12. Способы задания закона распред-ния непрерывных св. Св-ва.
Случайной наз. величина, кот. в рез-те испытания принимает то или иное значение, заранее неизвестно какое именно.
СВ наз. непрерывной, если её закон распределения можно представить в виде непрерывной ф-ии.
Закон распред-ния непрерыв. СВ дается в виде ф-ии распред-ния F(x) и плотности распред-ния f(x). F(x) непрерыв. СВ обладает св-вом непрерывности. f(x) – это производная от ф-ии рапред-ния F(x).
Св-ва: 1)
,
x
R
(для любых х принадлежащих R);
2) f(-
)
= f(
)=0;
3)
Ф-ию распред-ния непрерыв. СВ можно опред-ть по формуле:
29. Закон больших чисел. Неравенство Маркова.
В узком смысле закон больших чисел – это ряд теорем, в каждой из кот. устанавливается при тех или иных условиях факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некот. пост. величинам.
В широком смысле – это некот. общие принципы, согласно кот. совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к рез-ту почти независящему от случая, т.е. при большом числе СВ их средний рез-т перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.
Неравенство Маркова: Если СВ Х принимает только неотриц. значения и имеет мат. ожидание Мх , то для любого числа А > 0 выполняется неравенство:
;
Док-во: Х=(x1,x2…xn)
P(X=xi)=pi
; i=
. A>0
Выберем, что
i=
Заменив возможное значение хk+1, xk+2…xn на А>0 в послед. неравенстве, то получаем более строгое неравенство, т.е.
30. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.
В узком смысле закон больших чисел – это ряд теорем, в каждой из кот. устанавливается при тех или иных условиях факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некот. постоянным величинам.
В широком смысле – это некот. общие принципы, согласно кот. совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к рез-ту почти независящему от случая, т.е. при большом числе СВ их средний рез-т перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.
Неравенство Чебышева: Для любой СВ, имеющее мат. ожидание Мх и дисперсию Dx справедливо неравенство:
, где
ℰ
> 0
Док-во: Применив нер-во Маркова к С.В. X’=(X - Mx)2; А= ℰ2
1)
;
2)
И следует:
31. Закон больших чисел. Теорема Чебышева.
В узком смысле закон больших чисел – это ряд теорем, в каждой из кот. устанавливается при тех или иных условиях факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некот. постоянным величинам.
В широком смысле – это некот. общие принципы, согласно кот. совокупное действие большого числа случайных факторов приводит к рез-ту почти независящему от случая, т.е. при большом числе СВ их средний рез-т перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.
Теорема Чебышева: Если дисперсия n независимых СВ Х1, Х2 … Хn ограничены одной и той же постоянной, то при средняя арифметич. этих СВ сходится по вероят-ти к средней арифметич. Их мат. ожиданий.
ℰ - сколь угодно малое наперед заданное мат. число.
Док-во:
X1,
X2…
Xn
– независ.
С.В.
M(xi)=ai
i=
D(xi)
C
Рассмотрим
С.В.
для кот.
запишем нерав-во Чебышева:
Тогда:
