- •Оглавление
- •Предисловие
- •Раздел 1. Основные сведения о среде программирования «matlab»
- •Глава 1. Вычисления в командном режиме
- •1.1. Простейшие математические операции в matlab
- •1.2. Переменные
- •1.3. Создание матриц
- •1.4. Доступ к элементам матриц
- •1.5. Операции с матрицами
- •1.6. Ввод, вывод и работа со строками
- •Глава 2. Построение графиков в matlab
- •2.1. Построение графика в виде двумерной линии
- •2.2. Оформление графиков
- •2.3. Построение трехмерных графиков
- •2.4. Построение линий уровня
- •2.5. Построение векторного поля
- •2.6. Отображение нескольких графиков в одном окне
- •Глава 3. Скрипты в matlab и управляющие конструкции
- •3.1. Создание и выполнение скриптов в matlab
- •3.2. Оператор for
- •3.3. Логические операции
- •3.4. Оператор if / elseif / else
- •3.5. Оператор while
- •3.6. Операторы break / continue
- •3.7. Оператор switch
- •3.8. Создание функций
- •Раздел 2. Краткие теоретические сведения и задания Тема 1. Векторный анализ
- •1.1. Элементы векторного анализа
- •Задания
- •Тема 2. Уравнения Максвелла (произвольная и гармоническая временная зависимость, статические, стационарные и квазистационарные поля)
- •2.1. Система уравнений электродинамики – уравнения Максвелла
- •2.2. Граничные условия. Принцип эквивалентности
- •Задания
- •Тема 3. Плоские волны
- •3.1. Явление дисперсии и групповая скорость
- •Задания
- •Тема 4. Граничные задачи, уравнения и методы
- •4.1. К классификации электромагнитных явлений
- •Задания
- •4.2. Метод конечных разностей
- •4.2.1. Конечно-разностная аппроксимация
- •4.2.2. Конечно-разностная аппроксимация уравнений Лапласа и Пуассона
- •4.2.3. Конечно-разностная аппроксимация для граничных узлов
- •Задания
- •Литература
Тема 2. Уравнения Максвелла (произвольная и гармоническая временная зависимость, статические, стационарные и квазистационарные поля)
2.1. Система уравнений электродинамики – уравнения Максвелла
2.1.1. Система уравнений электродинамики. Основные уравнения электродинамики в дифференциальной форме для произвольной временной зависимости и изотропной среды имеют вид [3-9]:
, (2.1а)
, (2.1б)
, (2.1в)
(2.1г)
где – вектор напряжённости электрического поля, ; – вектор напряжённости магнитного поля, ; –вектор электрической индукции, Кл/м2; – вектор магнитной индукции, Вб/м2; – вектор плотности электрического тока, ; –объёмная плотность электрических зарядов, Кл/м3.
Основные уравнения электродинамики в интегральной форме для произвольной временной зависимости имеют вид [3-9]:
, (2.2а)
, (2.2б)
, (2.2в)
, (2.2г)
где согласованный выбор контура Г и поверхности S для формул (2.2 а, б) показан на рис. 2.1 а); для формул 2.2 в), г) согласование S и V – на рис. 2.1 б).
|
|
а) |
б) |
Рис. 2.1. К уравнениям Максвелла в интегральной форме.
Частные случаи электромагнитных полей (электростатических, стационарных и т.п.) вытекают из (2.1, 2.2). Материальные уравнения объединяются и дополняют приведенные выше уравнения:
, (2.3а)
, (2.3б)
, (2.3в)
где и – соответственно абсолютная, относительная диэлектрические проницаемости среды и вакуума; и – соответственно абсолютная, относительная магнитные проницаемости среды и вакуума; – удельная электрическая проводимость среды, .
Из уравнений (2.1), (2.2) вытекает закон сохранения заряда Q, где I – ток, протекающий через замкнутую поверхность S
или . (2.4а)
и уравнение непрерывности (дифференциальная формулировка закона сохранения заряда)
, (2.4б)
из которого вытекает, что силовые линии вектора плотности тока начинаются и заканчиваются в точках, где происходит изменение плотности электрического заряда .
2.1.2. Уравнения электродинамики в комплексной форме. Основные уравнения электродинамики в дифференциальной форме для гармонической временной зависимости в комплексной форме имеют вид [1-3]:
, (2.5а)
, (2.5б)
, (2.5в)
. (2.5г)
Здесь – вектор плотности магнитного тока, ; – объёмная плотность магнитных зарядов, ; при этом переход от комплексного представления к действительному осуществляется по правилу
. (2.6)
Далее точку, характеризующую комплексное представление, над соответствующими векторами будем опускать. Несмотря на отсутствие в природе магнитных токов и зарядов, их формальное введение часто позволяет значительно упростить расчёт векторов электромагнитного поля.
Уравнения (2.5) не содержат в соответствии с (2.3в) возбуждающих (сторонних) источников, создающих электромагнитное поле. Для этого вводятся следующие векторные величины:
(2.7)
где – удельная электрическая проводимость среды, – вектор напряжённости сторонних электрических сил, – вектор плотности стороннего электрического тока, –удельная магнитная проводимость среды, ; – вектор напряжённости стороннего магнитного поля; – вектор плотности стороннего магнитного тока, .
Подставляя (2.7) в (2.5) и учитывая уравнения непрерывности типа (2.10б)
(2.8)
уравнения (1.11) можно переписать в виде
(2.9)
где – комплексные относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости соответственно (далее знак ~ над ними будем опускать, понимая, что они характеризуют потери).