA@]IMISQ W a I OKAN^I- WA@]IMISQ W b. tOGDA WSQKOE SOOTWETSTWIE BUDET IZOBRAVATXSQ KARTINKOJ (GRAFOM), SOSTOQ]EJ IZ WER[IN I SOEDINQ@]IH WER[INY DUG.

pRIMER 1. zADADIM SOOTWETSTWIQ %1{%6 IZ MNOVESTWA A = f0 1 2 3 4g W B = f5 6 7 8 9g.

%1 = f(1 5) (1 6) (2 6) (3 9) (4 9)g %2 = f(0 6) (2 6) (3 8) (4 9)g

%3 = f(0 6) (1 7) (3 9) (4 8)g

%4 = f(0 6) (1 6) (2 7) (3 7) (4 9)g %5 = f(0 5) (1 6) (2 7) (3 8) (4 9)g

%6 = f(0 6) (1 7) (2 5) (3 8) (4 9)g

nA RIS. 2{4 IZOBRAVENY GRAFY \TIH SOOTWETSTWIJ.

pUSTX % | SOOTWETSTWIE IZ A W B. eSLI (a b) 2 %, TO BUDEM PISATX b 2 %(a) ILI a 2 %;1(b). |LEMENT b BUDEM NAZYWATX PRI \TOM OBRAZOM \LEMENTA a PRI SOOTWETSTWII % A a | PROOBRAZOM \LEMENTA b PRI SOOTWETSTWII %. pOLOVIM DLQ a 2 A I b 2 B:

%(a) = fy j y 2 B I (a y) 2 %g %;1(b) = fx j x 2 A I b 2 %(x)g:

16

x 2. sOOTWETSTWIQ, FUNKCII, OTOBRAVENIQ

rIS. 3: sOOTWETSTWIQ IZ A W B.

mNOVESTWO %(a) NAZYWAETSQ POLNYM OBRAZOM \LEMENTA a, A %;1(b) | POLNYM PROOBRAZOM

\LEMENTA b PRI SOOTWETSTWII %. pOLOVIM TAKVE:

X% = fx j x 2 A I %(x) =6 ?g Y% = fy j y 2 B I %;1(y) =6 ?g:

X% NAZYWAETSQ OBLASTX@ OPREDELENIQ SOOTWETSTWIQ %, A Y% | OBLASTX@ ZNA^ENIJ SOOTWET-

STWIQ %.

pRIMER 2. %1(0) = ? %1(1) = f5 6g %1(2) = f6g %1(3) = f9g %1(4) = f9g. %;1 1(5) = f1g %;1 1(6) = f1 2g %;1 1(7) = ? %;1 1(8) = ? %;1 1(9) = f3 4g. X%1 = f1 2 3 4g Y%1 = f5 6 9g.

2.3.oBRATNOE SOOTWETSTWIE.

oPREDELENIE 1. pUSTX % | SOOTWETSTWIE IZ A W B. pOLOVIM:

%;1 = f(b a) j (a b) 2 %g:

17

gLAWA I. wWEDENIE W TEORI@ MNOVESTW

rIS. 4: sOOTWETSTWIQ IZ A W B.

%;1 NAZYWAETSQ OBRATNYM DLQ SOOTWETSTWIQ %. pONQTNO, ^TO %;1 | SOOTWETSTWIE IZ B W A.

pRIMER 1. %;1 1 = f(5 1) (6 1) (6 2) (9 3) (9 4)g (SM. RIS. 5).

& %& %

rIS. 5: pRIMER OBRATNOGO SOOTWETSTWIQ. oTMETIM, ^TO DLQ L@BOGO SOOTWETSTWIQ % WERNY FORMULY

X% 1 = Y% Y% 1 = X%:

2.4.~ASTI^NYE FUNKCII.

oPREDELENIE 1. ~ASTI^NOJ FUNKCIEJ ILI ODNOZNA^NYM SOOTWETSTWIEM IZ MNOVESTWA A WO MNOVESTWO B NAZYWAETSQ TAKOE SOOTWETSTWIE IZ A W B, PRI KOTOROM KAVDOMU \LEMENTU MNOVESTWA A SOOTWETSTWUET NE BOLEE ODNOGO \LEMENTA MNOVESTWA B.

