4 7. Сформулируйте первую теорему двойственности (терему разрешимости).

Axb

x0 (1)

(C,x)=>max

А ^тYC

Y0 (2)

(B,Y)=>min

Если одна из задач дв. пары разрешима, то др. задача разрешима, причем значение целевых функций на оптимальных планах прямой и двойственной задач совпадают, если Х* - оптимальный план (1), Y* - оптимальный план (2), то С(Х*)=С(Y*).

Если С(х) одной из пары двойственных задач неограниченна на Д, то Д другой задачи – пусто.

48. Сформулируйте теорему о планах двойственных задач.

A xb

x0 (1)

(C,x)=>max

А ^тYC

Y0 (2)

(B,Y)=>min

D₁ – допустимое мн-во (1), D₂ - допустимое мн-во (2)

Если X D₁, Y D₂ => C(X)<В(Y).

49. Приведите формулировку теоремы равновесия.

Чтобы допустимые планы задач (1) и (2) были оптимальны необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения: х* и y* - opt планы задач дв. пары  x_j* [ ] = 0, j=1…..n, y*_j [ ] = 0, i=1….m.

50. Дайте экономическую интерпретацию равенства Х(А^т – С) = 0

C _j – цена j-го товара

51. Дайте экономическую интерпретацию равенства У (b – AX) = 0, входящего в формулировку теоремы равновесия.

1.

2.

52. Что фактически понимается под структурой производственного плана.

1. Н оменклатура (состав) выпускаемых продуктов, которые входят в план производства; 2) Перечень дефицитных и избыточных ресурсов; 3) В задачах производ-го планир-я встречаются ограничения такого вида: d_i<=x_i<=D_i, d_i>=0, d_i<D_i

x_id_i

x_iD_i

Отсюда -x_i-d_i, x_iD_i т.е. указся продукты, которые входят в план пр-ва с указанием, является ли это кол-во = d_i, = D_i или x_i ( d_i, D_i).

53. Каким образом формализуется понятие структуры плана в теории ЛП.

Математическим эквивалентом структуры плана является носитель плана.

54. Сколько оптимальных базисных планов с одинаковой структурой может быть у задачи ЛП.

Много.

55. Сколько интервалов устойчивости ассоциируется с оптимальным планом.

Для каждого вида ресурса может быть свой интервал устойчивости.

56. Дайте определение интервала устойчивости.

Интервал изменения количества ресурсов, кот. не влияет на структуру opt плана (Δb_k < Δbn < Δb_k )

57. В чем практическое значение интервала устойчивости.

Определяет интервал изменения ресурсов, не влияющий на структуру opt плана.

58. Сколько интервалов оптимальности ассоциируется с оптимальным планом.

Для каждого коэф. ц.ф. свой план.

59. Дайте определение интервала оптимальности.

Если для каждого C_j[C_j^min , C_j^max] оптимальный план ЗЛП неопределен, то данный интервал наз-ся интервалом оптимальности.

60. В чем практическое значение интервала оптимальности.

Определяет интервал изменения коэффициентов целевой функции - цены (С_k), кот. не повлияет (не изменит) на opt план (изменится лишь доход С(х))

61. Какие ресурсы в теории ЛП называются дефицитными, а какие – избыточными.

x_n+i, i=1…m, если x_n+i = 0 => i-тый ресурс - дефицитный, x_n+i>0, => i-тый ресурс - избыточный

62. Как вычисляется нижняя граница интервала устойчивости для избыточного ресурса (а верхняя грница?).

Δb_k/ниж=-x*_n+k, Δb_k/верх=∞; [b_k+ Δb_k/ниж; b_k+Δb_k/верх] – интервал устойчивости

63. Как вычисляется верхняя граница интервала оптимальности для коэффициента при небазисной переменной оптимального плана (а нижняя?).

6 4. Дайте качественную экономическую хар-к двойственных оценок.

Двойственные оценки показывают во сколько раз изменится значение ц. ф. в результате изменения i-того ресурса на единицу.

65. Дайте количественную хар-ку двойственных оценок как меры дефицитности ресурсов.

Δ_n+k=0 => k-й ресурс избыточен

Δ_n+k>0 => k-й ресурс дефицитен

66. Верно ли, что интервалы разрешимости модели ЛП с параметром и двойственно к ней совпадают, ответ обоснуйте.

Верно, это следует из 1-й теоремы двойственности.

67. Дайте определение решающей функции для модели ЛП с параметром в ограничениях.

φ(t), где tЄ(-∞;+∞), φ(t)=maxC(x,t)=C(x*(t)), xЄD(t)

68. Дайте определение решающей функции для модели ЛП с параметром в целевой функции.

(t), tЄ(-∞;+∞),(t)=maxC(x,t)=C(x*,t), xЄD

69. Что необходимо сделать, чтобы вычислить значение решающей функции в некоторой фиксированной точке.

1. Необходимо конкретное значение параметра t

2. Решить ЗЛП

3. Найти значение целевой ф-ции на оптимальном плане

70. Перечислите св-ва решающей функции в модели ЛП с параметром в ограничениях.

Непрерывна, кус.-лин. (линейна на любом интервале устойчивости), вогнута

71. Перечислите св-ва решающей функции в модели с параметром в целевой функции.

Непрерывна, кус.лин., выпукла

72. Что значит решить задачу линейного программирования с параметром в ограничениях.

1. Найти интервал разрешимости Т

2. Найти разбиение Т на интервалы устойчивости

3. Найти оптимальный план для всех tЄТ

73. Укажите область определения решающей функции.

Этот интервал такой, что при всех t из этого интервала решающая ф-ция разрешима φ(t) t Є T

74. Чем отличается обычная с/таблица от с/таблицы, предназначенной для решения задачи ЛП с параметром в целвой функции.

В столбце для вычисления коэф-тов цел. ф-и при базис.перем. указ. знач. параметра t в строке, где вычисляются двойств.оценки Δj(t)= Δj’+ Δj’’t. C(x*t)=Cj’+C’’t

75. Что значит решить задачу ЛП с параметром в целевой функции.

1. Найти интервал разрешимости

2. Найти разбиение Т на интервалы оптимальности

3. Найти оптимальный план для всех tЄТ

76. Чем отличается процесс решения многокритериальной задачи ЛП от решения обычной задачи ЛП.

При решении ЗМЛО находится 1 или несколько допустимых планов, удовлетворяющих, по мнению ЛПР, т.е. в решение включается субъектив. фактор мнения ЛПР

77. Дайте определение эффективного (Парето-оптимального) решения.

Х* Є D – эффективное решение, если не существует yЄD такого, что f(х*)≤f(y), то х*- парето-оптимальный план.

78. Сколько Парето-оптимальных планов может иметь многокритериальная задача.

много

79. Что такое достижимое множество.

x =(х₁… х_n) ЄD. f(x)=(f₁(x)…f_n(x) хар-ка качества доп.плана Є R_k . F={y=f(x),xЄD}, FC R_k

80. Какова геометрическя интерпретация допустимого множества.

F- достижимое мн-во , Д – допустимое мн-во+ рис-к!!!

81. Что такое линейная свертка критериев.

-линейная свертка критериев f₁ f₂….f_k.

82. Как выбираются коэффициенты свертки (коэффициенты важности критериев).

Коэф-т важности α_k выбирает ЛПР. Чем больше важен критерий с № k для ЛПР, тем больше α_k

87. В чем смысл нормировки критериев.

Нормировка критериев позволяет получить критерии, которые измеряются числами одного порядка. После того, как проведена нормировка и рассматривается нормир.ф-я свертки f^н(х), выбор α_k действительно соответствует важности критерия с точки зрения ЛПР

88. Напишите формулу нормировки критериев.

, где f_К^min(max)= min(max)f_К(x), X^КЄD

89. Дайте определение «идеальной» точки.

Идеальная точка f*_K(x)=(f*_1…. f*_K) C R_K , f*_K =max f_K(x), x Є D

90. Сколько компонент содержит «идеальная» точка.

Столько, сколько критериев в ЗЛМО

91. Является ли «идеальная» точка планом задачи ЛП.

Нет

92. Принадлежит ли «идеальная» точка достижимому множеству.