Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

# Кулабухов С.Ю. Дискретная математика

.pdf
Скачиваний:
34
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
1.12 Mб
Скачать

x 2. pOLNYE KLASSY BULEWYH FUNKCIJ

TO UTWERVDENIE TEOREMY SPRAWEDLIWO DLQ n = 1.

pUSTX TEOREMA WERNA DLQ WSEH FUNKCIJ OT k ARGUMENTOW. dOKAVEM EE DLQ FUNKCIJ OT k + 1 ARGUMENTOW. pUSTX f(x1 : : : xk+1) | PROIZWOLXNAQ BULEWA FUNKCIQ OT k + 1 ARGUMENTA. tOGDA, PO PREDYDU]EJ LEMME 2.1.1,

f(x1 : : : xk+1) = ;f(x1 : : : xk 1) xk+1 _ ;f(x1 : : : xk 0) x0k+1

lEGKO PONQTX, ^TO FIKSIROWANIE W BULEWOJ FUNKCII ODNOGO ARGUMENTA PRIWODIT K BULEWOJ FUNK- CII S ^ISLOM ARGUMENTOW NA EDINICU MENX[IM ^ISLA ARGUMENTOW ISHODNOJ FUNKCII. pO\TOMU

KAVDAQ IZ BULEWYH FUNKCIJ f(x1 : : : xk 1) I f(x1 : : : xk 0) QWLQETSQ BULEWOJ FUNKCIEJ OT k AR- GUMENTOW. nO, PO PREDPOLOVENI@ INDUKCII, KAVDAQ TAKAQ FUNKCIQ WYRAVAETSQ ^EREZ OTRICANIE,

KON_@NKCI@ I DIZ_@NKCI@. pRINIMAQ \TO WO WNIMANIE WIDIM, ^TO PRAWAQ ^ASTX POSLEDNEGO RA- WENSTWA RAWNOSILXNA BULEWOJ FUNKCII PREDSTAWLQ@]EJ SUPERPOZICI@ OTRICANIQ, KON_@NKCII I DIZ_@NKCII.

oTMETIM, ^TO DOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY PRAKTI^ESKI PREDOSTAWLQET ALGORITM DLQ NA- HOVDENIQ FORMULY NAD BAZISOM f0 _g REALIZU@]EJ DANNU@ BULEWU FUNKCI@. dLQ POQSNENIQ PRIWEDEM SLEDU@]IJ

pRIMER 1. zAPI[EM FORMULU, WYRAVA@]U@ BULEWU FUNKCI@ f(x y) = x + y ^EREZ OTRICANIE, KON_@NKCI@ I DIZ_@NKCI@.

wOSPOLXZUEMSQ FORMULOJ (1)

 f(x y) ;f(x 1) y _ ;f(x 0) y0 : (3) nO, PO TOJ VE FORMULE f(x 1) f(1 1) x f(0 1) x0 ; _ ; f(x 0) ;f(1 0) x _ ;f(0 0) x0 :

tAK KAK f(1 1) = f(0 0) = 0, f(1 0) = f(0 1) = 1, TO

f(x 1) ;0 x _ ;1 x0 x0 f(x 0) ;1 x _ ;0 x0 x:

pODSTAWLQQ W (3), POLU^IM

f(x y) = x + y (x0 y) _ (x y0):

2.2.nORMALXNYE FORMY BULEWYH FUNKCIJ. nA OSNOWE TEOREMY 2.1.1, WSQKAQ BULEWA

FUNKCIQ MOVET BYTX PREDSTAWLENA NEKOTOROJ FORMULOJ ALGEBRY WYSKAZYWANIJ. lEGKO PONQTX, ^TO I WSQKAQ FORMULA ALGEBRY WYSKAZYWANIJ, PREDSTAWLQET NEKOTORU@ BULEWU FUNKCI@. w ^AST- NOSTI, ODNOJ IZ TAKIH PREDSTAWLQ@]IH FORMUL BUDET SOWER[ENNAQ DIZ_@NKTIWNAQ NORMALX- NAQ FORMA (ESLI DANNAQ BULEWA FUNKCIQ NE QWLQETSQ TOVDESTWENNYM NULEM) ILI SOWER[ENNAQ KON_@NKTIWNAQ NORMALXNAQ FORMA (ESLI BULEWA FUNKCIQ NE TOVDESTWENNAQ EDINICA). oTYSKAW SOWER[ENNYE NORMALXNYE FORMY DLQ FORMULY ALGEBRY WYSKAZYWANIJ, PREDSTAWLQ@]EJ DAN- NU@ BULEWU FUNKCI@, MOVNO PEREJTI OT \TOJ FORMULY K FORMULXNOMU WYRAVENI@ DLQ DANNOJ BULEWOJ FUNKCII. eGO BUDEM NAZYWATX SOWER[ENNOJ DIZ_@NKTIWNOJ (ILI KON_@NKTIWNOJ) NOR-

MALXNOJ FORMOJ DANNOJ BULEWOJ FUNKCII. kAVDAQ IZ NIH DLQ DANNOJ BULEWOJ FUNKCII, ELI ONA SU]ESTWUET, EDINSTWENNA S TO^NOSTX@ DO PERESTANOWOK.

nAHOVDENIE SOWER[ENNYH FORM DLQ BULEWYH FUNKCIJ, ZADANNYH TABLICEJ ZNA^ENIJ, PROWO- DITSQ ANALOGI^NO TOMU, KAK \TO DELAETSQ W ALGEBRE WYSKAZYWANIJ. eSLI FUNKCIQ ZADANA W WIDE FORMULY, TO NEOBHODIMO SNA^ALA NAJTI FORMULU, WYRAVA@]U@ DANNU@ FUNKCI@ ^EREZ OTRICA- NIE, KON_@NKCI@ I DIZ_@NKCI@.

