1. Объясните термин «Линейное программирование».

Наука о методах исследования и отыскании макс. и мин. лин. функций, на неизвестные которых наложены лин. ограничения, т. о. ЗЛП относится к задачам на условный экстремум функции.

2. Перечислите основные предпосылки теории лп.

1939 – Канторович написал труд «Мат. Методы организации и планирования пр-ва», где впервые сформулир-л задачу ЛП и привел алгоритм реш-я, попытался оптимизир-ть пр-ный процесс, т.е. впервые пытался понять сколько, чего и по какой технологии произв-ть, в 1941 Хичкок и 1947 Купманс независимо др. от др-га сформулир-ли трансп-ную задачу, 1947 – Данциг придумал алгоритм с/метода, 1975 – Канторович и Купманс получили Ноб-ю премию за создания алгоритма ЛП.

3. Назовите основные составляющие экономико-математической модели ЛП.

1. Система функц – технологич лин-х огранич-ний: равенств, неравенств

i =1…m

2. Система логических ограничений x_j>=0, j = 1…n

3. Наличие лин-ной ф-ции, которая максимизир-ся или минимизир-ся (целевая ф-ция).

C (x) max (min)

4. Какая модель ЛП называется стандартной, запишите эту модель в векторной форме.

Ax<=b: x>=0, C(x)=(C,x)=>max

5 . Запишите стандартную модель ЛП в алгебраической (подробной) форме.

a₁₁, x₁+a₁₂x₂+…a_1nx_n <=b₁

………………………………..

a_m1x₁+a_m2x₂+…..a_mnx_n<=b_m

x_1,………x_n>=0

C(x) = C₁ x₁+C₂x₂+…….C_nx_n =>max

6. Каково соотношение между числом ограничений и неизвестных в стандартной модели ЛП.

m и n не связаны

7. Дайте определение оптимального плана задачи ЛП.

Пусть Х*D (т.е. Х*=( x*_1,…x*_n) >=О – компоненты все неотриц-ны). Если для любого х прин-щего D, (х Х*) С(х)<=C(X*) => X* - оптимальный план

8. Может ли задача ЛП иметь бесконечное число оптимальных планов? Дайте геометрическю интерпретацию ответа.

Да. С(А)=С(В)=С(Х*), Х*[A,B] + рисунок!!!

9. Может ли задач ЛП иметь ровно 2 оптимальных плана?

Нет

10. Перечислите случаи, когда задача ЛП может не иметь решения.

1) Д=, 2) С(х) неограничена на мн-ве Д

11. Какая модель ЛП называется канонической. Запишите ее в векторной и алгебраической (подробной) форме.

Ах=b

x>=0

C(x)=(C,x)=>max

a ₁₁x₁+a₁₂x₂+…a_1nx_n=b₁

………………………………..

a_m1x₁+a_m2x₂+…..a_mnx_n=b_m

x_1,………x_n>=0

C(x) = C₁ x₁+C₂x₂+…….C_nx_n =>max

12. Дайте определение допустимого множества стандартной задачи и его геометрическую интерпретацию.

D = { X=( x_1,…x_n: Ax<=b; x>=О} – допустимое мн-во станд-тной задачи + рис-к!!!

13. Каково соотношение между числом неизвестных и ограничений в канонической модели ЛП, аргументируйте ответ.

m<n. Если m>n – с-ма ур-ний Ax=b не имеет смысла, m=n – с-ма ур-ний имеет единств-е реш-е, след-но нет смысла искать max C(x)

14. Для чего в линейном программировании используются дополнительные переменные.

Для преобразования стандартной ЗЛП в каноническую.

15. Дайте содержательную интерпретацию дополнительных переменных.

Неиспользованное количество i-го ресурса при реализации производственного плана.

16. Какова роль градиента функции в графическом решении задачи ЛП.

Указывает скорость и направление роста значения ц. ф. при изменении переменных.

17. Может ли иметь решение задача ЛП, если ее допустимое множество неограниченно, дайте графическую интерпретацию ответа.

Нет.

С(х)>>M, т.е. С(х) неограниченна на Д + рис-к!!!

18. Приведенная форма системы линейных уравнений и ее роль в решении задачи ЛП.

Общая форма записи приведенной формы ур-ний:

W – множество свободных индексов

- множество базисных индексов.

Привед-я форма (выбор базисных переменных) приводит либо к нахождению базисного плана (вырожд-го или невырож-го) или к такому решению, которое не является планом.

19. Определение носителя допустимого плана.

X D, xj>=0, j=1…n, (x)={j: xj>0, j=1,…,n} - носитель допустимого плана.

20. Как определяется носитель псевдоплана.

Х=(x₁,…,x_n) - псевдоплан, (x)={i: xi≠0, i=1,…,n} - носитель псевдоплана.

21. Что общего между планом и псевдопланом канонической модели ЛП.

Компоненты плана удовлетворяют ограничениям канонической задачи Ax=b.

22. Чем отличаются базисный план и псевдоплан.

Базисный план Х* =(x*₁,…,x*_n) D – допустимый план канонической задачи Ах = b, x>=0, C(x)=>max, /σ*/<=m – кол-во ненулевых компонент. Компоненты базисного плана x_j>=0. Компоненты псевдоплана м.б. любые, в том числе и отрицательные.

23. Смысл элементов технологической матрицы и многопродуктовой модели.

a_ij - кол-во i-го ресурса для производства j-го продукта (i=1,…,m; j=1,…,n).

24. Смысл элементов технологической матрицы в однопродуктовой модели производственного планирования.

a_ij - кол-во i-го ресурса для производства единицы продукта по технологии j (i=1,…,m; j=1,…,n).

