1.2.3.3. Нахождение оператора звена последовательной коррекции

Найдем оператор звена коррекции, включение которого образует систему с ЧХ, соответствующей желаемой. Звено коррекции W_к включается последовательно со звеньями, образующими ПФ исходной разомкнутой системы W_р,исх(s) – см. рис.7. Поэтому имеем

W_р,ж(s)= W_к(s)W_р,исх(s). (11)

Тогда для ЛЧХ выполняется

L_р,ж()= L_к()+L_р,исх(). (12)

Отсюда

L_к()=L_р,ж()L_р,исх(). (13)

Таким образом, ЛАХ звена коррекции может быть построена графическим вычитанием двух характеристик.

Для получения оператора W_к(s) необходимо иметь асимптотическую ЛАХ звена. Для этого следует аппроксимировать построенную L_к() отрезками прямых с наклонами, кратными 20 дБ/дек. По этой характеристике записывается ПФ W_к(s).

Рис.10

Заметим, что при построении асимптотических характеристик L_р,исх() и L_р,ж() процедура построения ЛАХ звена коррекции упрощается; в результате получается сразу и асимптотическая L_к().

Для рассматриваемого примера (рис.7) построена ЛАХ L_к() – см.рис.9. По ней запишем оператор ПФ:

(14)

В результате введения такого оператора в звено коррекции получаем СУ с переходным процессом y_ж(t) – см.рис.9. Этот переходный процесс имеет следующие показатели качества: время первого согласования t_1=0.19c, время регулирования t_р=0.8с, перерегулирование =7%.

2. Практическая часть

Пример. Дана исходная астатическая САУ (рис.2.1) с параметрами, представленными в табл.2.1. При замыкании единичной обратной связи (ключ S – замкнут) САУ возбуждается, т.е. является неустойчивой.

Рис.2.1

Таблица 2.1

K1	K2	K3	T1, с	T2, с	σ, %
5	100	1	0,01	0,02	20

Рассчитать корректирующее устройство (КУ), которое устраняет возбуждение САУ. Корректирующее устройство вставляется последовательно в разрез между звеньями САУ (рис.2.2). При этом перерегулирование σ не должно превышать заданного значения (20 %).

Рис.2.2

РЕШЕНИЕ.

1. Строим исходную логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ) разомкнутой САУ (ключ S – разомкнут);

– находим общий коэффициент усиления K :

– перемножаем коэффициенты усиления и переводим результат в децибелы

дб;

– согласно заданию записываем сопрягающие частоты

;

– по таблице соответствий на рис.2.3 переводим сопрягающие частоты в деления по клеткам на оси абсцисс (в таблице соответствий указаны мантиссы для логарифмической шкалы через 5 клеток ;

– строим исходную ЛАЧХ – для этого на уровне 54 дб проводим линию до пересечения с ординатой со значением lgω = 1 c^-1 и отмечаем опорную т.А (рис.2.3);

– так как САУ астатическая, через точку А проводим линию под углом -20 дб/дек до пересечения с сопрягающей частотой ω₂ = 50 с^-1 и отмечаем точку В; (в статической САУ от опорной т. А проводим горизонтальную линию до пересечения с с ординатой со значением lgω = 1 c^-1; остальные построения – как и в астатической САУ);

– от точки В проводим линию под углом -40 дб/дек до пересечения с сопрягающей частотой ω₁ = 100 с^-1 и отмечаем точку С;

– от точки С проводим линию под углом -60 дб/дек до т.D.

Рис.2.3

2. Строим скорректированную ЛАЧХ – для этого задаемся отношением максимальной сопрягающей частоты ω₁ = 100 с^-1 к частоте среза ω_ср.КУ корректирующего устройства

,

откуда

,

которую откладываем на рис. 2.3 (т.F);

– через т.F проводим линию вверх под углом -20 дб/дек до т. G, абсциссу которой находим из номограммы (рис.4) следующим образом: на уровне 0.2, что соответствует выбросу σ = 20% на сплошной кривой с усилением, примерно 54 дб отмечаем точку G₁ и находим ее абсциссу равную 0,2;

Рис.2.4

далее находим частоту ω_G, соответствующую т. G на рис.2.3.

;

– от точки G на рис. 2.3 проводим линию вверх под углом -40 дб/дек до пересечения с исходной ЛАЧХ и отмечаем т. H;

– продлеваем линию из точки F вниз до пересечения с абсциссой т. C и отмечаем т. E, затем проводим линию под углом -80 дб/дек от т. Е, параллельную линии C – D.

Построение ЛАЧХ для статической САУ отличается от астатической тем, что необходимо продлить от опорной т. А горизонтальную линию до пересечения с первой низкой частотой сопряжения затем, пристыковываем отрезок В₁ – С₁ с наклоном -20 дб/дек, к которому пристыковываем отрезок С₁ – D₁ с наклоном -40 дб/дек (рис.2.3 – пунктирные линии, отрезки А – В₁, С₁ – D₁).

3. Строим ЛАЧХ корректирующего устройства как разность скорректированной и исходной ЛАЧХ (рис.2.3)

.

Для статической САУ ЛАЧХ корректирующего устройства на рис. 2.3 показана пунктиром.

3. Рассчитываем элементы R₁, R_2, C_1, C₂ корректирующего устройства (рис.2.5, б).

Рис. 2.5

– выписываем частоты из рис. 2.3

ω_B = 50 c^-1;

ω_C = 100 c^-1;

ω_G = 5 c^-1;

ω_H = 0,273 c^-1;

– задаемся значением конденсатора

C₁= 2 мкФ;

– находим номинал резистора R₁

Ом;

– находим номинал резистора R₂

(Ом);

– находим номинал конденсатора С₂

(Ф).

Далее оцениваем время регулирования t_рег из номограммы (рис.2.4). В найденном выше сечении с абсциссой равной 0,2 на штриховой линии с усилением отмечаем т. Т₁ и находим ее ординату равную 7,6.

Из выражения

,

находим

с.

Вставляем КУ в исходную САУ.(рис. 2.5).