2.3.zAMKNUTYE I SOBSTWENNYE KLASSY BULEWYH FUNKCIJ. wY[E BYLO POKAZANO,

^TO L@BAQ BULEWA FUNKCIQ WYRAVAETSQ ^EREZ FUNKCII BAZISA f0 _g. |TO OZNA^AET, ^TO MOVNO POSTROITX L@BOJ DWOI^NYJ PROCESSOR, IMEQ W RASPORQVENII \LEMENTY, REALIZU@]IE OTRICANIE,

81

gLAWA IV. bULEWY FUNKCII

KON_@NKCI@ I DIZ_@NKCI@. |TOT I SLEDU@]IJ PUNKTY POSWQ]ENY NAHOVDENI@ KRITERIEW, KO- TORYM DOLVEN UDOWLETWORQTX BAZIS BULEWYH FUNKCIJ, ^TOBY ^EREZ FUNKCII \TOGO BAZISA MOVNO BYLO WYRAZITX L@BU@ BULEWU FUNKCI@.

wWEDEM WNA^ALE NESKOLXKO OPREDELENIJ, OBOZNA^AQ ^EREZ B MNOVESTWO WSEH BULEWYH FUNKCIJ OT PROIZWOLXNOGO ^ISLA ARGUMENTOW.

oPREDELENIE 1. pUSTX = ff1 : : : fmg, fi 2 B, zAMYKANIEM [ ] KLASSA NAZYWAETSQ MNO- VESTWO WSEH BULEWYH, REALIZUEMYH FORMULAMI NAD , TO ESTX

[ ] = ff 2 B j f = func F [ ]g:

sWOJSTWA ZAMYKANIJ, FORMULIRUEMYE W SLEDU@]EJ TEOREME O^EWIDNYM OBRAZOM SLEDU@T IZ OPREDELENIQ.

tEOREMA 1. dLQ L@BYH (NE OBQZATELXNO KONE^NYH) KLASSOW BULEWYH FUNKCIJ , 1 I 2 WY- POLNQ@TSQ SWOJSTWA:

1. [ ],

2. [[ ]] = [ ],

3. 1 2 =) [ 1] [ 2], 4. ;[ 1] [ [ 2] [ 1 [ 2].

oPREDELENIE 2. kLASS BULEWYH FUNKCIJ NAZYWAETSQ ZAMKNUTYM, ESLI = [ ].

oPREDELENIE 3. kLASS BULEWYH FUNKCIJ NAZYWAETSQ SOBSTWENNYM, ESLI ON NE PUST I NE SOWPADAET S KLASSOM WSEH BULEWYH FUNKCIJ, TO ESTX =6 ? I =6 B.

w KA^ESTWE PRIMERA RASSMOTRIM SLEDU@]IE KLASSY BULEWYH FUNKCIJ, KOTORYE NEOBHODIMY DLQ DALXNEJ[EGO IZLOVENIQ.

T0 = ff 2 B j f(0 : : : 0) = 0g | KLASS FUNKCIJ, SOHRANQ@]IH NULX.

T1 = ff 2 B j f(1 : : : 1) = 1g | KLASS FUNKCIJ, SOHRANQ@]IH EDINICU.

T = ff 2 B j f f g | KLASS SAMODWOJSTWENNYH FUNKCIJ.

T = ff 2 B j ! f( ) f( )g | KLASS MONOTONNYH FUNKCIJ, GDE = (a1 : : : an),= (b1 : : : bn) I ai bi 2 f0 1g. pRI \TOM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ai bi, i 2 f1 : : : ng.

TL = ff 2 B j f(x1 : : : xn) a0 + a1x1 + a2x2 + : : : + anxng | KLASS LINEJNYH FUNKCIJ, GDE

ai 2 f0 1g I W ZAPISI aixi OPU]EN ZNAK KON_@NKCII. pRO FUNKCI@ f(x1 : : : xn) W \TOM SLU^AE GOWORQT, ^TO ONA PREDSTAWIMA W WIDE LINEJNOGO POLINOMA vEGALKINA.

tEOREMA 2. kLASSY T0, T1, T , T , TL QWLQ@TSQ SOBSTWENNYMI ZAMKNUTYMI KLASSAMI BULEWYH FUNKCIJ.

dOKAZATELXSTWO. dLQ TOGO, ^TOBY UBEDITXSQ W TOM, ^TO \TI KLASSY SOBSTWENNYE, PRIWEDEM SLEDU@]U@ TABLICU, W KOTOROJ ZNAKOM + (;) OBOZNA^AETSQ PRINADLEVNOSTX (NE PRINADLEVNOSTX) FUNKCII SOOTWETSTWU@]EMU KLASSU. oBOSNOWATX \TU TABLICU PREDLAGAETSQ SAMOSTOQTELXNO.

 T0 T1 T T TL 0 + ; ; + + 1 ; + ; + + x0 ; ; + ; + x1 x2 + + ; + ; x + + + + +

iZ TABLICY WIDNO, ^TO WSE \TI KLASSY NEPUSTY I NE SOWPADA@T S B, PRI^EM f(x) = x PRINADLE- VIT WSEM \TIM KLASSAM, TO ESTX ONI QWLQ@TSQ SOBSTWENNYMI.

82

 x 2. pOLNYE KLASSY BULEWYH FUNKCIJ 1. pUSTX f f1 : : : fn 2 T0 I F (x1 : : : xn) = f(f1(x1 : : : xn) : : : fn(x1 : : : xn)). tOGDA F (0 : : : 0) = f(f1(0 : : : 0) : : : fn(0 : : : 0)) = f(0 : : : 0) = 0: sLEDOWATELXNO, func F 2 T0, TO ESTX T0 ZAMKNUT. 2. pUSTX f f1 : : : fn 2 T1 I F (x1 : : : xn) = f(f1(x1 : : : xn) : : : fn(x1 : : : xn)). tOGDA F (1 : : : 1) = f(f1(1 : : : 1) : : : fn(1 : : : 1)) = f(1 : : : 1) = 1: sLEDOWATELXNO, func F 2 T1, TO ESTX T1 ZAMKNUT. 3. pUSTX f f1 : : : fn 2 T I F (x1 : : : xn) = f(f1(x1 : : : xn) : : : fn(x1 : : : xn)). tOGDA, PO TEOREME 1.6.1, F = f (f1 (x1 : : : xn) : : : fn(x1 : : : xn)) f(f1(x1 : : : xn) : : : fn(x1 : : : xn)) = = F (x1 : : : xn). sLEDOWATELXNO, func F 2 T , TO ESTX T ZAMKNUT. 4. pUSTX f f1 : : : fn T I F (x1 : : : xn) = f(f1(x1 : : : xn) : : : fn(x1 : : : xn)). tOGDA, DLQ 2 f0 1gn, IZ 2SLEDUET (f1( ) : : : fn( )) (f1( ) : : : fn( )), A OTS@DA SLEDUET, ^TO f(f1 ( ) : : : fn( )) f(f1( ) : : : fn( )), TO ESTX F ( ) F ( ). |TO OZNA^AET, ^TO func F 2 T , TO ESTX T ZAMKNUT. 5. pUSTX f f1 : : : fn 2 TL I F(x1 : : : xn) = f(f1(x1 : : : xn) : : : fn(x1 : : : xn)). tOGDA

f a0 + a1x1 + : : : + anxn

f1 a10 + a11x1 + : : : + a1nxn

: : :

fn an0 + an1x1 + : : : + annxn pODSTAWLQQ \TI WYRAVENIQ W ZAPISX FORMULY F POLU^IM

