1.Частн.Прирощ., произв., диф., их геом.Смысл.

Пусть ф-ция определена в некот.  - окр. точки и – ее приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента , где .

Предел отношения при при условии, что последнее произвольным образом стремится к нулю наз. част. производной ф-ции в точке . Геометрический смысл производной состоит в том, что произв. ф-ции при данном значении аргумента равна угловому коэффициенту касательной к графику этой ф-ции в точке , т. е. , где – величина угла, образованного касательной с положительным направлением оси , поэтому уравнение касательной к графику ф-ции в точке , где , имеет вид: . Прямая, проходящая через точку , перпендикулярно к касательной, наз. нормалью к графику ф-ции в этой точке. Если , нормаль имеет уравнение .Операция нахождения производной ф-ции наз. дифференцированием этой ф-ции.

2. Полный диф.Ф-ции нескольких переменных. Инвариантность ф-ции полн.Диф.

Если ф-ция z=f(x,y) диф. в т.Р₀(х_0­,у₀), то главная линейная относительно прирощения аргумента часть ее полн. приращения наз. диф. ф-ции:

П риращения наз. диф.независимых переменных, кот. Равны dx, dy: dz=d_xz + d_yz .Пусть дана сложная ф-ция y = f(u ), u =u(x) . Если сущ. произв. , и , то по правилу диф.ния сложной ф-ии . Умножим обе части этого равенства на dx, получим

Но , тогда в случае сложной ф-ции имеем

Сравнивая ф-лы (6.4) и (6.5), видим, что они совпадают по форме записи. Однако эти ф-лы имеют различный смысл: в первой из них dx = ∆x , а во второй du = u′(x)dx . Таким обр., диф. ф-ции всегда равен произведению произв. на диф. аргумента и не зависит от того, является ли переменная, по кот. взята произв., ф-цией или незав.переменной. В этом заключается св-во инвариантности (неизменности) формы

диф. И полный диф. .

3. Необход. И дост. Условие диф. Ф-ции

Ф-ция z=f(x,y) наз. диф. в т.Р₀(х_0­,у₀), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

Где А,В – постоянные, завяс.от х,у; , - бмф, причем их пределы=0. Т.: если ф-ция диф. в точке, то она и непрерывна в этой т. Т.1(необх.): если ф-ция диф. в т., то она имеет в этой т. частные производные. Т.2.(дост.): если ф-ция имеет частные произв. в т., непрерывная в самой этой т., то то она диф. в этой т. Р₀(х­₀,у₀).

6. Экстремум ф-ции нескол. Переем. Необх. И дост. Усл.

Точки макс. или мин. ф-ции наз. точками экстр-а ф-ции, а максимумы и минимума наз. экстр-ами ф-ции. Экстр. ф-ции носят локальный х-р – это наиб. или наим. знач. ф-ции по сравнению с близлежащими ее знач. Наиб. или наим. значения ф-ции в обл. ее определения или на отр. в отличие от локальных ее экстр. наз. соответственно абсолютными (или глобальными) максимумом и минимумом и обозн. , . Необх. условие экстр. ф-ции выражается т-мой Ферма. Если дифференцируемая в т ф-ция имеет в этой т локальный экстр., то ее произв. . Т-ма имеет простой геом. смысл: кас. к графику диф. ф-ции в точке экстр. параллельна оси . Точки, в кот. , наз. стационарными. Т., в кот ф-ция непрерывна, а ее произв. равна 0 или обращается в , или не сущ., наз. критическими точками или точками возможного экстремума ф-ции. Крит. точка наз. угловой точкой ф-ции , если сущ. и т возврата ф-ции, если ее левая и правая произв. бескон. (касс. к графику в точке парал. оси ). Достат. услов. экстр. Пусть в стацион. т (x0, y0) и некот. ее окрестн. ф-ция f ( x, y) имеет непрерывные частные проив. второго порядка включительно. Вычислим в точке (x0 , y0) значения

Тогда: 1) если ∆ > 0, то ф-ия f ( x, y) в т имеет экстр.;макс., если A<0; мин., если A > 0

2) если ∆ < 0, то ф-ция f ( x, y) в т (x0, y0) экстр. не имеет; 3) если ∆=0, то экстр. в т может быть, может не быть. Необходимы дополн. исслед.