Spieltheorie_WS1213
.pdfSpieltheorie
Skript zur Vorlesung im WS 2012/13
Prof. Dr. J¨urgen Jerger
¨
Lehrstuhl f¨ur internationale und monet¨are Okonomik
¨
Institut f¨ur Volkswirtschaftslehre und Okonometrie Wirtschaftswissenschaftliche Fakult¨at
Universit¨at Regensburg
Stand: Oktober 2012
ii
Inhaltsverzeichnis
1 |
Literaturhinweise |
1 |
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2 |
Einf¨uhrung: Elemente der Spieltheorie |
3 |
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2.1 |
Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
3 |
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2.2 |
Was ist Spieltheorie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
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2.2.1 |
Modellierung strategischer Interdependenz . . . . . . . . |
4 |
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2.2.2 Elemente eines Spiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
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2.2.3 Anwendungsbereiche der Spieltheorie, oder: Warum das |
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Paradies mit dem S¨undenfall enden musste . . . . . . . . |
7 |
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2.2.4 Ein degeneriertes Beispiel: Ein-Personen-Spiel mit voll- |
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kommener Information (Schatzsuche) . . . . . . . . . . . |
12 |
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2.3 |
Klassifikation verschiedener Arten von Spielen . . . . . . . . . . |
14 |
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2.3.1 |
Kooperative vs. nicht-kooperative Spiele . . . . . . . . . |
14 |
2.3.2Statische (”strategic”) vs. dynamische (”extensive”, ”se-
quential”) Spiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
15 |
2.3.3 One-shot games vs. wiederholte Spiele . . . . . . . . . . |
16 |
2.3.4Nullsummenspiele vs. Spiele mit variablen Auszahlungssummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.5Spiele mit vollkommener bzw. unvollkommener Informa-
tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.6 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4Nutzen und Erwartungsnutzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1 Anforderungen an Nutzenfunktionen . . . . . . . . . . . 19
2.4.2Bewertung von Risiko und Erwartungsnutzenfunktion . . 21
2.5Rationalit¨at der Akteure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.1Das St. Petersburg Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.2Das Allais-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.3Beschr¨ankte Rationalit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6Alternative Darstellungen von Spielen . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6.1Extensive Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6.2Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6.3Koalitionsspiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7 L¨osungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.7.1Elimination dominierter Strategien . . . . . . . . . . . . 44
iii
iv |
INHALTSVERZEICHNIS |
|
2.7.2 |
Zermelo’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
46 |
2.7.3 |
Nash-Gleichgewicht und Fokus-Punkte . . . . . . . . . . |
48 |
2.7.4 Gemischte Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
49 |
|
3 Nichtkooperative Spiele I: Statische Spiele mit ansonsten voll- |
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|
kommener Information |
53 |
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3.1 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
53 |
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3.2 Information in Spielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
55 |
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3.2.1 |
Perfekte Information und common knowledge . . . . . . |
55 |
3.2.2 Sicherheit, Vollst¨andigkeit und Symmetrie von Informa- |
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tionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
57 |
3.3Das Gefangenendilemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4Gemischte Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5Nash-Gleichgewichte mit (unendlich) vielen Strategien . . . . . . 68
3.6Existenz von Nash-Gleichgewichten . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.7 Weitere Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.7.1Oligopol I: Das Cournot-Modell . . . . . . . . . . . . . . 71