F (x1 : : : xn) a0 + a1(a10 + a11x1 + : : :a1nxn) + : : : + an(an0 + an1x1 + : : : annxn)d0 + d1x1 + : : : + dnxn:

sLEDOWATELXNO, func F 2 TL, TO ESTX TL ZAMKNUT.

2.4.pOLNYE KLASSY BULEWYH FUNKCIJ.

oPREDELENIE 1. kLASS BULEWYH FUNKCIJ NAZYWAETSQ POLNYM, ESLI EGO ZAMYKANIE SOWPADAET S KLASSOM WSEH BULEWYH FUNKCIJ, TO ESTX

[ ] = B:

tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWO BULEWYH FUNKCIJ OBRAZUET POLNYJ KLASS, ESLI L@BAQ BULEWA FUNKCIQ REALIZUEMA W WIDE FORMULY NAD .

tEOREMA 1. pUSTX ZADANY DWA KLASSA BULEWYH FUNKCIJ 1 I 2. tOGDA, ESLI KLASS 1 POLNYJ I WSE FUNKCII IZ 1 REALIZUEMY FORMULAMI NAD 2, TO KLASS 2 TAKVE POLNYJ.

dOKAZATELXSTWO. pUSTX h | PROIZWOLXNAQ BULEWA FUNKCIQ. tOGDA, TAK KAK KLASS 1 POL-

NYJ, TO h = func F [ 1]. pUSTX ff1 : : : fng | WSE BULEWY FUNKCII IZ KLASSA 1, KOTORYE WHO- DQT W ZAPISX FORMULY F[ 1]. tOGDA, PO USLOWI@, fi = func Gi[ 2]. zNA^IT h = func G[ 2], GDE G[ 2] = F [ 1]fGi==figni=1. tAKIM OBRAZOM, PROIZWOLXNAQ BULEWA FUNKCIQ h REALIZUEMA NAD BA-

ZISOM 2, TO ESTX 2 QWLQETSQ POLNYM.

pRIMER 1. kLASSY BULEWYH FUNKCIJ f0 g, f0 _g, fjg, f#g, f0 1 +g QWLQ@TSQ POLNYMI W SILU TOLXKO ^TO DOKAZANNOJ TEOREMY, TAK KAK W SILU RAWNOSILXNOSTEJ TEOREMY 1.4.1 KAVDAQ IZ FUNK-

CIJ KLASSA f0 _g WYRAVAETSQ ^EREZ FUNKCII \TIH KLASSOW, A POLNOTA KLASSA f0 _g DOKAZANA W P. IV.2.1.

zAMETIM, ^TO FORMULA NAD BAZISOM f0 1 +g NAZYWAETSQ POLINOMOM vEGALKINA I \TOT PRI- MER POKAZYWAET, ^TO KAVDAQ BULEWA FUNKCIQ RAWNOSILXNA NEKOTOROMU (NE OBQZATELXNO LINEJNO- MU) POLINOMU vEGALKINA.

sLEDU@]AQ TEOREMA USTANAWLIWAET NEOBHODIMYE I DOSTATO^NYE USLOWIQ POLNOTY KLASSOW BULEWYH FUNKCIJ I BYLA DOKAZANA AMERIKANSKIM MATEMATIKOM |. pOSTOM W 1921 GODU.

83

gLAWA IV. bULEWY FUNKCII

tEOREMA 2 (pOST). kLASS BULEWYH FUNKCIJ QWLQETSQ POLNYM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA W \TOM KLASSE ESTX FUNKCIQ NE PRINADLEVA]AQ KLASSU T0, ESTX FUNKCIQ NE PRINADLEVA]AQ KLASSU T1, ESTX FUNKCIQ NE PRINADLEVA]AQ KLASSU T , ESTX FUNKCIQ NE PRINADLEVA]AQ KLAS- SU T , ESTX FUNKCIQ NE PRINADLEVA]AQ KLASSU TL, TO ESTX

[ ] = B () :( T0 _ T1 _ T _ T _ TL):

