4.2. Метод конечных разностей

Метод конечных разностей (МКР) [5] базируется на решении дифференциальных уравнений в частных производных, представленных в конечно-разностной форме. Метод достаточно универсальный, требует минимальной аналитической подготовки, и легко программируем, однако требует обращения матричных уравнений большого порядка. МКР создаёт промежуточную базу для метода конечных элементов и метода конечных разностей во временной области.

4.2.1. Конечно-разностная аппроксимация

МКР включает следующие основные шаги:

1. Для получения основного уравнения производные в решаемом дифференциальном уравнении выражаются в разностной форме.

2. Область дискретизируется в форе ячеек, содержащих конечное число узлов.

3. Конечно-разностная форма дифференциальных уравнений применяется для каждого узла, тем самым, формируя систему линейных уравнений.

4. Решается система линейных уравнений, и находятся значения неизвестной функции в узлах ячеек.

5. Значения неизвестной функции в узлах ячеек используются для определения характерных параметров устройства (характеристического импеданса, критической длины волны, резонансной частоты и т.п.).

Пусть задана функция – рис. 4.2. Производная функции в точке определяется как

. (4.13)

Рис. 4.2. К разностным формам аппроксимации первой производной.

Выражение (4.13) является точным, однако неудобным для численной реализации, поскольку значения функция могут быть заданы только в дискретных точках. Поэтому аппроксимируем (4.13) в виде:

, (4.14 а)

где - шаг дискретизации, а представление (4.14а) носит название разностная аппроксимация вперёд. Возможно аналогичное представление, называемое разностной аппроксимацией назад

. (4.14 б)

Существует ещё одно возможное представление, называемое центрально разностной аппроксимацией

. (4.15)

Запишем разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки

(4.16)

Используя разностную аппроксимацию вперёд, получаем

(4.17а)

Второе, третье и последующие слагаемые в правой части (3.5) представляют погрешности аппроксимации для . Аналогично для аппроксимации назад

(4.17б)

Складывая (3.5а) с (3.5б) получаем выражение для центрально разностной аппроксимации

(4.17в)

Видно, что погрешность конечно-разностной аппроксимации (4.17а), (4.17б) порядка , а для центрально разностной аппроксимации, которая существенно меньше, поскольку . Эту погрешность называют погрешностью дискретизации.

При решении методом конечных разностей волновых уравнений, уравнений Лапласа, Пуассона необходима конечно-разностная аппроксимация вторых производных . Обратимся к рис. 4.2. и используем разложение в ряд Тейлора (4.16), располагая тремя точками и

,

(4.18а)

то есть погрешность аппроксимации порядка . Аналогично для функции двух переменных

. (4.18б)

4.2.2. Конечно-разностная аппроксимация уравнений Лапласа и Пуассона

Проиллюстрируем процедуру конечно-разностной аппроксимации на примере решения основных двумерных уравнений типа (4.3), (4.5) конечно-разностным методом

. (4.19)

Запишем конечно-разностную аппроксимацию (4.19), используя формулы (4.18) и ориентируясь на рис. 4.3.

(4.20)

Рис. 4.3. Геометрия узлов в квадратной сетке.

Складывая выражения в (4.20), используя уравнение (4.19) и умножая на , получим

(4.21)

Таким образом, мы аппроксимировали значение функции в центральном узле первым слагаемым в (4.21); второе слагаемое – погрешность аппроксимации

. (4.22)

Уравнение (3.10) может быть записано для любого узла анализируемой области как

. (4.23)

Уравнение (4.33) – основное конечно разностное уравнение для решения уравнения Пуассона (Лапласа); его также называют пятиточечной конечно разностной аппроксимацией обсуждаемых уравнений. Записывая (4.33) для каждого узла анализируемой области и преобразуя эти уравнения можно получить совместную систему уравнений относительно значений функции в узлах сетки, решая которую далее найти эти значения.