3.7.2Oligopol II: Das Bertrand-Modell . . . . . . . . . . . . . 73
3.7.3Das Allmende-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.7.4Geldpolitik I: Die Nash-L¨osung des Barro-Gordon-Modells 77
4 Nichtkooperative Spiele II: Dynamische Spiele mit vollkom- |
|
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mener Information und wiederholte Spiele |
83 |
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4.1 |
Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
83 |
4.2 |
R¨uckw¨artsinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
84 |
4.3 |
Teilspiele und teilspielperfekte Gleichgewichte . . . . . . . . . . |
88 |
4.4 |
Wiederholte Spiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
93 |
4.4.1Begri iches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.4.2Endlich wiederholte Spiele I: Eindeutige Nash-Gleichgewichte auf den einzelnen Stufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4.3Endlich wiederholte Spiele II: Multiple Nash-Gleichgewichte auf den einzelnen Stufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.4.4Unendlich oft wiederholte Spiele . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.5.1 Oligopol III: Die Stackelberg-L¨osung . . . . . . . . . . . 107
4.5.2Geldpolitik II: Stackelberg-F¨uhrerschaft der Lohnsetzer
im Barro-Gordon-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.5.3Geldpolitik III: Reputation im Barro-Gordon-Modell . . 116
5 Nichtkooperative Spiele III: Dynamische Spiele bei unvollkom-
mener Information |
121 |
5.1Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2Modifikation des L¨osungskonzepts bei dynamischen Spielen bei unvollkommener Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
INHALTSVERZEICHNIS |
v |
5.2.1Perfektes Bayesianisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . 122
5.2.2Andere Gleichgewichtskonzepte bei dynamischen Spielen
mit unvollkommener Information |
. . . . . . . . . . . . . 127 |
|||||||||||
5.3 Signalspiele . . . . . . . . . . . . . . . . |
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. 128 |
5.3.1 Problemstruktur und L¨osung . . |
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. 128 |
5.3.2M¨ogliche Gleichgewichte eines Signalspiels . . . . . . . . 132
5.4 Screening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
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. 133 |
5.4.1 Allgemeine Charakterisierung und Beispiele |
. |
. |
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. 133 |
5.4.2Screening auf dem Versicherungsmarkt . . . . . . . . . . 134
5.5Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.5.1Signalspiel auf dem Arbeitsmarkt (Spence 1973) . . . . . 136
5.5.2Geldpolitik IV: Das Barro-Gordon-Modell bei unbekann-
ter Inflationsaversion der Zentralbank . . . . . . . . . . . 142
6 Verhandlungen |
147 |
6.1Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2Methodische Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.3Nicht-kooperative Verhandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3.1Verteilungsspiel I: Endlicher Zeithorizont . . . . . . . . . 151
6.3.2Verteilungsspiel II: Unendlicher Zeithorizont, RubinsteinSpiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.3.3Die Einbeziehung von Außenoptionen im Rubinstein-Spiel156
6.4 Kooperative Verhandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4.1Die Nash-Verhandlungsl¨osung (Verteilungsspiel III) . . . 159
6.4.2Eine ”unsch¨one” Eigenschaften der Nash-Verhandlungs- l¨osung: Gl¨aubigerverhandlungen . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4.3 Die Kalai-Smorodinsky-L¨osung . . . . . . . . . . . . . . 164
6.5Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.5.1Lohnverhandlungen I: Verteilung von Renten in einem
endlichen Spiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.5.2Lohnverhandlungen II: Die Nash-L¨osung . . . . . . . . . 171
6.5.3Wie funktionieren Ehen und WG’s? Die Perspektive der kooperativen Haushaltstheorie . . . . . . . . . . . . . . . 174
7 Auktionen |
179 |
7.1Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.2Grundlegende Begri e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.2.1Wert und Bewertung einer Auktion . . . . . . . . . . . . 181
7.2.2Auktionsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.3 |
¨ |
Aquivalenzeigenschaften von Auktionen . . . . . . . . . . . . . . 187 |
|
7.4 |
Winner’s curse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 |
7.5Erweiterungen und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.5.1 |
Multi-Unit-Auktionen . . . . . . . . . . . . . |
. |
. |
. . |
. |
. 193 |
7.5.2 |
Komplementarit¨aten bei multi-object auctions |
. |
. |
. . |
. |
. 194 |
vi |
INHALTSVERZEICHNIS |
7.5.3Multi-object auctions ohne Komplementarit¨aten: Die M¨oglich-
keit eines Zielkonflikts zwischen |
E zienzund Einnah- |
menziel . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . 195 |
7.5.4Multi-object auctions und Bieterkollusion . . . . . . . . . 196
7.5.5Die Versteigerung der UMTS-Lizenzen . . . . . . . . . . 197
8 Koalitionsspiele |
201 |
8.1Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.2Grundlegende Begri e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.2.1Kooperative Mehrpersonenspiele ohne Koalitionsbildung 202
8.2.2 Koalitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.2.3Transferierbarer Nutzen, die charakteristische Funktion
und ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.2.4Der Shapley-Shubik-Index . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.3 L¨osungskonzepte f¨ur Koalitionsspiele . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.3.1Imputationsmenge eines Spiels . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.3.2Der Kern eines Spiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.3.3Der Shapley-Wert eines Spiels . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.4Weitere Bei-(Spiele) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Tabellenverzeichnis
2.1Anwendung der Charakteristika auf drei Spiele . . . . . . . . . . 19
2.2Lotterie A und B, Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3Lotterie C und D, Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4Lotterie A und B, Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5Lotterie C und D, Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.1Battle of the sexes: Teilspielperfekte Nash-Gleichgewichte uber¨
zwei Runden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2Der qualitative Einfluss der dynamischen Struktur im StackelbergDuopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.1Zahlungsbereitschaften dreier Bieter f¨ur jeweils drei Einheiten
eines Gutes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.2Zahlungsbereitschaften von zwei Bietern (A und B) f¨ur zwei Produkte (1 und 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.3 |
Auktionserl¨ose f¨ur die UMTS-Lizenzen je Einwohner |
. . . . . . 198 |
8.1 |
Koalitionsm¨oglichkeiten bei 4 Spielern . . . . . . . |
. . . . . . . 203 |
8.2 |
Ein Drei-Personen-Spiel . . . . . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . 205 |
8.3Drei charakteristische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.4Strategiewahl einer Zweier-Koalition unter Verwendung des MinimaxKriteriums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.5Strategiewahl von Einerund Zweierkoalitionen bei defensivem
Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.6Strategiewahl von Einerund Zweierkoalitionen bei rationalen Drohungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.7Wie m¨achtig sind die einzelnen Fraktionen im Dt. Bundestag? . 210
8.8Die Ermittlung des Shapley-Shubik-Index f¨ur die Fraktionen des
Dt. Bundestags . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
vii
viii |
TABELLENVERZEICHNIS |
Abbildungsverzeichnis
2.1Strategische Interdependenz in einem Tripol . . . . . . . . . . . 5
2.2Ergebnisraum im Paradiesspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3Ergebnismatrix im ”Paradiesspiel” . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4Spielbaum des ”Paradiesspiels” . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5Schatzsuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Der Spielbaum f¨ur Schatzsuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7Instrumentenrationalit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.8Auszahlungen f¨ur zwei Lotterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.9Das Zustandspr¨aferenz-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.10Das Maximum-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.11 Das Erwartungswert-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.12Risikoaversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.13Das Erwartungsnutzen-Kriterium bei Risikoaversion . . . . . . . 28
2.14Das St. Petersburg-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.15Battle of sexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.16 Die extensive Form von battle of sexes . . . . . . . . . . . . . . 41
2.17Normalform von Gemeinsame Schatzsuche . . . . . . . . . . . . 42
2.18Koalitionsform von ”Gemeinsame Schatzsuche” . . . . . . . . . 43
2.19 |
Seeschlacht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
45 |
2.20 |
Das Dilemma des Samariters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
50 |
3.1Systematik der nichtkooperativen Spieltheorie . . . . . . . . . . 54
3.2 |
Die Informationsmengen bei battle of the sexes . . . . . . . . . |
56 |
3.3 |
Die Normalform des Gefangenendilemmas . . . . . . . . . . . . |
60 |
3.4 |
Nash-Gleichgewicht im Gefangenendilemma . . . . . . . . . . . |
61 |
3.5 |
Arbeiter und Unternehmer im Gefangenendilemma . . . . . . . |
63 |
3.6Das Gefangenendilemma bei der Bereitstellung ¨o entlicher G¨uter 64
3.7 |
Die Normalform-Darstellung von matching pennies . . . . . . . |
65 |
3.8 |
Die Reaktionsfunktionen der beiden Spieler in matching pennies |
67 |
3.9Das Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien f¨ur matching pennies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.10Die Fixpunkteigenschaft der Reaktionsfunktion in einem 2-Personen- Spiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.11 Das Cournot-Duopolmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
ix
x |
ABBILDUNGSVERZEICHNIS |
3.12Das Allmende-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.13Das Barro-Gordon-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1 R¨uckw¨artsinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2R¨uckw¨artsinduktion bei battle of sexes . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3R¨uckw¨artsinduktion bei einem Kartenspiel . . . . . . . . . . . . 88
4.4Das chain store paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5 |
Die extensive Form des Marktzutrittspiels . . . . . . . . . . . . |
91 |
4.6 |
Das Marktzutrittspiels und die Glaubw¨urdigkeit einer Drohung . |
92 |
4.7 |
Wiederholte Spiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
93 |
4.8 |
2 Spieler, 2 Strategien, 2 Wiederholungen . . . . . . . . . . . . . |
94 |
4.9 |
Strategien bei 2x2x2 Spiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
96 |
4.10Das wiederholte Marktzutrittspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.11Ergebnismatrix ”Battle of the sexes” . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.12Battle of the sexes: Nash-Gleichgewichte in reinen und gemischen Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.13Gleichgewichte in ”Battle of the sexes” . . . . . . . . . . . . . . 101
4.14Normalform eines Gefangenendilemmas mit zus¨atzlichem NashGleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.15Auszahlungsmatrix eines Gefangenendilemmas . . . . . . . . . . 106
4.16Timing im Stackelberg-Duopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.17Timing im Stackelberg-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.18Qualitative Eigenschaften eines Stackelberg-Gleichgewichts . . . 114
4.19Qualitative Eigenschaften eines Nash-Gleichgewichts . . . . . . . 116
5.1Ein dynamisches Spiel mit unvollkommener Information . . . . . 123
5.2Ein dynamisches Spiel mit unvollkommener Information . . . . . 126
5.3 Normalform des Teilspiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.4Struktur eines Signalspiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.5Screening auf dem Versicherungsmarkt . . . . . . . . . . . . . . 135
5.6Screening auf dem Versicherungsmarkt bei zwei Vertragsoptionen136
5.7Signalspiel auf dem Arbeitsmarkt . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.8Timing im Modell von Vickers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.1Das Verteilungsspiel: splitting the pie . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2Endliche sequentielle Verhandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.3Unendliche sequentielle Verhandlung: Das Rubinstein-Spiel . . . 154
6.4 |
L¨osungen des Rubinstein-Spiels . . . . . |
. . |
. |
. |
. |
. |
. . |
. |
. |
. |
. |
. 156 |
6.5 |
Das Rubinstein-Spiels mit Außenoptionen |
. |
. |
. |
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. |
. . |
. |
. |
. |
. |
. 157 |
6.6Ergebnisraum f¨ur das Rubinstein-Spiel mit Außenoptionen . . . 158
6.7Verteilungsspiel III: Die Nash-Verhandlungsl¨osung. . . . . . . . 162
6.8 |
Die Irrelevanz der Forderungsh¨ohe im Gl¨aubigerspiel |
. . . . . . 163 |
6.9 |
Die Nicht-Monotonizit¨at der Nash-L¨osung . . . . . |
. . . . . . . 164 |
6.10 |
Die Kalai-Smorodinsky-L¨osung . . . . . . . . . . . |
. . . . . . . 166 |