 dOKAZATELXSTWO. nEOBHODIMOSTX. pUSTX [ ] = B I T0 _ T1 _ T _ T _ TL. tOGDA SU]ESTWUET TAKOE i 2 f0 1 Lg, ^TO Ti. oTS@DA, PO TEOREME 2.3.1, [ ] = B [Ti]. nO TAK KAK KLASS Ti ZAMKNUTYJ PO TEOREME 2.3.2, TO B = Ti, ^TO PROTIWORE^IT TOMU, ^TO Ti QWLQETSQ SOBSTWENNYM KLASSOM. dOSTATO^NOSTX. pUSTX :( T0 _ T1 _ T _ T _ TL). tOGDA SU]ESTWUET 0 0 PRI^EM \TI , = f f0 f1 f f fL g , GDE f0 = T0, f1 = T1 , f = T , f = T , fL = TL, 2 2 0 2 2 2 FUNKCII NE OBQZATELXNO RAZLI^NY I NE OBQZATELXNO = . pOKAVEM, ^TO BULEWY FUNKCII 0 I REALIZUEMY W WIDE FORMUL NAD 0. pOSTROENIE BUDET 0 , REALIZU@]IE KONSTANTY 0 I 1, PROWODITXSQ W TRI \TAPA: NA PERWOM STROQTSQ FORMULY NAD KOTORYE NUVNY NA TRETXEM \TAPE NA WTOROM \TAPE STROITSQ FORMULA, REALIZU@]AQ OTRICANIE NA TRETXEM \TAPE STROITSQ FORMULA, REALIZU@]AQ KON_@NKCI@. 1. pOSTROIM FORMULU NAD 0, REALIZU@]U@ 1. pUSTX '(x) = f0(x : : : x). tOGDA '(0) = f0 (0 : : : 0) = 0 = '(0) = 1: 6 ) wOZMOVNY DWA SLU^AQ '(1) = 1 I '(1) = 0. A) '(1) = 1. w \TOM SLU^AE FORMULA ' REALIZUET 1. B) '(1) = 0. w \TOM SLU^AE FORMULA ' REALIZUET OTRICANIE. tOGDA RASSMOTRIM FUNKCI@ f . tAK KAK f = T , TO SU]ESTWU@T a1 : : : an 0 1 g TAKIE, ^TO f (a1 : : : an) = f0 (a10 : : : an0 ). 2 0 0 2 f 6 sLEDOWATELXNO, f (a1 : : : an) = f (a1 : : : an). oBOZNA^IM DLQ x 2 f0 1g x ESLI = 0, x = x0 ESLI = 1. tOGDA 0 = I 1 = 0. pUSTX TEPERX (x) = f (xa1 : : : xan ). tOGDA (0) = f (0a1 : : : 0an ) = f (a : : : an) = f (a0 : : : a0 ) = f (1a1 : : : 1an) = (1): 1 1 n tAKIM OBRAZOM, (0) = (1), TO ESTX (x) 1 ILI (x) 0. eSLI (x) 1, TO ISKOMAQ KONSTAN- TA 1 POSTROENA. eSLI VE REALIZUET 0, TO FUNKCIQ '( (x)) REALIZUET EDINICU. pOSTROENIE KONSTANTY 0 PROWODITSQ ANALOGI^NO, TOLXKO WMESTO f0 NUVNO ISPOLXZOWATX f1. 2. pOSTROIM FORMULU, REALIZU@]U@ OTRICANIE. rASSMOTRIM FUNKCI@ f . tAK KAK f = T , TO SU]ESTWU@T = (a1 : : : an) I = (b1 : : : bn), ai bi 2 f0 1g TAKIE, ^TO I f ( ) > f2( ). 6 J = j 1 : : : n aj = 0 iZ TOGO, ^TO f ( ) = f ( ) SLEDUET, ^TO = . zNA^IT MNOVESTWO 2 f g j bj = 1 6 6 NEPUSTO. tO ESTX J | MNOVESTWO INDEKSOW j NA KOTORYH aj = bj, A NA OSTALXNYH INDEKSAH k 2 f1 : : : ng n J, ak = bk. 2 pUSTX '(x) = f (c1 : : : cn), GDE cj = x ESLI j 2 J, aj = bj ESLI j = J. tOGDA '(0) = f (c1 : : : cn)f0==xg = f ( ) > f ( ) = f (c1 : : : cn)f1==xg = '(1) TO ESTX '(0) > '(1). |TO OZNA^AET, ^TO '(0) = 1, A '(1) = 0, TO ESTX '(x) x0. 3. pOSTOIM FUNKCI@, REALIZU@]U@ KON_@NKCI@. rASSMOTRIM FUNKCI@ fL. |TA FUNKCIQ REA- LIZUEMA NAD POLNYM KLASSOM f 0 1 + g W WIDE POLINOMA vEGALKINA, NO fL = TL, SLEDOWATELXNO, 2 SODERVA]EE \TOT POLINOM NE QWLQETSQ LINEJNYM. zNA^IT fL SODERVIT NELINEJNOE SLAGAEMOE,

KON_@NKCI@ PO KRAJNEJ MERE DWUH PEREMENNYH. pUSTX, DLQ OPREDELENNOSTI, \TO x1 I x2. tOGDA fL(x1 x2 : : : xn) = x1 x2 fa(x3 : : : xn) + x1 fb(x3 : : : xn) + x2 fc(x3 : : : xn) + fd(x3 : : : xn)

PRI^EM fa(x3 : : : xn) 6 0, TO ESTX SU]ESTWU@T TAKIE a3 : : : an 2 f0 1g, ^TO fa(a3 : : : an) = 1. oBOZNA^IM fb(a3 : : : an) = b, fc(a3 : : : an) = c, fd(a3 : : : an) = d, TO ESTX b c d 2 f0 1g.

84

x 2. pOLNYE KLASSY BULEWYH FUNKCIJ

pUSTX

'(x1 x2) = fL(x1 x2 a3 : : : an) = x1 x2 + b x1 + c x2 + d (x1 x2) = '(x1 + c x2 + b) + b c + d:

tOGDA

(x1 x2) = (x1 + c) (x2 + b) + b (x1 + c) + c (x2 + b) + d + b c + d

x1 x2 + c x2 + b x1 + b c + b x1 + b c + c x2 + b c + d + b c + d x1 x2:

zAMETIM, ^TO FUNKCII WIDA x + a REALIZUEMY, TAK KAK x + 1 x0, x + 0 x, A KONSTANTY 0, 1 I OTRICANIE UVE POSTROENY.

iTAK, DOKAZANO, ^TO KAVDAQ FUNKCIQ POLNOGO (SM. PRIMER 2.4.1) KLASSA f0 g WYRAVAETSQ ^EREZ FUNKCII KLASSA 0. zNA^IT, PO TEOREME 2.4.1, KLASS BULEWYH FUNKCIJ 0, A, SLEDOWATELXNO, I EGO NADKLASS QWLQ@TSQ POLNYMI.

2.5.nOWYE TERMINY. sOWER[ENNYE NORMALXNYE FORMY BULEWYH FUNKCIJ. zAMKNUTYE,

SOBSTWENNYE I POLNYE KLASSY BULEWYH FUNKCIJ.

2.6.kONTROLXNYE WOPROSY.

1.qWLQETSQ LI KLASS WSEH BULEWYH FUNKCIJ ZAMKNUTYM, POLNYM, SOBSTWENNYM?

2.mOVET LI POLNYJ KLASS BULEWYH FUNKCIJ BYTX NEZAMKNUTYM?