iNYMI SLOWAMI, OTLI^ITELXNYM PRIZNAKOM ^ASTI^NOJ FUNKCII f QWLQETSQ TOT FAKT, ^TO DLQ L@BOGO \LEMENTA x 2 A POLNYJ OBRAZ EGO f(x) DOLVEN BYTX NE BOLEE ^EM ODNO\LEMENTNOE

18

x 2. sOOTWETSTWIQ, FUNKCII, OTOBRAVENIQ

pRIMER 1. lEGKO UBEDITXSQ, ^TO IZ SOOTWETSTWIJ %1{%6 LI[X %1 NE QWLQETSQ ^ASTI^NOJ FUNK- CIEJ. oTMETIM, ^TO PUSTOE SOOTWETSTWIE ? TAKVE QWLQETSQ ^ASTI^NOJ FUNKCIEJ.

2.5.oBRATNAQ ^ASTI^NAQ FUNKCIQ.

oPREDELENIE 1. pUSTX f | ^ASTI^NAQ FUNKCIQ IZ A W B. eSLI SOOTWETSTWIE f;1 TAKVE QWLQETSQ ^ASTI^NOJ FUNKCIEJ, TO f;1 NAZYWAETSQ ^ASTI^NOJ FUNKCIEJ, OBRATNOJ DLQ f.

pONQTNO, ^TO OBRATNAQ ^ASTI^NAQ FUNKCIQ DLQ DANNOJ SU]ESTWUET NE WSEGDA. nAPRIMER, DLQ %2 %4 OBRATNYH ^ASTI^NYH FUNKCIJ NE SU]ESTWUET, A DLQ %3 %5 %6 SU]ESTWU@T. lEGKO PONQTX, ^TO DLQ PUSTOJ ^ASTI^NOJ FUNKCII OBRATNOJ ^ASTI^NOJ FUNKCIEJ BUDET ONA SAMA I, TAKIM OB- RAZOM, PUSTAQ ^ASTI^NAQ FUNKCIQ OBRATIMA.

oPREDELENIE 2. ~ASTI^NAQ FUNKCIQ f IZ A W B NAZYWAETSQ IN_EKTIWNOJ, ESLI DLQ PROIZ- WOLXNYH x y 2 A IZ TOGO, ^TO f(x) = f(y) SLEDUET x = y.

pUSTAQ ^ASTI^NAQ FUNKCIQ, O^EWIDNO, IN_EKTIWNA.

tEOREMA 1. ~ASTI^NAQ FUNKCIQ f IZ A W B IMEET OBRATNU@ ^ASTI^NU@ FUNKCI@ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA f IN_EKTIWNA.

dOKAZATELXSTWO. 1. pUSTX f IMEET OBRATNU@ ^ASTI^NU@ FUNKCI@. eSLI f = ?, TO f IN_EK- TIWNA. pUSTX f OTLI^NA OT ? I SOOTWETSTWIE f;1 QWLQETSQ ^ASTI^NOJ FUNKCIEJ.

pUSTX x y 2 A I f(x) = f(y). dLQ OPREDELENNOSTI PUSTX f(x) = f(y) = z. |TO ZNA^IT,

^TO (x z) (y z) 2 f. tOGDA (z x) (z y) 2 f;1 =) x y 2 f;1(z). nO f;1 | ^ASTI^NAQ FUNKCIQ, SLEDOWATELXNO, OBRAZ \LEMENTA z NE DOLVEN SODERVATX BOLEE ODNOGO \LEMENTA I POTOMU x = y.

