Произвольные страховые суммы

Пусть теперь страховые суммы могут принимать как поло­жительные, так и отрицательные значения. Иначе говоря, {/(«), О ^ и < оо} — пуассоновский процесс и его распределение задается формулой (2). Тогда %(и) можно представить в виде суммы слу­чайного числа случайных величин:

*(«)= 2 ъ, (53)

где Хи %2> . .., Xt, ... —взаимно независимые и одинаково распре­деленные случайные величины с функцией распределения Я (х), а т_ь т₂, .. ., т,-, .. . —моменты наступления событий данного пуас-соновского процесса. Случайные величины {/,■} и {tJ независимы. Кроме того, разности т₍- — т_г_[ (/=1,2,...; т₀ = 0) являются взаимно независимыми и одинаково распределенными случайными величи­нами с функцией распределения F(x)= 1 — е^-Л* для х^О. Обозна­чим а = Е{Х(}.

Положим £(«) = %{и) — си для «^0. Тогда

№(/, х) = Р{ sup £(«)<*} (54)

И

Г(х) = Р{ sup £(«)<*}. (55)

0<и<оо

Для х^О имеем

W (t, x) = e~^Kte(x + ct) +

6{t, X, С) X + CU

+ j J W(t-u, x + cu-y)e-^tMkdudH(y), (56)

0 -oo

где e (ж) = 1 при л: ^ 0 и e (x) = 0 при x < 0; ô (/, x, с) = t при с ^ 0 и ô (t, х, с) = min (t — х/с) при с < 0. В самом деле,

PI sup £(иХ*|т! = ы и Xi = «/1 =

IE (X + С^) W(/ — и, х + си — у) о

при u>t,

при u<à(t, х, с), (57)

в' остальных случаях.

Взяв математическое ожидание от (57) по т^ и %_и получим (56). Решив интегральное уравнение (56), найдем W(t, х).

Из уравнения (56) можно вывести интегро-дифференциальное уравнение

dW (t, x) dW (t, x) ,

dt

dx

= С ^—- — X

W(t, x)- J W(t, x-y)dH(y)

, (58)

справедливое для почти всех (t, x)(t^0, x^O).

Рассуждая так же, как при выводе уравнения (56), получаем

W

5 (я. с) х+си

(*)= J J" W (x + си - y) е~^КиХ du dH(y)

(59)

при x ^ 0, где ô {x, c) = oo при с ^ 0 и ô (x, c)= — x/c при с < 0. Если Xa<c, то №(oo)=l, a W (x) определяется по формуле (59). Если Ха^с, то №(оо) = 0, откуда W(x) = 0 для всех х.

Те же рассуждения, что и при выводе уравнения (58) из (56), дают

cW (x) = X

(60)

W(x)- jW(x-y)dH(y)

— oo

для всех х^О. Проинтегрировав (60) от х до оо, получим

ОО X

c[\-W{x)\ = X | [l-H(u)]du + X J" [l-W(u)]du-

x 0

oo

-X j [l-W(u)]H(x-u)du (61)

для x ^ 0.

Если Ха<с и с^О, то

oo

j e-^sxdW(x) = A(s) о

для Re(s)^0, а если Ха<с и с<0, то

-*. oo

je-dW(x) = A(s)(_Y^) о

для Re(s)>0, где

Л (s) = exp I - J" e-** dM (x) \

(62)

(63)

(64)

и

оо оо

^{М (х) =} S Ч\ J ^e~^Kvu"~^l [!-#»(* + си)] du, (65)

п=\ О ИЛИ

M(x) = f ^V{l(ul^>K) du (66)

о при х^О.

Формулы (62) и (63) легко доказать с помощью соотношения (23) § 11. Положим £= sup £(и). Если с^О, то

0<и<°о

£ = sup £(т_г + 0)= sup (xi+ ... +Хг-ст_г), (67)

0<r<°o 0<r<°o

а если c<[0, то

£ = sup £(т_г-0) = sup (x,+ ... +Xr-i + CT_r). (68)

В соответствии с этим, если \_т — %_г — с(х_г — t_r-\) для г=1, 2, ..., то для с^О формула (67) дает

£ = sup(0, g,, Êi+Ег, .... Si+ ... +lr, •••), (69)

где ■ I,, g₂, ..., |„ ...—взаимно независимые и одинаково рас­пределенные случайные величины. Если Е {|_г} = а — с/Х < 0, то £ — собственная случайная величина, а преобразование Лапласа — Стильтьеса распределения Р {t, ^. х) — W (х) определяется по фор­муле (23) § 11. Если Е{У = а-сД>0, то Р{| = оо}=1, т.е. W(x) = 0 для всех х.