3.qWLQETSQ LI PROIZWOLXNYJ NADKLASS POLNOGO KLASSA BULEWYH FUNKCIJ POLNYM?

2.7.uPRAVNENIQ.

1. zAPI[ITE I DOKAVITE FORMULY RAZLOVENIQ BULEWOJ FUNKCII f(x1 : : : xn) PO PEREMEN- NOJ x1.

2.pOSTROJTE sdnf I sknf DLQ BULEWYH FUNKCIJ x j y, x # y, x ! y, x + y.

3.dOKAVITE TEOREMU 2.3.1.

4.pROWERXTE PRINADLEVNOSTX KLASSAM T0, T1, T , T , TL FUNKCIJ j, #, _, !, +.

5.dOKAVITE, ^TO ESLI f 2= T0, TO TOGDA f 2 T ILI f 2= (T1 [ T ).

6.nAJDITE WSE SAMODWOJSTWENNYE BULEWY FUNKCII OT DWUH PEREMENNYH.

7.sREDI BULEWYH FUNKCIJ OT ODNOGO I DWUH PEREMENNYH NAJDITE WSE FUNKCII, SOHRANQ@]IE 0 I WSE FUNKCII, SOHRANQ@]IE 1.

8.dOKAVITE, ^TO SREDI BULEWYH FUNKCIJ OT n PEREMENNYH ^ISLO FUNKCIJ, SOHRANQ@]IH 0, RAWNO ^ISLU FUNKCIJ, SOHRANQ@]IH 1.

9.w DOKAZATELXSTWE TEOREMY pOSTA 2.4.2, POSTROJTE FORMULU, REALIZU@]U@ KONSTANTU 0.

10.qWLQ@TSQ LI POLNYMI SLEDU@]IE KLASSY BULEWYH FUNKCIJ:

(a)f0 _g

(b)f0 _ !g

(c)f g

(d)f+ 1g

(e)f0g

(f)fh3g, GDE h3(x y z) = (x _ y _ z)0

(g)fhng, GDE hn(x1 x2 : : : xn) = (x1 _ x2 _ : : : _ xn)0

11.dOKAVITE, ^TO IZ WSQKOGO POLNOGO KLASSA BULEWYH FUNKCIJ MOVNO WYDELITX KONE^NYJ POLNYJ PODKLASS.

85

PRAWILU fi.

gLAWA V

iS^ISLENIE WYSKAZYWANIJ

x 1. qZYK I AKSIOMY IS^ISLENIQ WYSKAZYWANIJ. tEOREMA DEDUKCII

fORMALXNYE I SODERVATELXNYE AKSIOMATI^ESKIE TEORII. pRINCIP POSTROENIQ FORMALXNYH AKSIOMATI^ESKIH TEORIJ. wYWODIMYE FORMULY (TEOREMY). wYWODIMOSTX IZ MNOVESTWA FOR- MUL. qZYK IS^ISLENIQ WYSKAZYWANIJ (iw). aKSIOMY I PRAWILA WYWODA iw. pRIMER WYWO- DIMOSTI W iw. tEOREMA DEDUKCII. sLEDSTWIQ IZ TEOREMY DEDUKCII.

1.1.fORMALXNYE I SODERVATELXNYE AKSIOMATI^ESKIE TEORII. wSQKAQ AKSIOMATI-

^ESKAQ TEORIQ STROITSQ PO SLEDU@]EMU PRINCIPU. wNA^ALE OPREDELQ@TSQ KAKIE-TO PERWONA^ALX- NYE NEOPREDELQEMYE PONQTIQ, WWODITSQ SISTEMA OBOZNA^ENIJ I T. D. iNYMI SLOWAMI STROITSQ QZYK TEORII. zATEM NA \TOM QZYKE WWODITSQ SPISOK PERWI^NYH SOOTNO[ENIJ MEVDU PERWI^NYMI PONQTIQMI: \TI PERWI^NYE SOOTNO[ENIQ NAZYWA@TSQ AKSIOMAMI DANNOJ TEORII. i ZATEM OSU]EST- WLQETSQ RAZWITIE \TOJ TEORII. tO ESTX NA OSNOWANII AKSIOM DOKAZYWA@TSQ NOWYE SOOTNO[ENIQ MEVDU PERWI^NYMI PONQTIQMI. pUTEM OPREDELENIJ ^EREZ PERWI^NYE PONQTIQ I OPREDELENNYE RA- NEE WWODQTSQ NOWYE PONQTIQ. dOKAZYWA@TSQ SOOTNO[ENIQ MEVDU WNOWX WWEDENNYMI PONQTIQMI, WNOWX WWEDENNYMI I PERWI^NYMI I T. D. dOKAZYWAEMYE SOOTNO[ENIQ NAZYWA@TSQ TEOREMAMI (LEM- MAMI, SLEDSTWIQMI, PREDLOVENIQMI). wOZNIKAET WOPROS O TOM, KAKIMI SREDSTWAMI OSU]ESTWLQ- ETSQ WYWOD ODNIH TEOREM IZ DRUGIH, TO ESTX WOPROS PRAWILAH WYWODA. sOWOKUPNOSTX \TIH PRAWIL NAZOWEM LOGI^ESKIMI SREDSTWAMI TEORII. s \TOJ TO^KI ZRENIQ WSE AKSIOMATI^ESKIE TEORII MOV- NO RAZDELITX NA DWA KLASSA: SODERVATELXNYE I FORMALXNYE. sODERVATELXNYE AKSIOMATI^ESKIE TEORII | \TO TEORII, PRAWILA WYWODA W KOTORYH S^ITA@TSQ INTUITIWNO IZWESTNYMI I WOPROS O IH FORMALIZACII NE STAWITSQ. k TAKIM TEORIQM OTNOSQTSQ, NAPRIMER, GEOMETRIQ, IZU^AEMAQ W [KOLXNOM KURSE. fORMALXNYE AKSIOMATI^ESKIE TEORII | \TO TEORII, W KOTORYH LOGI^ESKIJ APPARAT POSTULIRUETSQ, TO ESTX UKAZYWAETSQ PERE^ENX PRAWIL, KOTORYMI I TOLXKO KOTORYMI MOVNO POLXZOWATXSQ PRI WYWODE ODNIH UTWERVDENIJ IZ DRUGIH. oTS@DA STANOWITSQ PONQTNYM, ^TO FORMALXNYE AKSIOMATI^ESKIE TEORII | \TO TEORII BOLEE WYSOKOGO UROWNQ STROGOSTI. oDNA I TA VE TEORIQ, PO SU]ESTWU, MOVET STROITXSQ KAK SODERVATELXNAQ I KAK FORMALXNAQ TEORIQ. w GLAWE III IZU^ALASX ALGEBRA WYSKAZYWANIJ KAK TEORIQ SODERVATELXNAQ. cELX NASTOQ]EJ GLA- WY FORMALIZOWATX \TU TEORI@. eE FORMALIZACI@ BUDEM NAZYWATX IS^ISLENIEM WYSKAZYWANIJ. pO SUTI DELA FORMALIZOWAN BUDET KLASS WSEH TAWTOLOGIJ. tO ESTX NEKOTORYE IZ TAWTOLOGIJ BU- DUT OB_QWLENY AKSIOMAMI I BUDUT PRIWEDENY PRAWILA WYWODA TAK, ^TO WYWODIMYMI IZ AKSIOM OKAVUTSQ TAWTOLOGII I TOLXKO ONI.

