4. Произв.Сложных и неявнозад.Ф-ций
Е
сли
уравнение
задает
как неявную ф-ию аргумента
,
т. е.
,
то при нахождении произв. этой ф-ции
предполагают, что в данное ур-ие вместо
подставлено соответствующее выражение
и получено тождество
.
Затем диф. по
это тождество (не забывая, что
есть ф-ция аргумента
)
и решают полученное ур-ние относительно
искомой произв.
5. Кас.Пл. И норм. К поверхн. Скал.Поле. Градиент
Кас.
Пл. Т к поверхности С в данной т.М наз.
пл., кот содержит все кас. к кривым,
проведенным на поверхности через эту
т. Ур-ние касс.
Прямая перпенд. к кас. Пл. в точке касания
наз. норм.к поверхности в этой т.
.
Пусть в каждой т.М некот.обл. D
задано значение скалярной физ. величины
U,т.е.
такой вел., кот полностью х-ризуется
своим числ.знач. Например, это может
быть температура точек неравномерно
нагреваемого тела. Это и наз. скалярной
величиной точки. Если в обл.D
задана скал. ф-ция точки U(M),
то гов., что в этой обл. задано скал.
поле.Важной
х-кой скал.поля явл. скорость изменения
поля в заданном направлении. Произв.
ф-ции U=U(x,y,z)
в т.M(x,y,z)
по направлению
наз.
.
Градиентом ф-ции U=U(x,y,z)
в т.M(x,y,z)
наз. вектор, корд. кот равны соотв.
частным произв. этой ф-ции в т М:
.
Произв. по направл.
.
Направление градиента есть направление
наибыстрейшего возрастания скалярного
поля в данной т, а модуль градиента =
наибольшей скорости возрастания
скал.поля в данной т.
7. Условный экстр. Метод множит. Лагранжа
Усл.
экстр. ф-ции f(x,y)
наз max
или min
этой ф-ции, достигнутый при условии,
что ее оргументы удовлетворяют ур-нию
связи
.
Чтобы найти усл.экстр. методом множителей
Лагранжа нужно: 1) Сост. ф-цию Лагранжа
,
где
- множитель Лагр.; 2) вычислить частные
произв. ф-ции Лагр. по
;
3) сост. с-му ур-ний
4) измен. знак
2-го диф. ф-ции Лагр.
для всех
значений
найденных из с-мы при условии
Тогда ф-ция
f(x,y
имеет усл.
Мах, если
и усл. Мin,
если
.
В частности,
если в стац. Т
,
а А<0, то имеем усл мах, если
,
a
A>0
(C>0)
– min.
9. Осн. св-ва неопред. инт.
1.
Произв. от неопред. инт. = подынтегр.
ф-ции, диф. от неопред. инт. =
подынтегр.выражению:
2. Неопред. инт. от диф. некот. ф-ции =
сумме этой ф-ции и произвольной
постоянной:
3. Постоянный множитель a(a≠0) можно
выносить за знак неопред. инт.:
4. Неопред. инт. от алгебр. суммы конечного
числа = алгебр. сумме инт. от этих ф-ций:
5.
Если F(x) – первообр.ф-ции f(x), то
6. Инвариантность ф-л инт.: любая
ф-ла инт.сохраняет свой вид, если
переменную инт. заменить любой диф.
ф-цией этой перем.
.
11. Замена переменной в неопред. Инт.
в
инт. переменную x заменяют переменной
t по ф-ле
откуда dx =ϕ′(t)dt. Пусть ф-ция x = ϕ(t)
определена и диф. на некот множестве
Т и пусть Х – множество знач. этой ф-ции,
на кот определена ф-ция f(x). Тогда если
на множестве Х функция f(x) имеет
первообр., то на множестве Т справед.
ф-ла ∫f
(x)dx=∫f(ϕ (t ))ϕ′ (t)dt
Метод «подведения» подынтегр. ф-ции под знак
диф. По опред. диф. ф-ции ϕ′(x)dx =d(ϕ(x))