25. Определение базисного плана.

X=(x₁,…,x_n) D – допустимый план канонической задачи, Ax=b, x>=0, (C,x)=>max. Если //<=m – кол-во положит-ных компонент плана X => X – базисный план.

26. Напишите формулу для вычисления двойственных оценок, объясните смысл входящих в эту формулу величин.

1. или Δj = (С_σ,Aj) - Сj, где С_σ – коэффициент при базисных переменных в ц. ф-ции, Аj - j-ый столбец с/т, Сj - коэф. ц. ф. при j-ой неизвестной.

2. y*=(A^-1_)C_, C_ - коэффициент ц.ф., A^-1_ - матрица, составленная из столбцов 1-вой с-мы и столбцов, составленных из базисных векторов последней с/таблицы

27. Сформулируйте признак оптимальности базисного плана.

A x=b

x>=0 (1) Axb=>A’x=b’ – приведенная форма

c(x)=>max

X⁰ = (x⁰₁,…,x⁰_n) – базисный план (1). Если Δj= то X⁰ – оптимальный план.

28. Что такое суперпсевдоплан.

Ax=b

x>=0 (1)

c(x)=>max

Х*=(x*₁,…,x*_n) – супер псевдоплан, если АХ* = b, /σ*/<=m, σ(x*)={i: x*i≠0, i=1,…,n} - носитель этого псевдоплана, и соответствующие двойственные оценки Δj= .

29. Сколько положительных компонент может быть в базисном плане.

Положительных компонент в базисном плане м. б. < m (число уравнений).

30. Почему не могут ровняться нулю все двойственные оценки, соответствующие дополнительным переменным оптимального плана.

Если все двойственные оценки Δj=0, то все ресурсы избыточны, а этого не может быть (A^тyС y=0 => C=0 – ничего не производим).

31. Как должна выглядеть с/таблица перед применением с/метода.

В последней строке среди Δj, j=1…..n, д. б. Δj<0, а в соотв. min Δj столбце должно быть a_ik>0; в столбце А₀ все числа a_i0 должны быть >0.

32. Как должна выглядеть с/таблица перед применением двойственного с/метода.

В столбце А₀ д. б. хотя бы одно отриц. число a_i0<0 (т.е. в А₀ записан суперпсевдоплан) и в последн. строке Δj>0.

33. Что означает факт невозможности преобразование с/таблицы с помощью алгоритма с/метода.

1. Найден оптимальный план, 2.) Д – неограниченный многогранник, т.е. С(х) неограничена на Д.

34. Что означает факт невозможности преобразование с/таблицы с помощью алгоритма двойственного с/метода.

а) найден оптимальный план. б) D = 

35. В каком случае преобразование с/таблицы с помощью с/метода оказываектся невозможным.

Х^k – базисный план, полученный с/методом на k-той итерации Δk = minΔj<0, j = 1…n, если min a_ik<=0, i σ_k => ЗЛП неразрешима.

36. В каком случае преобразование с/таблицы с помощью двойственного с/метода оказывается невозможным.

Х⁰ – суперпсевдоплан, х⁰_r – отрицательная компонента Х⁰ , х⁰_r<0, r σ (х⁰_r=a_ro). Если все a_rj>=0, j=1….n => ЗЛП неразрешима.

37. Как находится ведущий элемент симплексной таблицы, если для ее преобразования используется с/метод.

Х – базисный план, Δk = minΔj<0, j = 1…n, k - результат 1-го шага алгоритма, a_ro/a_rk = min(a_io/a_ik), a_ik>0, i σ, r - результат 2-го шага,=> a_rk - ведущий элемент

38. Как находится ведущий элемент симплексной таблицы, если для ее преобразования используется двойственный с/метод.

X – суперпсевдоплан. a_ro=min(a_io), i σ, r – результат первого шага алгоритма, r σ, a_ro<0, a_rk=max(Δj/a_rj), a_rj <0, j=1...n, a_rk<0 kσ, т.к. a_rj <0

39. Верно ли, что двойственная задача к стандартной имеет канонический вид, а двойственная задача к канонической имеет стандартный вид.

Нет.

4 0. Напишите двойственную задачу к следующей задаче ЛП: AX=B, X>=0, C(X) MIN

А^тY-C

B(y)=>min

4 1. Напишите двойственную задачу к следующей задаче ЛП:AX>=B, C(X) MAX

-А^тY=C

Y0

B(y)=>max

42. Сколько ограничений и неизвестных в двойственной задаче.

Ограничений столько, сколько переменных в прямой (исходной) задаче (n).

Неизвестных столько, сколько ограничений в прямой (исходной) задаче (m).

43. Сколько ограничений-равенств в прямой задаче ЛП, если все переменные двойственной задачи неотрицательны.

Ограничений – равенств в прямой задаче нет.

44. Известен план прямой задачи и план двойственно задачи. Что можно сказать о разрешимости этих задач; аргументируйте ответ.

Если одна из пары двойственных задач разрешима, то разрешима и другая (имеет оптимальный план). Причем Х* - оптимальный план , Y* - оптимальный план => C(X*)=B(Y*)

45. Пусть Х – план прямой задачи, а У – план двойственной задачи. Что следует из равенства С(Х) = В(Y)?

Эти планы – оптимальны.

46. Пусть выполняется равенство С(Х) = В(Y), причем известно, что Х – неоптимальный план прямо задачи; что можно сказать о векторе Y?

Такая ситуация невозможна по теореме об оптимальных планах.