Отношения.

Отношением называется пара вида такая, чтоФ² (M²=MM),где Ф - график отношения, М - это множество, между элементами которого существует данное отношение.

ПРИМЕР.

Пусть дано , где, а график отношения определяется как. Это отношение ”X больше Y” на множестве натуральных чисел. Данное отношение задано описанием свойств. Перечислением данное отношение может быть задано следующим образом:

,

где >

Отношение называется полным, если ².

Отношение называется отношением равенства, если {<x,xy,y.

Отношение называется отношением неравенства, если ²\.

Запись xy означает, что между x и y существует отношение .

Операции над отношениями.

Пусть даны два отношения  и r=R,M>. Над данными отношениями могут быть выполнены следующие операции:

1. объединение r=<R,M>.

2. пересечение r=<ФR,M>.

3. дополнение 

4. разность \r=<Ф\R,M>.

5. композиция r=<ФR,M>.

6. инверсия ^-1=<Ф^-1,M>.

Основные свойства отношений.

1. Рефлексивность.

Отношение называется рефлексивным, если для всех x выполняется условие: xx или .

2. Антирефлексивность.

Отношение называется антирефлексивным, если для всех x выполняется условие: xx (символ ““ означает “не выполняется”) или .

3. Симметричность.

Отношение называется симметричным , если для всех x выполняется условие: xy  yx или Ф=Ф^-1.

4. Антисимметричность.

Отношение называется антисимметричным, если для всех x выполняется условие: xy и xy  yx или .

5. Асимметричность.

Отношение называется асимметричным, если для всех x выполняется условие: xy  yx или =.

6. Связность (полнота).

Отношение называется связным (полным), если для всех x выполняется условие: xy  xy или yx или М²\.

7. Транзитивность.

Отношение называется транзитивным, если для всех x выполняется условие: xy и yz  xz или ФФФ.

ПРИМЕР

Какими свойствами обладает отношение =<Ф,X>, где X={1; 2; а},

Ф={<1,1>;<a,a>;<a,2>;<2,2>}.

Определим Ф^-1, X:

Ф^-1={<1,1>;<a,a>;<2,a>;<2,2>}

X={<1,1>;<2,2>;<a,a>}.

Отношение является:

- рефлексивным, так как XФ;

- антисимметричным, так как X;

- транзитивным, так как ФФ={<1,1>;<a,a>;<a,2>;<2,2>}Ф;

- несвязное, так как X²\X={<1,2>;<1,a>;<2,1>;<2,a>;<a,1>;<a,2>} ФФ^-1={<1,1>;<a,a>;<a,2>;<2,2>;<2,a>}.

Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивное, симметричное и транзитивное.

Отношение называется отношением нестрогого (частичного) порядка (), если оно рефлексивное, антисимметричное и транзитивное.

Отношение называется совершенно нестрого порядка (), если оно рефлексивное, антисимметричное, транзитивное и связное.

Отношение называется строго порядка (), если оно антирефлексивное, антисимметричное и транзитивное .

Отношение называется совершенно строго порядка (), если оно антирефлексивное, транзитивное и связное.

Решетки. Диаграммы Хассе.

Рассмотрим отношение частичного порядка: “быть подмножеством“ на множестве-степени М={1,2}.

, где

Ф={<{},{}>;<{},{1}>;<{},{2}>;<{},{1,2}>;<{1},{1}>;<{1},{1,2}>;<{2},{2}>;<{2},{1,2}>};<{1,2},{1,2}>}.

Графически данное отношение можно изобразить следующим образом:

РИС 10 Графическое изображения отношения

Отношение является рефлексивным (графически это отображается петлями), антисимметричным ( графически - однонаправленные стрелки), транзитивным ( графически - транзитивными замыканиями вида:

Для отношений частичного порядка применимы диаграммы Хассе, которые строятся на основе обыкновенной диаграммы следующим образом:

1. рефлексивные петли и транзитивные связи не изображаются;

2. большие элементы ( элементы, в которые входят стрелки) располагают выше.

Таким образом, диаграмма Хассе для вышеприведенного примера будет выглядеть следующим образом:

{ Ø }

{ 2 }

{ 1 }

РИС 11 Диаграмма Хассе

Для частично упорядоченного множества справедливо следующее:

1. Элемент аА называется наибольшим (наименьшим) , если для всех х А выполняется x a ( ax). Если наибольший (наименьший) элемент существует, то он единственный.

2. Элемент аА называется максимальным (минимальным) , если нет а множестве А элементов, больших (меньших), чем а. Максимальных (минимальных) элементов может быть несколько.

3. Пусть ВА. Элемент аА называется можарантой (минорантой) , если для всех х  В этот элемент является наибольшим (наименьшим).

4. Множество мажорант В образует верхнюю границу множества В. Множество минорант В образует нижнюю границу множества В.

5. Наименьший элемент верхней границы называется точной верхней границей , или supremum ( sup ) B. Наибольший элемент нижней границы называется точной нижней границей, или infimum (inf) B.

6. Частично упорядоченное множество, у которого для любой пары элементов определен и существует sup и inf , называется решеткой.

ПРИМЕР

Пусть дано отношение, представленное на диаграмме Хассе

РИС 12 Диаграмма Хассе

Отношение А не является решеткой, т.к. элементы 7 и 8 не имеют sup.

Отношение В является решеткой, т.к. любая пара имеет sup и inf.

Алгебраическое представление решеток.

Введем обозначения: sup(a,b)=ab, inf(a,b)=ab. Для решетки справедливы следующие свойства:

1. Коммутативный:

ab=ba ab=ba

2. Ассоциативный:

а(вс)=(ав)с а(вс)=(ав)с

3. Идемпотентности:

аа=а аа=а

4. Поглощения:

а(ав)=а а(ав)=а

Решетки , для которой выполняется дистрибутивный закон:

а(вс)=(ав)(ас) а(вс)=(ав)(ас)

называется дистрибутивной решеткой.

Решетка называется ограниченной, если он имеет максимальный и минимальный элемент.

ПРИМЕР

П

5

усть дана решетка (рис. 13). Определить является ли решетка дистрибутивной.

РИС 13 Диаграмма Хассе решетки

Решетка не является дистрибутивной, т.к. для элементов {2;3;4} не выполняется дистрибутивный закон:

Дана решетка ,

где М={xx1, Ф={<x,y>xy. Эта решетка не является , так как не определен максимальный элемент (0.9999999999 ....) и минимальный элемент (0.0000000...1).

Обозначим в ограниченной решетке максимальный элемент 1, а минимальный элемент 0. Элемент называетсядополнением элемента а в данной решетке, если и. Решетка называется с дополнением, если каждый элемент имеет хотя бы одно дополнение.

ПРИМЕР

Рассмотрим решетку, представленную на рис. 13. Найдем дополнения для каждого элемента решетки

Данная решетка является решеткой с дополнением.

Ограниченная дистрибутивная решетка с дополнением называется булевой решеткой.

На рис . 14 представлены дистрибутивные решетки

РИС. 14. Примеры булевых решеток