
- •Вопрос 1. Абсолютно твердое тело. Материальная точка. Система отсчета.
- •Вопрос 2. Понятие силы
- •Вопрос 3. Аксиомы статики
- •Вопрос 4. Связи и реакции связей
- •Вопрос 5.Сложение сил, приложенных в одной точке
- •Вопрос 6.Разложение силы
- •Вопрос 7.Проекция вектора на ось
- •Вопрос 8.Умножение вектора на скаляр. Единичный вектор
- •Вопрос 9. Разложение вектора по координатным осям
- •Вопрос 10.Аналитический способ сложения сил
- •11.Равновесие системы сходящихся сил
- •Вопрос 12.Момент силы относительно точки. Условие равновесия рычага
- •Вопрос 14. Момент пары
- •Вопрос 15. Эквивалентные пары. Момент пары как вектор
- •Вопрос 16.Момент силы относительно точки
- •Вопрос 17.Приведение плоской системы сил к данному центру
- •18.Равнодействующая плоской системы сил. Теорема Вариньона
- •Вопрос 19. Приведения плоской системы сил к одной паре
- •Вопрос 20. . Условия равновесия плоской системы сил
- •Вопрос 21. . Равновесие системы, состоящей из нескольких твердых тел
- •Вопрос 22. Трение скольжения
- •Вопрос 23. Трение качения
- •Вопрос 24. Момент силы относительно оси
- •Вопрос 25. Формулы для моментов силы относительно координатных осей
- •26.Момент силы относительно точки как вектор
- •Вопрос 29. Равнодействующая системы сил. Теорема Вариньона
- •Вопрос 30. Условия равновесия системы сил в общем случае
- •Вопрос 31. Равновесие несвободного тела
- •Вопрос 32. Общие формулы для координат центра тяжести
- •Вопрос 33. Положение центра тяжести симметричного тела
- •Вопрос 34. Уравнение движения точки и график движения
- •Вопрос 35. Определение пути, пройденного точкой, по заданному закону изменения ее скорости
- •Вопрос 36. Скорость точки в криволинейном движении
- •Вопрос 37. Ускорение точки в криволинейном движении
- •Вопрос 38. Определение скорости и ускорения из уравнений движения точки в декартовых координатах
- •Вопрос 39. Проекция ускорения на естественные оси. Касательное и нормальное ускорения
- •Вопрос 40. Поступательное движение твердого тела
- •Вопрос 41. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Вопрос 42. Угловая скорость как вектор. Выражение линейной скорости и касательного и нормального ускорений в виде векторных произведений
- •Вопрос 43.Сложное движение точки. Относительное, переносное и абсолютные движения
- •Вопрос 44. Относительные, переносные и абсолютные скорость и ускорение точки
- •Вопрос 45. Уравнения плоскопараллельного движения твердого тела
- •Вопрос 46.Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное
- •Вопрос 47. Уравнения движения свободного тела в общем случае. Разложение движения твердого тела на поступательное движение и движение вокруг некоторой точки.
- •Вопрос 48. Основные законы динамики.
- •Вопрос 49 . Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •18.3. Две основные задачи динамики точки
- •Вопрос 50. Дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки
- •Вопрос 51. Прямолинейное Движение точки под действием силы.
- •Вопрос 52.Теорема о количестве движения
- •Вопрос 53. Теорема о моменте количества движения
- •Вопрос 54. Работа
- •Вопрос 55. Теорема о кинетической энергии материальной точки
- •Вопрос 57. Понятие о потенциальной энергии
- •Вопрос 58. Закон сохранения механической энергии
- •Вопрос 59. Принцип Даламбера для материальной точки.
- •Вопрос 60. Цели и задачи сопротивления материалов
- •Вопрос 61. Внешние и внутренние силы
- •Вопрос 62. Нормальные и касательные напряжения
- •Вопрос 63. Линейное (одноосное) напряженное состояние
- •Вопрос 64. Плоское (двухосное) напряженное состояние
- •Вопрос 65. Главные напряжения
- •Вопрос 68 Круги Мора для трехосного напряженного состояния
- •Вопрос 70. Относительное удлинение и угол сдвига
- •Вопрос 71. Компоненты тензора деформации
- •Вопрос72. Относительное объемное расширение
- •Вопрос 73. Условия совместности деформаций
- •Вопрос 78. Поперечное сжатие. Коэффициент Пуассона.