1.2.pRINCIP POSTROENIQ FORMALXNYH AKSIOMATI^ESKIH TEORIJ. fORMALXNAQ TE-

ORIQ T S^ITAETSQ ZADANNOJ, ESLI WYPOLNENY USLOWIQ 1{4.

1.zADAN S^ETNYJ ALFAWIT X \TOJ TEORII.

2.wO MNOVESTWE F (X) WSEH SLOW W ALFAWITE X WYDELENO PODMNOVESTWO F (X). sLOWA IZ

NAZYWA@TSQ FORMULAMI \TOJ TEORII.

3.w WYDELENO NEKOTOROE PODMNOVESTWO A . fORMULY IZ A NAZYWA@TSQ AKSIOMAMI TEORII T. pARA hF (X) i NAZYWAETSQ QZYKOM TEORII T.

4.iMEETSQ KONE^NOE MNOVESTWO f1 : : : fn ^ASTI^NYH FUNKCIJ IZ MNOVESTWA FORMUL W . |TI ^ASTI^NYE FUNKCII NAZYWA@TSQ PRAWILAMI WYWODA TEORII T. pRI \TOM, ESLI | m-fi

MESTNAQ ^ASTI^NAQ FUNKCIQ I fi(a1 : : : am) = a, TO GOWORQT, ^TO a WYWODIMA IZ a1 : : : am PO

86

x 1. qZYK I AKSIOMY IS^ISLENIQ WYSKAZYWANIJ. tEOREMA DEDUKCII

oPREDELENIE 1. wYWODOM TEORII T NAZYWAETSQ WSQKAQ KONE^NAQ POSLEDOWATELXNOSTX FOR- MUL \TOJ TEORII, KAVDAQ IZ KOTORYH QWLQETSQ LIBO AKSIOMOJ, LIBO POLU^ENA IZ PREDYDU]IH FORMUL PO ODNOMU IZ PRAWIL WYWODA.

fORMULA a NAZYWAETSQ WYWODIMOJ FORMULOJ (TEOREMOJ) TEORII T, ESLI SU]ESTWUET WY- WOD, OKAN^IWA@]IJSQ \TOJ FORMULOJ. wYWOD \TOT NAZYWAETSQ WYWODOM (DOKAZATELXSTWOM) FORMULY (TEOREMY) a. dLQ WYWODIMOJ FORMULY a PRINQTO OBOZNA^ENIE ` a.

1.3.wYWODIMOSTX IZ MNOVESTWA FORMUL.

oPREDELENIE 1. kONE^NAQ POSLEDOWATELXNOSTX FORMUL NAZYWAETSQ WYWODOM IZ MNOVESTWA FORMUL ;, ESLI KAVDAQ FORMULA \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI QWLQETSQ LIBO AKSIOMOJ, LIBO PRI- NADLEVIT ;, LIBO POLU^ENA IZ PREDYDU]IH FORMUL PRIMENENIEM ODNOGO IZ PRAWIL WYWODA.

fORMULA a NAZYWAETSQ WYWODIMOJ IZ MNOVESTWA FORMUL ;, ESLI SU]ESTWUET WYWOD IZ ;, OKAN^IWA@]IJSQ FORMULOJ a. oBOZNA^AETSQ ; ` a. fORMULY IZ ; NAZYWA@TSQ GIPOTEZAMI.

pONQTNO, ^TO ESLI ; = ?, TO W DEJSTWITELXNOSTI a | WYWODIMAQ FORMULA. pRI \TOM WMESTO ZAPISI ? ` a PI[UT ` a.

oTMETIM, ^TO MEVDU PONQTIQMI WYWODIMOSTI I WYWODIMOSTI IZ GIPOTEZ SU]ESTWUET TESNAQ SWQZX, KOTORAQ WYRAVAETSQ TEOREMOJ DEDUKCII. oNA BUDET W DALXNEJ[EM DOKAZANA.

tEOREMA 1. pONQTIE WYWODIMOSTI IZ GIPOTEZ OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI 1{3.

1. ; I ` a, TO ; ` a.

2. ; ` a TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA W ; SU]ESTWUET KONE^NOE PODMNOVESTWO , DLQ KOTOROGO ` a.

3. eSLI ; ` b DLQ L@BOJ FORMULY b IZ I ` a, TO ; ` a.

dOKAZATELXSTWO. 1. o^EWIDNO.

2. eSLI W ; SU]ESTWUET PODMNOVESTWO (NE OBQZATELXNO KONE^NOE) , DLQ KOTOROGO ` a, TO

PO SWOJSTWU 1, ; ` a.

pUSTX TEPERX ; ` a. tOGDA SU]ESTWUET WYWOD IZ ;, OKAN^IWA@]IJSQ a: a1 : : : an a.

oBOZNA^IM ^EREZ MNOVESTWO FORMUL IZ \TOGO WYWODA, PRINADLEVA]IH ;. pONQTNO, ^TO

` a, ; I | KONE^NOE.

