Способы линейного программирования

Линейное программирование – это метод, заключающийся в нахождении экстремальных (максимальных или минимальных) значений линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений. Он позволяет выбрать оптимальный вариант из значительного количества альтернатив путем решения системы линейных уравнений. Несмотря на относительную простоту, линейное программирование связано с большим количеством трудоемких вычислений. Условиями применения этого метода для решения экономических задач являются:

• количественная ограниченность изучаемых факторов;

• взаимозаменяемость факторов.

Типичными примерами задач, решаемых методом линейного программирования, являются определение оптимальной общей производительности машин, агрегатов, поточных линий при заданном ассортименте продукции, транспортные задачи (прикрепление предприятий – производителей к предприятиям – потребителям), определение минимальной стоимости кормовых рационов при заданном количестве кормов и т.д. Модели линейного программирование нельзя использовать, если исследуемая система содержит подсистемы с противоречивыми целями. Такие ситуации рассматриваются в теории игр.

Теория игр

Теория игр – это раздел прикладной математики, изучающий методы обоснования оптимальных решений в конфликтных ситуациях. Под конфликтной ситуацией понимается несовпадение интересов участников экономического процесса. Ее первооткрывателем был выдающийся математик Джон Нейман. Он математически описал экономическую конкуренцию, в ходе которой каждый из участников выбирал такую стратегию действий, которая обеспечивала ему наибольший выигрыш или наименьший проигрыш. Эти решения отражались в таблице, которая называлась платежной матрицей. С помощью матрицы выбиралась точка равновесия, то есть решение, приемлемое для всех участников игры. Математические приемы теории игр могут применяться и для решения прикладных экономических задач. Например, для определения рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов. В этом случае существуют две противоположные тенденции: увеличение запасов с целью обеспечения бесперебойной работы производства и уменьшение запасов с целью сокращения затрат на их хранение. Методы теории игр можно использовать для определения предела снижения цены для реализации остатков продукции, когда необходимо, с оной стороны, реализовать продукцию, а с другой – минимизировать потери. Часто при решении экономических задач с помощью теории игр одной их противоборствующих сторон выступает природа.

Теория массового обслуживания

Теория массового обслуживания рассматривает разнообразные процессы в экономике как процессы обслуживания, то есть удовлетворения каких-либо запросов или заказов. Например, обслуживание судов в порту (их разгрузка и погрузка), обслуживание токарей в инструментальной кладовой (выдача им инструментов), обслуживание клиентов в прачечной, магазине и так далее. Такие процессы имеют общие элементы: «требование на обслуживание» (т.е. количество поступивших заказов»), «очередь требований» (т.е. очередность исполнения заказа или приоритетность обслуживания), «каналы обслуживания» (то есть количество мест обслуживания). Исполнение заявки в системе продолжается некоторое случайное время, после чего освободившийся канал вновь готов к приему заявки. Если в системе допускается формирование очереди заявок, то они могут приниматься и в те моменты, когда все каналы заняты. Существуют системы, не допускающие формирование очереди (например, автоматические телефонные станции). Заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и не будет удовлетворена. Специфика работы систем обслуживания заключается в том, что заявки поступают не регулярно, а через случайные промежутки времени. Поэтому в отдельные периоды система работает с перегрузкой, а в другие – недогружена или полностью простаивает. Задача заключается в оптимизации систем обслуживания. В качестве критерия оптимальности может выступать максимум прибыли от эксплуатации системы, минимум потерь, связанных с простоями каналов, минимизация очереди и уходов необслуженных заявок и так далее.

Для достижения поставленной цели можно манипулировать различными элементами системы: изменять количество каналов обслуживания, их производительность, приоритетность обслуживания и т.д. Теория массового обслуживания на основе методов теории вероятности изучает статистические закономерности поступления «требований» и на этой основе вырабатывает рекомендации по порядку обслуживания с учетом поставленной цели. Таким образом, с ее помощью можно, например, определить, сколько кассиров должны обслуживать покупателей в крупном универсаме в различные периоды времени, чтобы время ожидания в очереди не превышало определенной величины.