- •Вопрос 79 и 80. Предел текучести, течение материала, упрочнение, разрыв.
- •Вопрос 81. Предел упругости
- •Вопрос 82. Сжатие стального образца
- •Вопрос 83. Растяжение сжатие других технически важных материалов
- •Вопрос 84. Твердость
- •Вопрос 85. Переменная нагрузка
- •Вопрос 88. Закон Гука в общей форме
- •Вопрос 89. Теории прочности
- •Вопрос 90. Закон Гука для сдвига. Модуль сдвига
Вопрос 65. Главные напряжения
Найдем, при каких углах φ получаются экстремальные значения σ. Для этого найдем производную σ по φ и приравняем ее к нулю:
Обозначим
значение угла φ, удовлетворяющее этому
уравнению через φ0.
Тогда:
На
круге напряжений Мора угол
получается при центре М построением
прямоугольного треугольника по заданным
катетам
и
.
Подставляя
в полученную формулу угол
,
получим, что
.
Следовательно, существуют две взаимно
перпендикулярные плоскости, для которых
нормальное напряжение принимает
экстремальные значения. Эти плоскости
называются главными
плоскостями напряжений,
а действующие в них нормальные напряжения
– главными
напряжениями.
Из второго уравнения системы σ, τ,:
следует, что в главных плоскостях
касательные напряжения равны нулю.
Величину
главных напряжений
и
можно определить из круга Мора (рис.7)
или из уравнения:
Если
положить в нем
,
получим:
Аналогичным
способом определяются углы
,
которым соответствуют экстремальные
значения касательного напряжения:
Откуда
получаем:
Очевидно,
что
,
следовательно:
Или
Таким
образом, существуют два направления,
для которых касательные напряжения
получают свои экстремальные значения
(
.
Эти направления делят пополам углы
между главными напряжениями.
Из
уравнения
и
,
получим, что
И
Откуда
Т.е.
Экстремальные касательные напряжения
равны друг другу по абсолютному значению,
но противоположны по знаку. Очевидно,
что
численно равны радиусу круга напряжений
Мора.
Если
площадки ВС и СА являются плоскостями
главных напряжений
и
(рис.8), тогда будем иметь:
,
,
И выражения напряжений σ и τ в произвольном сечении примут более простой вид:
Уравнением
окружности, ограничивающей круг
напряжений Мора, будет:
Абсолютная
величина экстремальных касательных
напряжений равна:
Для
построения круга Мора по заданным
напряжениям
и
,
следует отложить на оси σ
от точки О отрезки
и
(рис.8) и на отрезке
,
как на диаметре построить окружность.
Для определения напряжений σ
и τ
в сечении, образующем угол φ с плоскостью
главного напряжения
,
следует построить в центре круга угол
.
Тогда координаты σ
и τ
точки S
и будут искомыми напряжениями.
Вопрос 66 и 67- убрали… =)
Вопрос 68 Круги Мора для трехосного напряженного состояния
Трехосное
напряженное состояние можно изобразить
в плоскости при помощи построения,
состоящего из трех кругов, которые
называются кругами напряжений Мора
(рис.10). Пусть напряженное состояние
задано главными напряжениями
,
,
.
Рис.10
Отложим
на оси σ отрезки
,
,
и построим на отрезках
,
,
,
как на диаметрах, полуокружности. Эти
полуокружности ограничивают заштрихованный
на рис.10 треугольник, сторонами которого
являются дуги окружностей. Все напряжения,
возможные при заданном напряженном
состоянии, изображаются координатами
σ, τ точек, лежащих внутри или на сторонах
заштрихованного треугольника.
Для
того, чтобы найти напряжения σ и τ,
соответствующие площадке, нормаль к
которой образует с осями углы α, β, γ,
следует отложить при
угол
,
при
угол
,
причем тот и другой углы следует
отсчитывать от перпендикуляров к оси
в точках
и
.
Пусть наклонные стороны углов
и
пересекают внешнюю окружность в точках
Е и F.
Опишем из центра М1
дугу ЕR
радиусом М1Е,
а из центра М3
– дугу FR
радиусом М3F.
Координаты точки R
пересечения этих дуг дадут значения
нормального напряжения
и касательного напряжения
на взятой элементарной площадке.
Абсолютная величина наибольшего из
всех возможных касательных напряжений
равна радиусу внешней окружности, т.е.
.
Вопрос 69. Убрали =)