Вопрос 30. Условия равновесия системы сил в общем случае
Если главный вектор R' данной системы сил и ее главный момент М'О относительно какого-нибудь центра приведения О не равны нулю, то эта система приводится к силе и паре. Т.е. твердое тело при действии на него такой системы сил не может находиться в состоянии равновесия, так как пара не может быть уравновешена одной силой. Если в частном случае окажется, что М'О┴ R', то данная система сил приводится к равнодействующей, и равновесие также невозможно. Если один векторов R' или М'О обращается в ноль, а другой не равен нулю, то данная система сил приводится к равнодействующей силе, приложенной в центре приведения О или к одной паре. В этих случаях равновесие также невозможно.
Следовательно, для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо выполнение условий: R'=0 и М'О=0. Эти условия являются также и достаточными, так как при этих условиях будут уравновешиваться и все данные силы, перенесенные в центр приведения О, и все присоединенные пары.
Для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, в общем случае необходимо и достаточно. Чтобы главный вектор этой системы и ее главный момент относительно произвольно выбранного центра равнялись нулю.
Выразим условия равновесия в аналитической форме.
Проекции на координатные оси главного вектора равны:
Главного момента равны:
Отсюда
следует, что два векторных равенства
R'=0
и М'О=0
равносильны шести алгебраическим
равенствам, которые выражают условия
равновесия системы сил в аналитической
форме:
,
,
,
,
Для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, в общем случае необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех этих сил на каждую из трех произвольно выбранных координатных осей равнялась нулю и чтобы сумма их моментов относительно каждой из этих осей также равнялась нулю.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
Система сходящихся сил. Пусть на твердое тело действует система сил, линии действия которых пресекаются в одной точке. Примем эту точку за начало координат. Так как каждая из данных сил пересекает все три координатные оси в одной точке, то последние три уравнения равновесия удовлетворяются. Следовательно, для системы сходящихся сил условия равновесия сводятся к трем уравнениям:
, ,
Плоская система сил. Пусть на твердое тело действует система сил, лежащих в плоскости. Примем эту плоскость за координатную плоскость Оху. Так как каждая из данных перпендикулярна оси z и лежит в одной плоскости с осями х и у, то условия 3, 4 и 5 из условий равновеися всегда удовлетворяются. Следовательно, для плосокй системы сил получаем три условия равновесия:
,
,
Так как каждая сила лежит на координатной
плоскости Оху, то ее момент относительно
оси z совпадает с алгебраическим
значением момента этой силы относительно
начала координат О, т.е.
Система параллельных сил. Пусть на твердое тело действует система параллельных сил, не лежащих в одной плоскости. Направим ось z параллельно данным силам. Тогда момент каждой силы относительно оси z будет равен нулю. Так как оси х и у перпендикулярны данным силам, то проекции каждой силы на эти оси будут также равны нулю. Следовательно, из шести условий равновесия 1, 2 и 6 всегда равны нулю. поэтому для системы параллельных сил, не лежащих в одной плосокости, получим три условия равновесия:
, ,
Для равновесия системы параллельных сил, не лежащих в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы сумма их проекций на ось, параллельную этим силам, равнялась нулю и чтобы сумма их моментов относительно каждой из двух координатных осей, перпендикулярных этим силам, также равнялась нулю.