Вопрос 38. Определение скорости и ускорения из уравнений движения точки в декартовых координатах

Пусть движение точки определяется уравнениями:

Требуется найти ее скорость и ускорение. Для этого найдем проекции скорости и ускорения на координатные оси. Скорость движущейся точки равна векторной производной от радиуса вектора этой точки по времени:

Отсюда на основании теоремы о проекции производной от данного вектора на ось, известно, что проекции скорости на координатные оси равны производным от проекций радиуса вектора на те же оси. Но проекции радиуса вектора на координатные оси представляют собой координаты движущейся точки. Следовательно, проекции скорости выражаются следующим образом:

Проекции скорости на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат движущейся точки по времени.

Эти производные находятся из уравнений движения точки по времени. Для модуля скорости получаем следующую формулу:

Чтобы определить направление вектора v, нужно найти его направляющие косинусы. Из равенств:

получим:

Аналогично можно найти модуль и направление ускорения . Из равенства следует, что проекция ускорения на какую-нибудь неподвижную ось равна производной по времени от проекции скорости на ту же ось. Следовательно,

Т.е. проекции ускорения на координатные оси равны вторым производным от соответствующих координат движущейся точки по времени.

Отсюда для модуля и направляющих косинусов вектора получим следующие формулы:

Вопрос 39. Проекция ускорения на естественные оси. Касательное и нормальное ускорения

Вопрос 40. Поступательное движение твердого тела

Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором всякая прямая, неизменно связанная с этим телом, остается параллельной своему начальному положению.

Теорема. При поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории и в каждый данный момент имеют равные по модулю и направлению скорости и ускорения.

Доказательство: Пусть отрезок АВ (рис.13.1), соединяющий две произвольно взятые точки А и В поступательно движущегося тела, перемещается за время t из положения АВ в А_nВ_n. Точка А описывает при этом криволинейную траекторию АА₁А₂…А_n, точка В аналогичную криволинейную траекторию. Разделим весь промежуток времени t на большое число n малых промежутков и отметим положения отрезка АВ занимаемые им в конце каждого промежутка: и т.д.

Рис.13.1.

Причем . Все отрезки на основании данного определения поступательного движения параллельны, а потому отрезки АА₁, А₁А₂, …, А_n-1А_n соответственно равны и параллельны отрезкам ВВ₁, В₁В₂, …, В_n-1В_n. Таким образом, ломаные линии АА₁А₂…А_n-1А_n и ВВ₁В₂…В_n-1В_n имеют равные и параллельные стороны и, следовательно, могут быть совмещены друг с другом. При увеличении числа промежутков n, каждый промежуток стремится к нулю. В пределе ломаная АА₁А₂…А_n-1А_n превратится в траекторию точки А, а ломаная ВВ₁В₂…В_n-1В_n – в траекторию точки В. Отсюда следует, что эти две траектории также могут быть совмещены друг с другом, т.е. представляют собой одинаковые кривые, следовательно, первая часть теоремы доказана.

Соединим точки А и В с неподвижным началом координат О. Обозначим радиусы-векторы этих точек через r_А и r_В. В этом случае будем иметь:

Ни длина, ни направление отрезка ВА при движении тела не изменяются, т.о. . Дифференцируя предыдущее равенство по t и принимая во внимание, что производная постоянного вектора равна нулю, получим:

Но и обозначают скорости точек А и В. Следовательно . Дифференцируя это равенство по t, получим:

или , где и обозначают ускорения точек А и В.