3.pUSTX a1 a2 : : : an a | WYWOD a IZ I PUSTX a01 a02 : : : a0s | FORMULY \TOGO WYWODA, PRINADLEVA]IE . pO USLOWI@ ONI WYWODIMY IZ ;. zAPI[EM IH SOOTWETSTWU@]IE WYWODY IZ ;:

b11 b12 : : : b1k1 a01 b21 b22 : : : b2k2 a02

: : : : : :: : :: : : : : :: : :: : :

bs1 bs2 : : : bsks a0s:

wSTAWIW W WYWOD a IZ WMESTO FORMUL a01 a02 : : : a0s IH SOOTWETSTWU@]IE WYWODY IZ ;, POLU^IM WYWOD FORMULY a IZ ;.

1.4.qZYK iw. aLFAWIT iw SOSTOIT IZ SLEDU@]IH SIMWOLOW.

1.fA1 A2 : : :g | S^ETNOE MNOVESTWO BUKW.

2.:, ! | SWQZKI (LOGI^ESKIE SIMWOLY).

3.), ( | WSPOMOGATELXNYE SIMWOLY (PRAWAQ I LEWAQ SKOBKI).

oPREDELENIE 1 (FORMULY). 1. wSE BUKWY ALFAWITA iw QWLQ@TSQ FORMULAMI.

2.eSLI a I b | FORMULY, TO :a I (a ! b) TAKVE QWLQ@TSQ FORMULAMI.

3.dRUGIH FORMUL, KROME UKAZANNYH W PUNKTAH 1{2 NET.

w DALXNEJ[EM USLOWIMSQ WNE[NIE SKOBKI W FORMULAH OPUSKATX.

87

gLAWA V. iS^ISLENIE WYSKAZYWANIJ

1.5.aKSIOMY I PRAWILA WYWODA iw. dLQ L@BYH FORMUL a, b, E SLEDU@]IE FORMULY

QWLQ@TSQ AKSIOMAMI iw. aKSIOMA 1. a ! (b ! a).

aKSIOMA 2. (a ! (b ! c)) ! ((a ! b) ! (a ! c)). aKSIOMA 3. (:b ! :a) ! ((:b ! a) ! b).

eDINSTWENNYM PRAWILOM WYWODA iw QWLQETSQ ^ASTI^NAQ FUNKCIQ f WIDA:

f(a a ! b) = f(a ! b a) = b:

bUDEM EGO ZAPISYWATX W WIDE: a a ! b ` b.

|TO PRAWILO WYWODA NAZYWA@T PRAWILOM OTDELENIQ (POSYLKI) ILI Modus ponens, SOKRA]EN-

NO MP.

w DEJSTWITELXNOSTI, AKSIOM BESKONE^NOE MNOVESTWO, A WY[E PRIWEDENY LI[X SHEMY AKSIOM. tAK NAPRIMER, QWLQETSQ AKSIOMOJ 1 FORMULA:

(a ! b) ! (c ! (a ! b)).

1.6.pRIMER WYWODIMOSTI W iw.

lEMMA 1. dLQ L@BOJ FORMULY a SPRAWEDLIWA WYWODIMOSTX:

` (a ! a)

 dOKAZATELXSTWO. pOSTROIM WYWOD, OKAN^IWA@]IJSQ FORMULOJ (a ! a). 1. (a ! ((a ! a) ! a)) ! ((a ! (a ! a)) ! (a ! a)) | aKSIOMA 2. 2. a ! ((a ! a) ! a) | aKSIOMA 1. 3. (a ! (a ! a)) ! (a ! a) | MP 2, 1. 4. a ! (a ! a) | aKSIOMA 1. 5. (a ! a) | MP 4, 3.

1.7.tEOREMA DEDUKCII. tEOREMA DEDUKCII, KAK BYLO OTME^ENO RANEE, USTANAWLIWAET

WAVNU@ SWQZX MEVDU PONQTIQMI WYWODIMOSTI I WYWODIMOSTI IZ GIPOTEZ. wO MNOGIH SLU^AQH ONA SU]ESTWENNO OBLEG^AET DOKAZATELXSTWO WYWODIMOSTI TEH ILI INYH FORMUL.

tEOREMA 1. pUSTX ; | MNOVESTWO FORMUL, a I b KAKIE-TO FORMULY iw. eSLI ;, a ` b, TO ; ` (a ! b).

dOKAZATELXSTWO. tAK KAK b WYWODIMA IZ ; I a, TO SU]ESTWUET WYWOD b IZ ; I a. pUSTX

 b1 b2 : : : bn = b | WYWOD b IZ ; I a, TO ESTX FORMULA \TOGO WYWODA LIBO IZ ;, LIBO SOWPADAET S a, LIBO POLU^ENA IZ PREDYDU]IH PRIMENENIEM PRAWILA WYWODA MP. iNDUKCIEJ PO i, 1 i n, POKAVEM, ^TO: ; ` (a ! bi). pRI i = n \TO BUDET, W ^ASTNOSTI, ZAKL@^ENIE TEOREMY. pUSTX i = 1. dOKAVEM, ^TO ; ` (a ! b1). tAK KAK b1 | PERWAQ FORMULA WYWODA, TO ONA NE MOVET BYTX POLU^ENA PRI POMO]I MP IZ PREDYDU]IH. tOGDA DLQ b1 WOZMOVNY SLEDU@]IE SLU^AI: a) b1 | AKSIOMA b) b1 2 ; c) b1 = a. rASSMOTRIM KAVDYJ IZ \TIH SLU^AEW. a) sTROIM WYWOD DLQ (a ! b1). 1. b1 | aKSIOMA. 2. b1 ! (a ! b1) | aKSIOMA 1. 3. a ! b1 | MP 1, 2. ` (a ! b1), SLEDOWATELXNO ; ` (a ! b1).

88

1. ; ` (a ! bj) | INDUKTIWNOE PREDPOLOVENIE.
2. ; ` (a ! (bj ! bi)) | INDUKTIWNOE PREDPOLOVENIE.
3. ; ` (a ! (bj ! bi)) ! ((a ! bj) ! (a ! bi)) | aKSIOMA 2. 4. ; ` (a ! bj) ! (a ! bi) | MP 2, 3.
5. ; ` (a ! bi) | MP 1, 4.
kAK OTME^ALOSX WY[E, PRI i = n POLU^AEM: ; ` (a ! b).
 x 1. qZYK I AKSIOMY IS^ISLENIQ WYSKAZYWANIJ. tEOREMA DEDUKCII b) tAKVE STROIM WYWOD DLQ (a ! b1). 1. b1 | gIPOTEZA IZ ;. 2. b1 ! (a ! b1) | aKSIOMA 1. 3. (a ! b1) | MP 1, 2.

