Положительные страховые суммы

Предположим, что страховая компания выплачивает только положительные страховые суммы, т. е. Н{х) = 0 при л:<0. Тогда %{и) = %{и) при и^О, где теперь {ос(и), 0 ^ и< оо} — обобщенный пуассоновский процесс, для которого

оо

?Ш<х} = %е-^-^Н_п(х) (И)

и при Re (s) JS⁵ 0

Е{е-*<«>} = е-«^фМ, (12)

где

ФС*) = А.[1—4»(s)L (13)

а -ф (s) — преобразование Лапласа — Стильтьеса функции Н(х). Если

оо

a=jxdH{x), (14)

о

то Е{/(и)} = ри, где p = Àa. Если же

оо

o²_a=j{x-afdH(x) (15)

о

то Var {ос («)} = о²и, где а² = À (а² + а²).

Здесь с — положительная постоянная, причем выбором денежной единицы можно достичь того, чтобы с=\. Наша задача све­лась к нахождению функции

W(t,x) = P{ sup [*(«)-«]<*} (16)

для конечных значений /, а также функции

Г(*) = Р{ sup [ос(«)-«]<х). (17)

0<ц<оо

А это можно сделать с помощью теорем § 15. По теореме 1 § 15

W(t,x) = P{%(t)^t + x)~

- jj (i^j)dyP{%(y)<y + x)d_zP{%(t-yXz-y} (18)

И

w

(*, 0)= J(l--jf-)d,P6c(O<0}. (19)

Если положить

оо

Q(t, s)= J e-'^xd_xW(t, x) (20)

о

для Re(s)^=0, то по формуле (14) § 15

оо

f e-ztQit, s)dt = ^rrrf¹ гт) (21)

J \ > / _z_ s + cD(s) V ш (г) / ^v '

о

для Re [z) > 0, где s = ш (z) — единственный корень уравнения <D(s) = s —z в области Re(s)^0. Обращая формулу (21), получаем W(t,x).

Если р< 1, то по теореме 3 § 15

оо

W(x)=l-(l-p) ld_yP{xiy)<y + x) (22)

+°

для всех х. Если х<0, то W(x) = 0 и W(0)=1— р. Если р^1, то №(х)= 0 для всех х.

Если р<1, по теореме 4 § 15 для Re(s)>0

оо

Q(s)=$_e-'*dW{x) = -¥MJL. (23)

о

Обращая эту формулу, получаем W {х).

В силу теоремы 9 § 29 при р > 1 и а² < оо

е, ^х

— ОО

Пример 1. Если

f 1 для х^а,

^н (* = л / (25)

( 0 для л: < а, ^к '

то i|>(s) = e-^sa, Ф(а) = Л(1 -e-^sa), p = Ка, а² = Ха² и

.Р{х(н) = _а*} = _е-*«-£$1 (26)

для /г = 0, 1, 2, .... Формула (18) тогда дает

W(t, x)=P{x(t)<t + x)-

= SS (^^•)P{x(a/-^) = a/}P{x(^ + ^-a/) = a(^-/)}₎ (27)

а формула (19) —

W(t,0)= £ (¹--f)Pfe(0 = a/}. (28)

Если р = Ха<1, то, обращая (23), получаем

Ix/a)

W(x) = (l~Xa)^_ie~^(^ai-^ ^[Я(а^^ , (29)

/=o

Пример 2. Если

f 1 —e~^[XX для *^0,

Я(х)= _n ^_n (30)

I 0 для x < 0,

то -ф (s) = ц/(ц + s), Ф (s) = Às/(n + s), p = Уц и ct² = 2А,/ц², Кроме того, Р{х(и) = 0} = е~^Ки для ц^Ои

dP {x M < 4 _{= Xllue}-xu-»xf _{lllux) (31)

для и > 0 и х > 0, где

оо

^)-Sw ⁽³²⁾

(ft!)² rt=0

— функция Бесселя. Тогда W(t,x) =

-№+и)г/

= 1 - Ле-"" J % _{+ у} [*/ (Лад (дс + г/) ) + у Г (1цу (х + у) )] dy (33)

о

для х ^ 0, а при р = À/и- < 1

W(x)=l~-e-^-U^x (34)

для х>0.

