Множество внешней устойчивости графа

Множество внешней устойчивости – множество вершин, для которых выполняется одно из следующих правил:

1). Любая вершина входит в это множество

2) Либо вершина не входит в это множество, но из этой вершины есть дуга в данное множество.

Пусть дан граф . Тогда для множества внешней устойчивостисправедливо следующее:

(3.12)

Число внешней устойчивости (β) – это наименьшая мощность из всех множеств внешней устойчивости.

Алгоритм Магу для определения множества внешней устойчивости.

Пусть дан граф . Для данного графа существует множество внешней устойчивости.

Вводятся булевые переменные ипо тому же правилу, что и для алгоритма Магу для определения множества внутренней устойчивости.

Тогда определение множества внешней устойчивости (3.12) запишется следующим образом:

(3.13)

Для справедливо следующее

(3.14)

Данное уравнение лежит в основе алгоритма Магу

Алгоритм Магу состоит из следующих этапов:

1. Для графа составляется матрица смежности

2. Матрица смежности дополняется единицами (1) по главной диагонали.

3. Для каждой строки выписываются дизъюнкции.

4. Выражение приводится к ДНФ.

5. Все вершины, входящие в элементарную конъюнкцию, образуют множество внешней устойчивости

ПРИМЕР

Определить множество внешней устойчивости для графа, представленного на рис. 3.7.

Матрица смежности имеет вид:

		1	1	1
	1
	1
			1

Дополним матрицу смежности единицами по главной диагонали

	1	1	1	1
	1	1
	1		1
			1	1

Для каждой строки выписываются дизъюнкции:

(3.15)

Приведем выражение к ДНФ:

(3.16)

Множества внутренней устойчивости:

Числом внешней устойчивости = 2.

Ядром графа называется подмножество вершин, являющихся одновременно внутренней и внешней устойчивостью.

Граф, представленный на рис. 3.7. имеет ядро

Множество путей в графе

По матрице смежности можно определить, сколько различных путей существует между i-той и j- той вершинами длиной в к единиц. Для этого необходимо определить матрицу , где- матрица смежности.

Если элемент матрицы:

- между i-той и j- той вершины не существует пути длиной в к единиц;

- между i-той и j- той вершины существуют различных путей длиной вк единиц;

Если - нулевая матрица, это означает, что графе нет путей вк единиц, а максимальный путь – это путь длиной в (к -1) единиц.