- •Теория множеств.
- •Свойства подмножеств.
- •Операции над множествами.
- •Алгебра теории множеств.
- •Решение уравнений алгебры множеств.
- •Кортеж.
- •Проекция множества.
- •График и свойства графика
- •Свойства графиков.
- •Прямое (декартовое) произведение множество.
- •Соответствия.
- •Отношения.
- •Операции над отношениями.
- •Основные свойства отношений.
- •Решетки. Диаграммы Хассе.
- •Математическая логика Высказывания и операции над высказываниями.
- •Операции над высказываниями.
- •Формулы математической логики.
- •Формулы равносильности.
- •Различные формы представления высказываний
- •Выполнимость формулы алгебры логики
- •Применение математической логики.
- •Минимизация сложных высказываний.
- •Метод Квайна.
- •Метод минимизирующих карт.
- •Метод минимизации с помощью карт Вейча.
- •Булевые функции и их свойства.
- •Функциональная полнота. Теорема Поста.
- •Логика предикат.
- •Логические операции над предикатами.
- •Квантовые операции.
- •Равносильные формулы логики предикатов.
- •Предваренная нормальная форма предиката
- •Теория графов
- •Основные понятия теории графов
- •Эйлеров граф.
- •Множество внутренней устойчивости графа
- •Алгоритм Магу для определения множества внутренней устойчивости графа
- •Множество внешней устойчивости графа
- •Алгоритм Магу для определения множества внешней устойчивости.
- •Множество путей в графе
- •Алгоритм фронта волны. Поиск минимального пути в графе.
- •Алгоритм фронта волны.
- •Ярусно-параллельная форма графов
- •Деревья и леса
- •Алгоритм получения дерева из графа
- •Теория алгоритмов
- •Рекурсивная функция
- •Пусть даны функции:
- •Машина Тьюринга
- •Работа машины Тьюринга:
- •Нормальные алгоритмы Маркова
- •Теория автоматов
- •Законы функционирования автоматов.
- •Задание автоматов
- •Минимизация автоматов
- •Алгоритм минимизации автомата Мили
- •Особенности минимизации автомата Мура. :
- •Минимизация частичных автоматов.
- •Переход от автомата Мили к автомату Мура
- •Переход от автомата Мура к автомату Мили
Метод минимизации с помощью карт Вейча.
Алгоритм метода карт Вейча включает в себя следующие этапы:
Любая формула приводится к СДНФ.
Составляется карта Вейча. Карта Вейча – это таблица всех возможных комбинаций значений переменных. В соответствующие ячейки заносятся единицы, соответствующие конституентам СДНФ.
Единицы, стоящие по вертикали и горизонтали, объединяются (по 2 , по 4 . по 8 и т.д.). Объединение единиц соответствует операциям склеивания и поглощения. Иначе говоря, формируются максимальные подкубы.
Для каждого объединения выписываются конъюнкции из элементов, общих для каждой единицы, входящих в объединение..
Выше полученные конъюнкции составляют МДНФ.
Карты Вейча удобны при поиске МДНФ функций двух, трех и четырех переменных.
n=2
СДНФ=
| ||
1 |
| |
1 |
1 |
МДНФ=
n=3
СДНФ=
| ||||
1 |
1 |
|
| |
|
1 |
1 |
| |
|
МДНФ=
n=4
СДНФ=
|
|
| |||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
| |
1
|
|
|
|
| |
|
|
|
1 |
1 | |
|
|
МДНФ=
Булевые функции и их свойства.
Булевой функцией называется функция n переменных, которая принимает значение 1 или 0, а так же ее аргументы тоже принимают значение 1 или 0.
Булевая функция имеет следующие свойства:
Свойство сохранения нуля . Булевая функция сохраняет нуль, если функция при нулевых значениях аргумента принимает значение нуль.
Свойство сохранения единицы . Булевая функция сохраняет единицу, если функция при единичных значениях аргумента принимает значение единица.
ПРИМЕР
Логическая операция – дизъюнкция обладает и свойством сохранения нуля (), и свойством сохранения единицы ()
Линейность . Функция является линейной, если её можно представить в виде:
где - булевая переменная
ПРИМЕР
Эквивалентность является линейной функцией:
Монотонность . Функция является монотонной, если для любых произвольных наборов и выполняются следующие неравенства:
Самодвойственность . Функция называется самодвойственной, если она равна двойственной ей функции.
Двойственной функцией называется функция:
Тогда свойство самодвойственности может представлено:
ПРИМЕР
Отрицание является самодвойственной функцией:
Функциональная полнота. Теорема Поста.
Функциональный набор логических функций это такой набор функций, который позволяет любую функцию математической логики описать с помощью функций данного набора.
Теорема Поста. Для того чтобы набор функций {f1,f2,……fn} был функционально полный необходимо и достаточно, чтобы для всего набора функций в целом не выполнялись свойства сохранения нуля, сохранения единицы, линейности, монотонности и самодвойственности.
Полноту набора удобно определять по таблице Поста, в клетках которой ставится знак «+» или «-» в зависимости от того, обладает функция из этого набора тем или иным свойством. В силу теоремы Поста для полноты системы необходимо и достаточно, чтобы в каждом столбце был хотя бы один минус.
-
{ }
T0
T1
L
M
S
F1
+
+
+
+
F2
+
ПРИМЕР
Доказать, что набор функций6 дизъюнкция и отрицание является функционально полным.
-
T0
T1
L
M
S
+
+
V
+
+
+