- •Теория множеств.
- •Свойства подмножеств.
- •Операции над множествами.
- •Алгебра теории множеств.
- •Решение уравнений алгебры множеств.
- •Кортеж.
- •Проекция множества.
- •График и свойства графика
- •Свойства графиков.
- •Прямое (декартовое) произведение множество.
- •Соответствия.
- •Отношения.
- •Операции над отношениями.
- •Основные свойства отношений.
- •Решетки. Диаграммы Хассе.
- •Математическая логика Высказывания и операции над высказываниями.
- •Операции над высказываниями.
- •Формулы математической логики.
- •Формулы равносильности.
- •Различные формы представления высказываний
- •Выполнимость формулы алгебры логики
- •Применение математической логики.
- •Минимизация сложных высказываний.
- •Метод Квайна.
- •Метод минимизирующих карт.
- •Метод минимизации с помощью карт Вейча.
- •Булевые функции и их свойства.
- •Функциональная полнота. Теорема Поста.
- •Логика предикат.
- •Логические операции над предикатами.
- •Квантовые операции.
- •Равносильные формулы логики предикатов.
- •Предваренная нормальная форма предиката
- •Теория графов
- •Основные понятия теории графов
- •Эйлеров граф.
- •Множество внутренней устойчивости графа
- •Алгоритм Магу для определения множества внутренней устойчивости графа
- •Множество внешней устойчивости графа
- •Алгоритм Магу для определения множества внешней устойчивости.
- •Множество путей в графе
- •Алгоритм фронта волны. Поиск минимального пути в графе.
- •Алгоритм фронта волны.
- •Ярусно-параллельная форма графов
- •Деревья и леса
- •Алгоритм получения дерева из графа
- •Теория алгоритмов
- •Рекурсивная функция
- •Пусть даны функции:
- •Машина Тьюринга
- •Работа машины Тьюринга:
- •Нормальные алгоритмы Маркова
- •Теория автоматов
- •Законы функционирования автоматов.
- •Задание автоматов
- •Минимизация автоматов
- •Алгоритм минимизации автомата Мили
- •Особенности минимизации автомата Мура. :
- •Минимизация частичных автоматов.
- •Переход от автомата Мили к автомату Мура
- •Переход от автомата Мура к автомату Мили
Формулы математической логики.
Формулой математической логики называется сложное высказывание, которое получено из элементарных высказываний с использованием логических операций.
Две формулы равносильны, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в формулу элементарных высказываний. Равносильность формул обозначается A B.
Формулы равносильности.
Коммутативность
АVВ ВVА А&В В&А
Ассоциативность
АV(ВVС) (АVВ)VС А&(В&С) (А&В) &С
Дистрибутивность
АV(В&С) (АVВ)&(АVС) А&(ВVС) (А&В)V(А&С)
Идемпотентность
АVА А А&А А
Поглощение
АV(А&В) А А&(АVВ) А
Закон де Моргана
& V
Закон исключающий третьего
АV1 1 А&1 A
Закон противоречия
AV A A&
Закон двойного отрицания
A
1 , 0
AB VB
AB (AB)&(BA)
AB A&V&B
A | B V
AB &
ПРИМЕР
Доказать:
Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики
Пусть - произвольная функция алгебры логикипеременных.
Рассмотрим формулу
(2.1)
которая составлена следующим образом: каждое слагаемое этой логической суммы представляет собой конъюнкцию, в которой первый член является значением функции при некоторых определенных значениях переменных, остальные же члены конъюнкции представляют собой переменные или их отрицания. При этом под знаком отрицания находятся те и только те переменные, которые в первом члене конъюнкции имеют значение 0..
Вместе с тем формула (2.1) содержит в виде логических слагаемых всевозможные конъюнкции указанного вида.
Ясно, что формула (2.1)полностью определяет функцию . Иначе говоря, значения функциии формулы (2.1) совпадают на всех наборах значений переменных. То есть функция
Составление формул по таблице истинности. может быть представлена в виде:
(2.2)
ПРИМЕР Пусть функция имеет следующую таблицу истинности:
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Тогда функция может быть определена в следующем виде:
Нетрудно заметить, что для определении функции берутся только те наборы переменных , при которых функция принимает значения 1, что значительно упрощает процедуру определения функции.