Отрицательные страховые суммы

Предположим, что страховая компания занимается только операциями с рентой. В этом случае общее количество страховых сумм, выплачиваемых компанией в интервале времени (0, и], равно %(и)= — %{и), где {%(и), 0 <;«< оо} — обобщенный пуассоновский процесс с теми же свойствами, что и процесс, введенный в пре­дыдущем пункте. Распределение величины %{и) задается форму­лой (11); обозначения (12) —(15) мы будем использовать для про­цесса {%(и), 0<!и<сю} без изменений.

В этом случае число с отрицательно и выбором подходящей денежной единицы его можно сделать равным —1.

Теперь наша задача свелась к нахождению функции

W(t,x) = P{ sup [и-х(«)]<*} (35)

0<u<<

для конечных значений t, a также функции

W(x) = P{ sup [ы-х («)]<*}. (36)

0<Ц<°°

Ее можно решить с помощью теорем § 17. По теореме 1 § 17

t

W(t,x)=l-jfd_yP{%(y)^y-x} (37)

х

для 0<л:^/, а по теореме 3 § 17

оо

W(x)=\- jfd_yP{%(y)^y-x}=l-e-^ (38)

X

для х>0, где ш — наибольший неотрицательный вещественный корень уравнения (D(s) = s. Если O^p^l, тош = 0, аеслир>1, то œ > 0. Далее,

Е{е-^гвх} = е-^шЫ (39)

для *>0 и Re(z)>0, где s = œ(z) — единственный корень уравне­ния Ф(«) = 5 — z в области Re(s)^0. Отсюда

E{8J = _Té^ (40)

при р< 1 и

Var{6,} = _Tr^_T (41)

при, р<1 и а²<оо. В силу теоремы 9 § 29

^11тР(^Гж¹"!^>.⁾<^г} ⁼ 7Г⁼- f'-*"^ (42)

если р< 1 и а²<с».

Пример 1. Если

^Я(*> = Ц

1 для х ^ а,

для я < а, то

(43)

для k = О, 1, 2, .... Тогда формула (37) дает

Ш-х)1а]

W(t,x)=l- 2 -57^7 Pfo(*/ +*) = <$-

l-o

W-x)la]

= 1-P{XW = 0}-U J |р{_Х(а/ + л;) = а(/-1)} (45)

для 0<x^.t, a формула (38) —

W{x)=l-e-^a'^x (46)

для л:>0, где ю — наибольший неотрицательный вещественный корень уравнения À (1 — e~^atû) = to.

Замечание. Из (45) следует, что для 0<л:^/

Ш-х)1а\

W(t, х)=\-е-^Хх-Кх 2 e-W+'>^[X(a' ^{+ x)]} ■ (47)

Саксен [29] нашел, что

W{t,x)=\-e-^~e-^ J е-^ХаЧЫ? J (7) Jly/'i'' " ⁽⁴⁸⁾

__* = ! 2/,-*

' /(>0

Сравнивая (47) и (48), мы получаем интересное тождество

= У г/-

*1 ^ /,! /,1 ..."

¹ /_г>о справедливое для /г = 1, 2, ... и для всех z. Пример 2. Пусть

1 — е-и* для л; ^ О,

^Я(;с) I 0 для *<0.

Тогда в силу (37)

W(t, x) = l-e-^+jf^dP^ylfy-^x]dy^

X

t = i _ е-хх _ ipxtpx J _e-№+n) у у (ъ.ру(у -x))dy (51)

для 0 < х ^ /, где функция / (я) задана формулой (32).

Если р = А/ц < 1, то (ù = 0, а если р = Я/ц > 1, то ® = Х — ц.

Тогда (38) дает

W(x)=l-e-^-^^x (52)

при х>0 и Я>ц.