2. pUSTX TEPERX ^ASTI^NAQ FUNKCIQ f QWLQETSQ IN_EKTIWNOJ. eSLI f = ?, TO f IMEET OBRAT-

2.6.fUNKCII (OTOBRAVENIQ).

oPREDELENIE 1. ~ASTI^NAQ FUNKCIQ f IZ A W B NAZYWAETSQ OTOBRAVENIEM MNOVESTWA A WO MNOVESTWO B ILI FUNKCIEJ, ZADANNOJ NA A, SO ZNA^ENIQMI W B, ESLI OBLASTX OPREDELENIQ f SOWPADAET S MNOVESTWOM A: Xf = A.

pRIMERAMI OTOBRAVENIJ QWLQ@TSQ ^ASTI^NYE FUNKCII %4{%6, SM. RIS. 2{4. ~ASTI^NYE FUNK- CII %2, %3 OTOBRAVENIQMI MNOVESTWA A W B NE QWLQ@TSQ.

oTMETIM, ^TO WSQKAQ ^ASTI^NAQ FUNKCIQ QWLQETSQ OTOBRAVENIEM SWOEJ OBLASTI OPREDELE- NIQ. eSLI OTOBRAVENIE f ESTX IN_EKTIWNAQ ^ASTI^NAQ FUNKCIQ, TO f NAZYWA@T IN_EKTIWNYM

OTOBRAVENIEM.

eSLI KAVDYJ \LEMENT MNOVESTWA B IMEET HOTQ BY ODIN PROOBRAZ PRI OTOBRAVENII (FUNK- CII) f, TO ESTX ESLI Yf = B TO f NAZYWAETSQ S@R_EKTIWNYM OTOBRAVENIEM (FUNKCIEJ) ILI OTOBRAVENIEM MNOVESTWA A NA MNOVESTWO B.

eSLI VE OTOBRAVENIE f QWLQETSQ I IN_EKTIWNYM I S@R_EKTIWNYM ODNOWREMENNO, TO f NAZY- WAETSQ BIEKTIWNYM OTOBRAVENIEM MNOVESTWA A NA MNOVESTWO B ILI BIEKCIEJ A NA B.

oTMETIM, ^TO OTOBRAVENIQ %5, %6 (RIS. 4) QWLQ@TSQ BIEKCIQMI, A ^ASTI^NAQ FUNKCIQ %4 (RIS. 3) NE QWLQETSQ NI IN_EKTIWNOJ, NI S@R_EKTIWNOJ.

19

gLAWA I. wWEDENIE W TEORI@ MNOVESTW

nA KONE^NYH MNOVESTWAH IN_EKTIWNOSTX OTOBRAVENIQ MNOVESTWA W SEBQ WLE^ET EGO S@R_EK- TIWNOSTX I OBRATNO, S@R_EKTIWNOSTX OTOBRAVENIQ MNOVESTWA NA SEBQ WLE^ET EGO IN_EKTIWNOSTX, SM. UPR. 7.

2.7.oBRATIMYE OTOBRAVENIQ.

oPREDELENIE 1. eSLI SOOTWETSTWIE f;1, OBRATNOE DLQ NEKOTOROGO OTOBRAVENIQ f: A ! B QWLQETSQ OTOBRAVENIEM f;1: B ! A, TO f NAZYWAETSQ OBRATIMYM OTOBRAVENIEM, A f;1 | OTOBRAVENIEM, OBRATNYM DLQ f.

oTMETIM, ^TO OTOBRAVENIE f MOVET BYTX OBRATIMYM KAK ^ASTI^NAQ FUNKCIQ I NE BYTX OBRATIMYM KAK OTOBRAVENIE. pRIMEROM SLUVIT OTOBRAVENIE f: N ! N PO PRAWILU f(n) = n+1. pOQSNITX!

tEOREMA 1. oTOBRAVENIE f: A ! B OBRATIMO () f | BIEKCIQ.

dOKAZATELXSTWO. 1. pUSTX f | OBRATIMO KAK OTOBRAVENIE. tOGDA f OBRATIMA KAK ^ASTI^NAQ

FUNKCIQ I PO TEOREME 2.5.1 f | IN_EKTIWNA. pUSTX b 2 B. tAK KAK f;1 | OTOBRAVENIE B W A, TO DLQ b ESTX NEKOTORYJ OBRAZ a 2 A: f;1(b) = a =) f(a) = b =) WSE \LEMENTY IZ B IME@T

NEPUSTYE PROOBRAZY PRI OTOBRAVENII f MNOVESTWA A W B =) f | BIEKCIQ.