Формула (2.1) обладает свойствами:
Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные , входящие в функцию .
Все логические слагаемые формулы различны.
Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одновременно переменную и ее отрицание.
Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.
Перечисленные свойства называются свойствами совершенства.
Различные формы представления высказываний
Литерой называется элемент высказывания x или её отрицание.
Элементарной дизъюнкцией называется выражение следующего вида:
, (2.2)
где литера.
Элементарной конъюнкцией называется выражение следующего вида:
, (2.3)
Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) формулы называется выражение вида:
, (2.4)
где элементарная конъюнкция.
Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) формулы называется выражение вида:
, (2.5)
где элементарная дизъюнкция.
Любую формулу можно представить в виде ДНФ или КНФ.
ПРИМЕР
Пусть дана формула
Требуется получить ДНФ и КНФ данной формулы.
Применяя формулы равносильности, получаем КНФ :
Применяя формулы равносильности, получаем ДНФ :
Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) формулы называется такая ДНФ, для которой выполняются следующие условия:
Все элементарные конъюнкции, входящие в ДНФ , различны.
Все элементарные конъюнкции, входящие в ДНФ , содержат литеры, соответствующие всем переменным.
Каждая элементарная конъюнкция, входящая в ДНФ , не содержит двух одинаковых литер.
Каждая элементарная конъюнкция, входящая в ДНФ , не содержит переменную и ее отрицание.
СДНФ можно получить двумя способами:
по таблице истинности;
с помощью равносильных преобразований.
Первый способ получения СДНФ рассмотрен выше. Рассмотрим второй способ, который состоит в следующем:
С помощью равносильных преобразований формулы получают ДНФ . При этом в полученной ДНФ возможны следующие ситуации:
Элементарная конъюнкция ДНФ не содержит переменную , тогда используются следующие равносильные преобразования:
Если в ДНФ входят две одинаковые элементарные конъюнкции, то используя следующее равносильное преобразование:
,
одну элементарную конъюнкцию можно отбросить.
Если элементарная конъюнкция ДНФ содержит одновременно переменную и ее отрицание, то используя следующие равносильные преобразования:
,
эту элементарную конъюнкцию можно отбросить
Если элементарная конъюнкция ДНФ содержит дважды переменную , то используя следующее равносильное преобразование:
,
одну переменную можно отбросить
СДНФ формулы существует в единственном виде.
ПРИМЕР
Получить СДНФ формулы
С помощью равносильных преобразований получаем СДНФ :
С помощью таблицы истинности получаем СДНФ :
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
СДНФ
Очевидно, что в результат двух способов совпадает.
Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) формулы называется такая КНФ, для которой выполняются следующие условия:
Все элементарные дизъюнкции, входящие в КНФ , различны.
Все элементарные дизъюнкции, входящие в КНФ , содержат литеры, соответствующие всем переменным.
Каждая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ , не содержит двух одинаковых литер.
Каждая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ , не содержит переменную и ее отрицание.
СКНФ можно получить двумя способами:
по таблице истинности;
с помощью равносильных преобразований.
По первому способу по таблице истинности получаем СДНФ , а СКНФ можно получить, следуя следующему правилу
С помощью равносильных преобразований формулы получают КНФ . При этом в полученной КНФ возможны следующие ситуации:
Элементарная дизъюнкция КНФ не содержит переменную , тогда используются следующие равносильные преобразования:
Если в КНФ входят две одинаковые элементарные дизъюнкции, то используя следующее равносильное преобразование:
,
одну элементарную дизъюнкцию можно отбросить.
Если элементарная дизъюнкция КНФ содержит одновременно переменную и ее отрицание, то используя следующие равносильные преобразования:
,
эту элементарную дизъюнкцию можно отбросить.
Если элементарная дизъюнкция КНФ содержит дважды переменную , то используя следующее равносильное преобразование:
,
одну переменную можно отбросить.
СКНФ формулы существует в единственном виде.
ПРИМЕР
Получить СКНФ формулы
С помощью равносильных преобразований получаем СКНФ :
С помощью таблицы истинности получаем СДНФ :
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
СДНФ
Очевидно, что в результат двух способов совпадает.
СДНФ формулы можно получить из СКНФ, используя следующее правило: