15. Интерполирование: постановка задачи, геометрическая интерпретация. Интерполяционный член Ньютона Алгоритм для реализации на эвм выбранного многочлена.

Постановка задачи: пусть на отрезке [x₀,x_n] задана таблица значений функции y=f(x)

X	X0	X1	X2	…	Xn
Y	Y0	Y1	Y2	…	Yn

Требуется построить приближающую функцию F(x)=F(x,a₀,a₁,…,a_n), которая принадлежит некоторому известному классу функций и принимает в точках x_i те же значения, что и данная функция y=(x).

F(x_i)=y_i—для любых i=0,1,…,n—условие интерполяции.

F(x_i,a₀,a₁,…,a_n)=y_i—длялюбых i=[0;n].

Поставленная таким образом задача называется – интерполяцией. F(x) – интерполирующая функция, (интерполярная). Значение аргумента x_i в таблице – узлы интерполяции. x[x₀;x_n]x_i—промежуточные значения аргумента. В общем случае для промежуточных значений аргументов в отличии от узлов интерполяции будет иметь место f(x)F(x)—эта формула называеся интерполяционной формулой. R(x)=F(x)-f(x)—остаточный член интерполяционной формулы. R(x_i)=0—в узлах интерполяции.

Геометрически задача интерполирования означает, что графики двух функций y=f(x) и y=F(x) проходят через одни и те же точки (x_i;y_i).

Возникает вопрос, как выбрать функцию F(x) и как оценить остаточный член R(x). Интерполирующая функция F(x) как правило, выбирается в виде линейной комбинации некоторых элементарных функций. F(x)=a_kФ_к(x)

Ф_к(x)—фиксированные линейно независимые функции.

a_k—пока неопределённые коэффициенты.

В качестве Ф_к(x) чаще всего выбирают: 1. Степенные функции— Ф_к(x)=xⁿ. 2. Тригонометрические функции— Ф_к(x)=sin(kx),cos(kx).

В первом случае Ф_к(x) является алгебраической суммой:

F(x)=P_n(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n

Во втором случае Ф_к(x)—тригонометрический многочлен.

Пусть известные значения некоторой функции y = f(x) образуют следующую таблицу:

Будем искать интерполирующую функцию L_n(x) в виде многочлена: L_n(x)=l₀(x)+l₁(x)+…+l_n(x), где l_i(x) – многочлен степени n, причём

Очевидно, что это требование вполне обеспечивает выполнение условия совпадения интерполяционного многочлена в узловых точках с исходной функцией. Многочлены l_i(x) составим следующим образом:

l_i(x)=c_i(x-x₀)(x-x₁)..(x-x_i-1)(x-x_i+1)..(x-x_n) (2),

где c_i – постоянный коэффициент, значение которого находится из первой части условия (1): Подставим в формулу (2) и окончательно получим:

Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа. По таблице исходной функции f формула позволяет весьма просто составить внешний вид многочлена.

Этот метод не применим для большого количества точек.

Оценка остаточного члена:

16. Интерполяционные формулыЧисленное интегрирование

Форм-лы для приближ-го вычисл-я интегралов примен-ся очень часто. Дело в том, что для большого числа элементар ф-ий первообразные уже не выражаются через элементарные функции, в результате чего нельзя вычислить определённый интеграл с помощью формулы Ньютона – Лейбница:

Встречаются также случаи, когда приходится прибегать к формулам приближённого интегрирования из-за того, что функции заданы таблицей или графиком.

Наиболее простой формулой для численного интегрирования является формула прямоугольников. Формула прямоугольников, собственно, есть не что иное, как интегральная сумма, составленная с учётом некоторых дополнительных предположений, причём совершенно естественных.

Пусть требуется вычислить интеграл Разобьем участок интегрирования [a,b] на n равных частей и поместим точки, значения функции в которых входят в интегральную сумму, в левых концах полученных участков. Если считать, что n достаточно велико, т.е. длина участков разбиения

достаточно мала, то интегральная сумма должна уже мало отличаться от величины интеграла. Таким образом, мы получаем приближённое равенство (форм.1):

которое и является формулой прямоугольников. Здесь через y₀, y₁,…, y_n обозначены значения функции y = f(x) в точках деления x₀, x₁,…, x_n .

Площадь, лежащая под кривой y = f(x) между x_i и x_i+1, равна

Но если h достаточно мало, то эту площадь без большой ошибки можно прировнять к площади трапеции ABCD. Если написать y_i = f(x_i), то площадь прямоугольника ABED будет равна y_ih, а площадь треугольника BEC будет равна ?*(y_i+1-y_i)h, так, что

Но поскольку

Получаем где x₀ = a и x_n = b. Окончательно получаем

Эта формула описывает хорошо известное правило трапеций для численного интегрирования; согласно этому правилу, приближённое значение интеграла получается в виде суммы площадей n трапеций. Разлагая функцию в ряд Тейлора, можно оценить погрешность метода интегрирования по формуле трапеции , где M – наибольшее по абсолютной величине значение второй производной от f(x), на интервале [a, b]. Ошибки метода больше чем у большинства других, однако он прост.

Формула Симпсона.

Разобьём участок [a, b] на чётное число n=2m частей точками а=х₀<x₁<…<x_n-1<x_n=b, обозначим ординаты в точках деления через y₀,y₁,…,y_n и рассмотрим пару соседних участков, например с левым концом в точке а=х₀ (Рис. 2)

Проведём через три точки кривой с координатами (x₀, y₀), (x₁, y₁), (x₂, y₂) параболу с осью, параллельной оси OY. Её уравнение будет y=Ax²+Bx+C. Заменив площадь заданной криволинейной трапеции на участке [х₀, х₂] площадью криволинейной трапеции, ограниченной параболой, придём к приближённому равенству:

Вычислив определённый интеграл и найдя неизвестные коэффициенты А, В, С из условия, что при значениях х, равных х₁, х₂, х₃, функция f(x) принимает соответственно значения y₀, y₁, y₂, придём к приближённому равенству где h=(b-a)/n. Для каждой следующей пары участков получается такая же формула. Суммируя равенства по всем участкам, получим формулу Симпсона:

Погрешность метода интегрирования по формуле Симпсона

Формула Симпсона является более точной, нежели рассмотренная формула трапеций. Это означает, что для достижения той же точности в ней можно брать меньшее число n участков разбиения, а при одном и том же шаге даёт меньшую абсолютную и относительную ошибку