2. pUSTX f | BIEKCIQ. nEOBHODIMO DOKAZATX OBRATIMOSTX f, TO ESTX ^TO f;1 | OTOBRAVENIE. dOKAVITE SAMOSTOQTELXNO.

2.8.nOWYE TERMINY. pOSLEDOWATELXNOSTX. uPORQDO^ENNAQ PARA. dEKARTOWO PROIZWEDE-

NIE MNOVESTW. sOOTWETSTWIE IZ MNOVESTWA A WO MNOVESTWO B. pUSTOE SOOTWETSTWIE. pOLNOE SOOTWETSTWIE. gRAF SOOTWETSTWIQ. wER[INY I DUGI GRAFA. oBRAZY I PROOBRAZY \LEMENTOW PRI DANNOM SOOTWETSTWII. pOLNYJ OBRAZ I POLNYJ PROOBRAZ. oBLASTX OPREDELENIQ I OBLASTX ZNA^E- NIJ SOOTWETSTWIQ. oBRATNOE SOOTWETSTWIE. ~ASTI^NAQ FUNKCIQ. oBRATIMAQ ^ASTI^NAQ FUNKCIQ. fUNKCIQ (= OTOBRAVENIE). iN_EKTIWNYE, S@R_EKTIWNYE I BIEKTIWNYE FUNKCII (OTOBRAVENIQ). oBRATIMYE FUNKCII.

2.9.kONTROLXNYE WOPROSY.

1.pUSTX A I B | KONE^NYE, SOOTWETSTWENNO m I n-\LEMENTNYE MNOVESTWA. uKAVITE KOLI- ^ESTWO \LEMENTOW WO MNOVESTWE A B. sKOLXKO SU]ESTWUET SOOTWETSTWIJ IZ A W B? iZ B W A?

2.mOVNO LI UTWERVDATX, ^TO A B = B A?

3.eSLI IZWESTNO, ^TO A B = B A, TO ^TO MOVNO SKAZATX O MNOVESTWAH A I B?

4.dLQ KAVDOGO IZ SOOTWETSTWIJ %1{%6 IZ P. I.2.2. NAJTI POLNYJ OBRAZ KAVDOGO \LEMENTA IZ A POLNYJ PROOBRAZ KAVDOGO \LEMENTA IZ B OBLASTX OPREDELENIQ I OBLASTX ZNA^ENIJ.

5.kAKIE IZ SOOTWETSTWIJ %1{%6 QWLQ@TSQ FUNKCIQMI (^ASTI^NYMI FUNKCIQMI)? iN_EKTIWNY- MI FUNKCIQMI (^ASTI^NYMI FUNKCIQMI)? S@R_EKTIWNYMI FUNKCIQMI (^ASTI^NYMI FUNK- CIQMI)? oBRATIMYMI FUNKCIQMI (^ASTI^NYMI FUNKCIQMI)?

6.pUSTX A I B PROIZWOLXNYE KONE^NYE, SOOTWETSTWENNO m I n-\LEMENTNYE MNOVESTWA. kA- KOWO DOLVNO BYTX SOOTNO[ENIQ MEVDU ^ISLAMI m I n, ^TOBY SU]ESTWOWALO S@R_EKTIWNOE OTOBRAVENIE A NA B (B NA A).

7.dLQ KAVDOGO IZ SOOTWETSTWIJ %1{%6 UKAVITE OBRATNOE SOOTWETSTWIE I EGO GRAF.

8.kAKIE IZ SOOTWETSTWIJ %1{%6 QWLQ@TSQ OTOBRAVENIQMI MNOVESTWA A W B? oTOBRAVENIQMI MNOVESTWA A NA B? bIEKCIQMI A NA B?

9.~TO WY MOVETE SKAZATX PO POWODU UTWERVDENIQ: \wSQKAQ ^ASTI^NAQ FUNKCIQ IZ MNOVEST- WA A WO MNOVESTWO B QWLQETSQ OTOBRAVENIEM SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ NA SWO@ OBLASTX ZNA^ENIJ"?

10.oTWETITX NA WOPROSY ZADANIJ 4{7 DLQ PUSTOGO I POLNOGO SOOTWETSTWIJ IZ A W B.

20