Вопрос 35. Определение пути, пройденного точкой, по заданному закону изменения ее скорости

Пусть закон изменения скорости с течением времени известен и выражается уравнением , где - известная функция времени. Предположим, что за данный промежуток времени точка движется по своей траектории в одном и том же направлении и функция сохраняет свой знак. Пусть . Так как , то . Интегрируя это уравнение в соответствующих пределах, получим:

или . Но разность представляет собой путь S, пройденный точкой за промежуток времени t, следовательно:

Эта формула позволяет вычислить путь S, когда скорость является известной функцией времени. В том случае, когда , при определении длины пути S нужно брать абсолютную величину скорости:

Рассмотрим графическую интерпретацию той же задачи. Построим кривую скоростей рис.10.6. и определим по этой кривой путь, пройденный точкой за промежуток времени от момента t₁ до момента t₂.

Рис.10.6.

Пусть этот промежуток времени изображается отрезком АD. Разделим весь промежуток на n малых промежутков Δt_i. Движение за время промежутка Δt_i можно считать равномерным, поэтому путь пройденный точкой за этот промежуток времени будет равен: , где - скорость точки, которую она имеет в этом промежутке . Величина на чертеже изобразится площадью заштрихованного элементарного прямоугольника.

Длина всего пути, пройденного точкой за время t, равна:

В пределе, когда каждый промежуток времени стремится к нулю, сумма прямоугольников стремится к пределу сумм, т.е. к интегралу от , который представляет собой площадь криволинейной фигуры АВСD.

Пройденный путь изображается площадью, ограниченной осью времени, кривой скоростей и двумя ее крайними ординатами.

Ускорение точки в прямолинейном движении. Равномерно переменное движение

Ускорением точки в прямолинейном движении называется величина, характеризующая быстроту изменения скорости с течением времени, т.е. производную скорости по времени . Если закон движения точки выражается уравнением , то . Обозначая ускорение через w, получим:

Если скорость и ускорение имеют одинаковые знаки, то абсолютная величина скорости возрастает, и движение точки является ускоренным. Если скорость и ускорение имеют разные знаки, то движение будет замедленным. Ускорение обращается в нуль, когда величина скорости проходит через максимум или минимум.

Если ускорение сохраняет во время движения постоянное значение а, то такое движение называется равномерно переменным. При этом, если скорость по абсолютной величине возрастает, то движение называется равномерно ускоренным. Если скорость по абсолютной величине убывает, то движение называют равномерно замедленным. Из равенства имеем .

Интегрируя это уравнение в соответственных пределах, находим:

Или , где v₀ – начальная скорость точки.

Для определения пути S, пройденного точкой за время t при равномерно переменном движении, получим6

Преобразуем эту формулу, вынеся за скобки множитель t/2:

Из формулы скорости получим

При равномерно переменном движении ускорение равно отношению изменения скорости к соответствующему промежутку времени.

Из этого соотношения находим размерность ускорения:

Аналогично тому, как строится кривая скоростей, можно построить график ускорения или кривую ускорений .

Скорость численно выражается тангенсом угла касательной к графику движения с осью времени. Также ускорение численно равно тангенсу угла γ, который образует касательная к графику скоростей с осью времени (рис.10.7).

Т.е. . При разных масштабах для скорости и времени будем иметь:

, где β – масштаб скорости и τ – масштаб времени.

Рис.10.7.