Если \_т = Хг — с(т_г+1 — х_г) для г=\, 2, ..., то для с^О фор­мула (68) дает

£=-_CTl + sup(0, tuh + h, .... Êi + ... + S„ ...), (70)

откуда £ = cti + £*, где величина Ç не зависит от Т[ и имеет такое же распределение, что и (69).

Замечание. В заключение приведем небольшой обзор исто­рического развития математической теории разорения. Асимпто­тическое распределение процесса разорения (х(и), 0^«<оо) было впервые изучено в 1903 г. Лундбергом [21] и далее исследовалось им же в работах [22—26]. Лундберг заметил, что если Е{%(и)) = ри и Var{x(«)} = 0²«, где число а² конечно и положительно, то

_limpiM^L_<x}₌ I h-Mdy. (71)

п-><х> L у а²и ) у 2л •>

Погрешность нормального приближения оценили Крамер [9, 10] и Эссеен [18]. Приближенную формулу для Р (х(«) — р« ^ хи) при х<0 дал Эстер [17], а потом его метод развивали Крамер [11] и Феллер [19].

Функцию разорения Р {0* < оо} = 1 — W (х), определенную соот­ношением (55), ввел Лундберг [23, 25, 26]. Для случая положитель­ных страховых сумм (Я(0) = 0) Лундберг нашел, что 1 = W(x)^.e~^Rx при ï^O и 1 — W(х)~Ce~^Rx при х->оо, где R и С —положитель­ные константы. В 1926 г. Крамер [9] обнаружил, что при Ха<с и #(0) = 0 функция W(x) удовлетворяет интегральному уравнению типа Вольтерры

х

c[l -W(x)] = Xa-l j W(u)[l-H(x-u)]du (72)

о

для х^О. В 1930 г. Крамер [10] нашел преобразование Фурье функции W(x) (формула Полячека — Хинчина в теории очередей). Для постоянных страховых сумм функция W(x) была найдена в явном виде Феллером (см. также Сегердал [31, стр. 88]). В этом случае ее еще раньше нашел Эрланг (см. [20] в литературе к гл. 5). Для произвольных страховых сумм Сегердал [31 — 33] показал, что l-W(x)^e~*^x при х>0 и 1 - W (х) ~ Се~^^х при х->оо. В 1937 г. Крамер [12] доказал, что в случае произвольных стра­ховых сумм W(x) удовлетворяет интегральному уравнению (61). Решение интегрального уравнения (61) в виде (62) и (63) дали Тэклинд [36] и Крамер [13].

Моменты случайной величины 0*, определенной формулой (6), вычислили Лундберг [23] и Сегердал [31].

Функцию разорения Р{0_л^/}= 1 — W(t, x), определенную фор­мулой (54), изучал первым Саксен [29, 30]. В случае отрицатель­ных страховых сумм Саксен [29] вывел интегро-дифференциальное уравнение (58), а для отрицательных и постоянных сумм он нашел решение (48). В 1950 г. Арфведсон [2] получил интегро-дифферен­циальное уравнение (58) и нашел явное выражение для W(t, x) в случае, когда страховые суммы являются положительными экспоненциально распределенными случайными величинами (фор­мула (33)), а также в случае, когда страховые суммы являются отрицательными экспоненциально распределенными случайными величинами (формула (51)); см. также Арфведсон [3]. Для поло­жительных и постоянных страховых сумм функцию W(t, x) нашли Саксен [30] и Арфведсон [4] при / = т/с и x = n (m, n — неотрица­тельные целые числа). Арфведсон [4] нашел также W(m/c, n) для отрицательных и постоянных страховых сумм. Для случая, когда страховые суммы положительны или только отрицательны, Арф­ведсон [6] нашел двойное преобразование Лапласа — Стильтьеса функции W.{t, х). Для произвольных страховых сумм метод опре­деления W{t, х) предложил в 1955 г.- Крамер [14]. (См. также работу Бакстера и Донскера [1] в гл. 4.)