; ` (a ! b1).

c) tAK KAK W \TOM SLU^AE b1 = a, TO PO LEMME 1.6.1 ` (a ! b1).

iTAK, DLQ i = 1 TEOREMA DOKAZANA. pUSTX TEPERX DLQ WSQKOGO k, 1 k < i, ; ` (a ! bk).

dLQ bi TEPERX IMEETSQ 4 WOZMOVNYH SLU^AQ:

a)bi | AKSIOMA

b)bi 2 ;

c)bi = a

d)bi POLU^ENA IZ PREDYDU]IH FORMUL PRI POMO]I PRAWILA mr.

sLU^AI a) | c) DOKAZYWA@TSQ TO^NO TAKVE KAK I DLQ i = 1.

d) pUSTX bi POLU^ENA IZ FORMUL c I d PRI POMO]I PRAWILA mr. |TO OZNA^AET, ^TO c ESTX NEKOTORAQ FORMULA bj, j < i, A FORMULA d OBQZANA IMETX WID bj ! bi.

1.8.sLEDSTWIQ IZ TEOREMY DEDUKCII.

sLEDSTWIE 1 (pRAWILO SILLOGIZMA). dLQ L@BYH FORMUL a, b, c SPRAWEDLIWA WYWODIMOSTX:

(a ! b) (b ! c) ` (a ! c): dOKAZATELXSTWO. w KA^ESTWE MNOVESTWA FORMUL ; WOZXMEM

; = f(a ! b) (b ! c)g,

A W KA^ESTWE FORMULY a | FORMULU a.

 1. (a ! b) | GIPOTEZA. 2. (b ! c) | GIPOTEZA. 3. a | GIPOTEZA. 4. b | MP 3, 1. 5. c | MP 4, 2.

(a ! b), (b ! c), a ` c.

pRIMENQEM TEOREMU DEDUKCII: (a ! b), (b ! c) ` (a ! c).

w DALXNEJ[EM BUDEM POLXZOWATXSQ \TIM DOPOLNITELXNYM PRAWILOM WYWODA I BUDEM EGO OBO- ZNA^ATX ps.

sLEDSTWIE 2 (pRAWILO ISKL@^ENIQ PROMEVUTO^NOJ POSYLKI pipp). dLQ L@BYH FORMUL a, b, c SPRAWEDLIWA WYWODIMOSTX: a ! (b ! c), b ` (a ! c).

dOKAZATELXSTWO.

1.2. ab ! (b ! c)

3.a

4.(b ! c)

5.c

| GIPOTEZA. | GIPOTEZA. | GIPOTEZA. | MP 3, 1. | MP 2, 4.

89

gLAWA V. iS^ISLENIE WYSKAZYWANIJ

a ! (b ! c), b, a ` c =) a ! (b ! c), b ` (a ! c).

bUDEM W DALXNEJ[EM POLXZOWATXSQ I \TIM DOPOLNITELXNYM PRAWILOM WYWODA I OBOZNA^ATX pipp.

1.9.nOWYE TERMINY. aKSIOMATI^ESKIE TEORII: FORMALXNYE I SODERVATELXNYE. lOGI-

^ESKIE SREDSTWA FORMALXNOJ TEORII. qZYK TEORII. pRAWILA WYWODA. wYWOD TEORII. wYWOD DANNOJ

FORMULY (DOKAZATELXSTWO). wYWODIMOSTX IZ GIPOTEZ. pRAWILO OTDELENIQ (modus ponens). pRA- WILO SILLOGIZMA, PRAWILO ISKL@^ENIQ PROMEVUTO^NOJ POSYLKI.

1.10.kONTROLXNYE WOPROSY.

1.~EM OTLI^A@TSQ FORMALXNYE OT SODERVATELXNYH AKSIOMATI^ESKIH TEORIJ?

2.iZLOVITE PRINCIP POSTROENIQ FORMALXNYH AKSIOMATI^ESKIH TEORIJ.

3.pO^EMU W FORMALIZACII aw ISPOLXZU@TSQ LI[X DWE SWQZKI, A NE WSE PQTX?

4.dAJTE OPREDELENIE WYWODIMOSTI I WYWODIMOSTI IZ GIPOTEZ. sRAWNITE IH.

5.~TO MOVNO SKAZATX O PERWYH DWUH FORMULAH WYWODA iw?

6.~TO MOVNO SKAZATX O PERWYH DWUH FORMULAH WYWODA IZ MNOVESTWA FORMUL ;?

7.qWLQ@TSQ LI WYWODIMYMI FORMULAMI AKSIOMY iw? eSLI DA, TO KAKOWA DLINA IH MINI- MALXNOGO WYWODA?

8.iZ KAKIH SIMWOLOW SOSTOIT ALFAWIT iw?

1.11.uPRAVNENIQ.

1.pRIWEDITE DOKAZATELXSTWO DLQ SLU^AEW a) { c) (SM. DOKAZATELXSTWO TEOREMY DEDUKCII, IN- DUKCIONNYJ [AG).

2.dOKAZATX, POSTROIW WYWOD:

(a)` (:a ! a) ! a

(b)PRAWILO SILLOGIZMA

(c)a ! (b ! c) ` b ! (a ! c)

(d)` (:b ! :a) ! (a ! b).

3.iSPOLXZUQ TEOREMU DEDUKCII, DOKAVITE, ^TO

ESLI a1 a2 : : : an ` b, TO ` a1 ! (: : : (an;1 ! (an ! b)) : : :).

4.dOKAZATX, ISPOLXZUQ TEOREMU DEDUKCII:

(a)` (a ! b) ! ((a ! :b) ! :a)

(b)` (a ! b) ! ((:a ! b) ! b)

(c)` :(a ! :b) ! a

(d)a ` :a ! b

(e)` ((a ! b) ! a) ! a.

90