Вопрос 43.Сложное движение точки. Относительное, переносное и абсолютные движения

Пусть мы имеем неподвижную систему координат Охуz (неподвижную систему отсчета). Представим себе, что мы наблюдаем движение точки М по отношению к некоторой системе координат О’х’у’z’, которая сама движется относительно осей Охуz, принимаемых за неподвижные. Движение точки М по отношению к подвижным осям (подвижной системе отсчета) называется относительным. Движение точки М относительно неподвижных осей (неподвижной системы отсчета) называется абсолютным движением. Движение подвижных осей относительно неподвижной системы отсчета называется переносным. Абсолютное движение точки (тела) можно назвать также сложным или результирующим движением, поскольку его можно рассматривать как результат сложения относительного и переносного движений, которые по отношению к абсолютному движению являются составляющими движениями.

Относительное движение есть движение по отношению к подвижной системе отсчета, а абсолютным движением будем называть движение относительно неподвижной системы отсчета. Основная задача кинематики в случае сложного движения точки состоит в том, чтобы зная относительное движение точки и переносное движение (движение подвижной системы отсчета), найти абсолютное движение точки и определить ее траекторию, скорость и ускорение в этом движении.

Всякое движение точки (тела) относительно данной условно неподвижной системы отсчета можно рассматривать как сложное и разложить на две составляющие движения (относительное и переносное). Для этого необходимо выбрать систему подвижных осей, движение которых известно, и найти движение точки (тела) относительно этой подвижной системы. Этот прием разложения движения точки (тела) на составляющие движения является полезным в тех случаях, когда при соответствующем выборе подвижной системы отсчета относительное и переносное движение точки (тела) оказываются более простыми, чем изучаемое движение точки (тела) относительно неподвижной системы отсчета.

Вопрос 44. Относительные, переносные и абсолютные скорость и ускорение точки

Абсолютной скоростью и абсолютным ускорением точки называется ее скорость и ее ускорение в абсолютном движении, т.е. в движении относительно неподвижной системы отсчета.

Относительной скоростью и относительным ускорением называется ее скорость и ускорение в относительном движении, т.е. в движении по отношению к подвижной системе отсчета.

Под переносной скоростью точки понимается та скорость, которую имела бы точка в данный момент, если бы она была неизменно связана с подвижными осями. Переносной скоростью точки М называется скорость той точки, неизменно связанной с системой подвижных осей, с которой в данный момент совпадает точка М.

Переносную скорость точки М будем обозначать через . Аналогично, под переносным ускорением будем понимать то ускорение, которое имела бы в данный момент эта точка, если бы она была неизменно связана с подвижными осями и участвовала бы только в переносном движении.

Переносным ускорением точки М называется ускорение той точки, неизменно связанной с системой подвижных осей, с которой в данный момент совпадает точка М.

Пусть точка М (рис.14.1) движется по некоторой линии АВ относительно осей О’х’у’, вращающихся вокруг неподвижной точки О с угловой скоростью ω.

Рис.14.1.

Линия АВ представляет собой траекторию относительного движения точки М.

Пусть закон движения точки М по этой траектории выражается уравнением . Относительная скорость точки М направлена по касательной к кривой АВ и по модулю равна абсолютному значению производной .

Переносная скорость точки М есть скорость той точки вращающейся плоскости О’х’у’, с которой в данный момент совпадает точка М. Эта скорость направлена перпендикулярно радиусу вектору ОМ и равна по модулю ОМω. абсолютная скорость точки М есть та скорость, с которой движется точка в данный момент по отношению к неподвижным осям Оху.

Переносное ускорение точки М есть ускорение той точки вращающейся плоскости О’х’у’, с которой совпадает в данный момент точка М. поэтому это ускорение определяется как ускорение точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

Угол, который вектор образует с направлением МО, равен:

Если обозначим координаты движущейся точки в подвижной системе осей через x',y',z', то уравнения: , , , выражающие эти координаты в функциях времени, представляют собой уравнения относительного движения точки. Если исключить из этих уравнений время t, то получим уравнение траектории относительного движения.

Когда уравнения относительного движения известны, то можно найти относительную скорость точки, дифференцируя по t уравнения относительного движения и получить проекции относительной скорости на подвижные оси. Определив эти проекции, можно найти величину и направление относительной скорости:

, ,

Отсюда, обозначая орты подвижных осей через I’, j’ и k', получаем формулу разложения относительной скорости по подвижным осям:

Аналогично, дифференцируя два раза по t уравнения относительного движения точки, можно найти проекции относительного ускорения на подвижные оси:

Следовательно, формула разложения относительного ускорения по подвижным осям имеет вид: