9, Моделирование в биологии. Модели популяции, клеточные автоматы.

В биологии не всегда доступен обычный эксперимент, если в функционир-е объкта вмешивается установка то не понятна реакция объекта. «+» исп-я модели:1)На одном комплексе денных м.б. разработано несколько моделей. 2)В процессе построения м. дополнить гипотизу или упростить её.3)Можно исп-ть ЭВМ(вып-ть расчеты, рез-ты). Широко исп-ют в молек-й биологии. –Разработка структурной модели ДНК.- задача морфогенеза(проц. Упр-ющий развитием органов).

Модель однородных популяций. Общая постановка задачи:имеется популяция особейx(t)-кол-во особей в попул-ции в момент времени Проследить x(0)=N изменение кол-ва особей в популяции со временем.

1) Модель Мальтуса. (16-18вв). x(t) - кол-во особей на рассматрив площади, плотность попул на площ. k -коэф. рождаемости. В этом случае рост по exp. Модель Мальтуса. Гипотезой для построения своей модели Мальтус выбрал следующее положение: скорость изменения численности любой популяции прямо пропорциональна этой численности. Математически это положение записывается так

x'(t)=kx(t), x(0)=N.

2) Модель Ферхнюсльта-Пирла. x(t)-кол-во особей в момент набл-я, x(0)=N- в начальный момент. , где к - рождаемость, b- смертность.

различна. Поведение популяции окажется полностью изучено, если будут выявлены значения коэффициентов рождаемости и смертности, при которых популяция через некоторое время от начала наблюдения выйдет на один из приведенных ниже режимов:

1) численность популяции стабилизируется на определенном уровне или незначительно колеблется около некоторого уровня (стационарный режим);

2) популяция вымирает (численность становиться равной 0). Отметим, что характер динамики популяции зависит от начальной численности N и отношения k/b.

Модель динамики двух антог-ских популяций.

Есть две популяции хишники и жертвы. x(t)-кол-во жертв, y(t) - кол-во хишников, x(0)=N y(0)=M - в нач. момент. Модель Вольтера.

к1,к2 - коэф. рождаемости, b1,b2-коеф. смертости. Если жертвы есть, то скорость измен-я хищников = произ-ю хишников на жертв.

Заменяя во всех узловых точках первые производные на конечно-разностные отношения и рассматривая дифференциальные уравнения в математической модели поведения популяции только в узловых точках, а также разрешая получившиеся равенства относительно x_i+1, y_i+1 приходим к следующей вычислительной модели

Компьютерная модель. Работа заключается в последовательном просмотре поведения обеих популяций на графиках при различных значениях исходного количества особей N и M, а также различных значений коэффициентов рождаемости и смертности k1, k2, b1, b2. При фиксированных значениях N и M надо отыскать характерное поведение обеих популяций:1) вымирание одной и неограниченный рост другой; 2)динамическое равновесие (стационарный режим).

Замечание. 1. Надо помнить, что определяющими являются не сами значения указанных коэффициентов, а их отношения, т.е. k₁/b₁ и k₂/b₂.2. Чтобы в программе не происходило переполнения нужно выбирать коэффициенты рождаемости и смертности таким образом, чтобы b₁=O(k₂²) и k₂=O(b₂²).

На экране выводится два графика.

Клеточные автоматы. Одномерный и двумерный случаи. Игра “Жизнь”.

Кл.Авт. - это абстракция сообщества некотор. элементарных объектов, м/у которыми возможен обмен информацией.– модель поведения клеточных сообществ(ФонНейман).–дискретн. динамич. с-ма (предст-ет собой совокупность клеток, одинаковым образом соед-х м/у собой-решетка клеточного автомата) Основными характеристиками являются: 1) дискретность в прост-ве, сущ-ют др. с др. но каждый занимает свой кант а прост-ве. 2) Развитие такого сообщ. со временем происходит скачками, дискретно. Предложил Дж.Ф. Нейман. Исследование клеточн. автоматов приводят к частичному раскрытию тайн самоорганизации в живой природе. Современ. наука синергетика. Одномерн. клеточ. авт-ты для каждой клетки рассматр. 2х соседних слева и справа(5кл.)Среди м.б. как мертвые(0) так и живые(1).Правила1) В следующий момент времени клетка б. жива если у неё жив ровно одна соседн. клетка. Двумерные клет-е авт-ты (поле неогран-но),к-я клетка м. находиться в конечном числе сост-й.Изменен. знач-я всех клеток происходит одновременно.

Рассм-им кл.авт. у которого положение клетки определяется одной коорд. Будем считать, что в момент времени клетки находились в каком-то состоянии, 1-жива, 0-мертва.

Правила получение сообщества. 1) Если клетка мертва в момент времени t она оживает в t+1 тогда и только тогда когда трое ее соседей живы в момент t. 2) Если клетка была жива в момент t, то она погибнет в момент t+1 тогда когда менее чем 2 или более чем 3 соседние клетки были живы в момент t (впервом от скуки, во втором от скученности). 3) Во всех остальных случаях состояние клетки не изменяется.

10, Моделирование в физике. Физика – это наука, в кот-й моделирование явл. важным методом исследования. Раньше физика делилась на экспер-ю и теор-ю физику, а сейчас + вычислительная физика. В физику проникли различ мат методы, но многие задачи нельзя решить с пом мат модели, следует совмещать вычислит матем-у и проведение вычислительного экспер-та, кот-й схож с лабораторным. Этапы построения модели: 1)постановка задачи; 2) Мат модель 3) Вычисл модель 4)Комп модель 5) Работа с моделью

Модель Солнце-планета. 1. Постановка задачи.В космическом пространстве находится массивное тело «Солнце». В некоторый момент времени t в поле его тяготения влетает с некоторой скоростью V тело меньшей массы m и меньших размеров - планета. Проследить судьбу этого тела( нарисовать траекторию планеты).

2.Построить мат модель движения планеты в поле тяготения Солнца.

- з-н всемирного тяготения.

- II з-н Ньютона.

,то:

х(0)=₁ , у(0)=₂ , , ,

х(0)=₁ ,

у(0)=₂ ,

3.Переход к вычислительной модели .

Выберем значение шага h

Рассмотрим систему точек t_j=jhj=1,2,3,.. .

x_j+1-2x_j+x_j-1=G(t_j)x_jh²

y_j+1-2y_j+y_j-1=G(t_j)y_jh²

j=1,2,...

4.Компьютерная модель.

DIMx,y(N)

1. Провести масштабирование.

2. Проверка 3^х типов движений.

а) по орбите.

б) за пределы.

в) упадет.

5.Работа с программой.

Шаг h=0,1

1. Построение компьютерной модели позволяет глубоко войти в сущность представлений модели.

2. Если даже компьютерная модель построена не самим обучаемым, тем не менее имея возможность воздействовать на эту модель с помощью параметров, обучаемый может глубже разобраться в сущности объекта.

Баллистическая модель. 1. Постановка: Пушка под углом к горизонту. Из нее вылетает снаряд с нач. скоростью(v₀). Сопр. Нет. Построить траекторию движения.

2. Мат модель

Модель падение тела в среде с сопротивлением. Тело находиться на высоте Н, тело отпускают, оно нач-ет падать. Ему придали нач. скорость. При относительно малых скоростях величина силы сопр-ия пропорциональна ск-ти, а при более высоких скоростях сила сопрот-я пропор-а квадрату скорости.

F_сопр=kV

Требуется выполнить моделирование тела.Нас интерисует не траектория, а тело, с какой оно скоростью падает.

1) X0=0 X^’0=0

2) рисунок

3) F=mg

ma=mg+ F_сопр

4) ma_x=mg-kv_x²

mx^’’(t)=mg-km(x^’(t))²

5)Выбираем ∆t .Разбиваем ось времени на равностоящие промежутки. Запишем вторую и первую производные формы. Выражаем x(tk+1)

m(x(tk+1)- 2x(tk)+ x(tk+1))/ ∆t²)=mg- k((x(tk)- x(tk+1))/ ∆t²)²

x(tk+1)=(mg- k((x(tk)- x(tk-1))/ ∆t²)/m-m((x(tk-1)-2x(tk))/ ∆t²)

X(t1) =x(0)+ X^’(0) ∆t

x(t1) =0

Замечание: до каких пор мы должны проводить расчеты x(t)>=H.

12. Симплекс метод: вершины перебир-ся не произвольно, а так, что кажд. следующ. вершина улучшает знач-е целевой ф-ии. Стандартный вид: 1) все огр-я записны в виде рав=в; 2) правые части рав-в >=0; 3) переменные >=0; 4) F к min. Канонич.вид: 5) в кажд. ур-ии есть переменная, кот. присутсв. только в этом ур-ии с коэф. +1, в др. ур-х её нет. Одноэтапный СМ: для канонич вида. 1) Строим таблицу, 2) выбираем min эл-т и з F – ведущ столбец. 3) выбираем ведущ. строку с пом-ю сравнения отношений правых частей рав-в к эл-м ведущ столбца, из >0 выбираем min, получаем ведущ строку. 4) Эл-ты столбика кроме ведущего превращаем в 0. Далее с (1) пока все коэф-ты F не станут >=0. Двухэтапн. СМдля неканонич. вида: 1) приводим ЗЛП к канонич виду, т.е. решаем вспомогат задачу СМ. F’=(b1+b2+…+bm)+(a11+a21+…+am1)x1+(a12+a22+a32+…+am2)x2…+(a1n+a2n+…+amn)xn. 2) РешениеполучзадачиСМ.

Пример

Решить симплекс-методом

Найти

При ограничениях

Решение.

Задача записана не в стандартном виде. Приведем ее к стандартному виду. Изменим знаки в целевой функции и введем дополнительную переменную, чтобы избавиться от неравенства.

Это стандартный вид, не являющийся каноническим. Поэтому будем решать двухэтапным симплекс-методом.

Составим целевую функцию вспомогательной задачи

Построим симплекс-таблицу

| x1 x2 x3 x4 |своб

---------------------------------

| 1 1 -3 1 |7

| 1 3 1 0 |15

---------------------------------

F | -1 1 3 0 |0

F1 | -2 -4 2 -1 |-22

Ведущий столбец – 2 (т.к. минимальный отрицательный -4)

Ведущая строка – 2 (т.к 15/3 меньше, чем 7/1)

Ведущий элемент равен 3.

Проведем шаг симплекс-метода. Получим таблицу

| x1 x2 x3 x4 |своб

---------------------------------

| 2/3 0 -10/3 1 |2

х2 | 1/3 1 1/3 0 |5

---------------------------------

F |-4/3 0 8/3 0 |-5

F1 |-2/3 0 10/3 -1 |-2

Ведущий столбец – 4 (т.к. минимальный отрицательный -1)

Ведущая строка – 1

Ведущий элемент равен 1.

Проведем шаг симплекс-метода. Получим таблицу

| x1 x2 x3 x4 |своб

---------------------------------

х4 | 2/3 0 -10/3 1 |2

х2 | 1/3 1 1/3 0 |5

---------------------------------

F |-4/3 0 8/3 0 |-5

F1 | 0 0 0 0 |0

В строке вспомогательной целевой функции получены нули, значит, приведение к каноническому виду завершено. Выпишем начальное допустимое базисное решение: Х = (0, 5, 0, 2), F=5

Отбросим вспомогательную целевую функцию, получим таблицу

| x1 x2 x3 x4 |своб

---------------------------------

х4 | 2/3 0 -10/3 1 |2

х2 | 1/3 1 1/3 0 |5

---------------------------------

F |-4/3 0 8/3 0 |-5

Продолжим решение одноэтапным симплекс-методом, получим ответ

hmax = 7 при Х = (13, 0, 2)

13,Транспортаня задача

Это задача ЗЛП имеющая структуру. Пусть имеется М поставщиков и п потребителей. Известны возможности поставщиков оформелнные в виде матрицы.

-предложение;

Известна стоимость перевозки еденицы товара от каждого поставщика к каждому потребителю

-стоимость матрицы

Товар у всех поставщиков одинаковый, а потому каждому потребителю товар может быть доставлен от любого поставщика. Требуется составить план перевозок(кому от кого и сколько везем) требуется чтобы возможности поставщиков были использ. требов потреб. Были удовл.

Составим матем модель задачи:

Х= -матрица перевозок план перевозок

F=c11x11+c12x12+..+c1nx1n+c21x21+c22x22+..+c2n+x2n+m+cm1xm1+cm2xm2+..+cmnxmn->min

x 11+x12+..+x1n=a1

x21+x22+..+x2n=a2 определяет ……………………………….. возможности

Xm1+xm2+..+xmn=am использования поставщиков

X11+x21+..+xm1=b1

X12+x22+…+xm2=b2

………………………………….

X1n+x2n+…+xmn=bn

Xij>=0

Мат модель транспортной задачи

Как любая ЗЛП –транспортной задачи разрешается решение симплекс методом. Т.к. задача поставл в стандартной форме, то она треб решения двухэтапн. Симпл. Методом, но в виду большого кол-ва переменных(m*n имеется и при приведении к кононич форме введем еще l+n перем.

Реш транспортной задачи симплекс методом не рационально, т.о. разработали спец метод – метод потенциалов.

1, составить какой нить план перевозок

2, оценка плана на оптимальность

3, перераспределение перевозок

m=3 (30 40 60)

n=4 (10 50 30 40)

C= 1. Составление нач плана

До сост нач плана проверить задачу на сбалансированность. Задача называется сбалансированной(закрытой) если суммарный спрос равен сумаррному предложению

∑аi=∑bj

∑аi<∑bj То вводится (m+1) фиктивный поставщик предложение которого равно ∑bi-∑аj к стоимости перевозок от этого поставщика любому потребителю =0.

∑аi>∑bj то вводится (n+1) фиктивный потребитель спрос которого раверн ∑аi-∑bj и перевозки которого =0.

∑аi=30+40+60=130

∑bj=10+50+30+40=130 => задача сбалансированна

Методы составления начального плана

1, метод северо западного угла. Матрицу перевозок организуем в виде таблицы

	10	50	30	40
30	10	20	-	-
40	-	30	10	-
60	-	-	20	40

В таблице перевозок выбираем С-3 Клетка и в нее осуществляется максимально возможная поставка. *Метод С-З угла не учитывается стоимость перевозок и дает начальный план далекий от оптимального.

F=20*2+20*3+30*4+10*1+20*1+40*4=390

2, метод минимальной стоимости. В клетку с мин стоимостью доставки осуществл максимальная доставка

	10	50	30	40
30	10(2)	-(3)	-(4)	20(2)
40	-(2)	-(4)	30(1)	10(1)
60	-(3)	50(1)	-(1)	10(4)

В скобках количетво доставок

F=10*2+20*2+30*1+10*1+50*1+10*4=190

Построеный план должен содержать (m+n-1) поставок. В этом случае он называется не вырожденным, если план содержит менее чем (m+n-1) поставку он называется вырожденными для дальнейшего решения требуется наличие (m+n-1) поставки(базисной клетки). В этом случае какие то невыбранные маршруты получают бозис нулем.

	10	50	30	40
30	10	20	-	-
30	-	30	0	-
60	-	-	20	40

14 Решение нелинейного уравнения с одной переменной: постановка задачи, отделение корней (графический и аналитический способы) и уточнение корней с заданной степенью точности (метод хорд).

Постановка задачи: пусть дано уравнение f(x)=0 (1), ф-я f(x) опре-на и непре-на в некотором конечном или б/конечном интервале от A до B и -изолированный корень. Требуется найти приближ-е зн-е корня с точностью до  (>0). Корень наз изолированным, если для него существ-ет окре-ть, не содржащая никаких др корней. Вычисление выполн в 2 этапа: 1.Отделение. Отделить корни ур-я f(x)=0 на [A,B]Дf (Дf-область определения) это значит, найти такие промежутки [,], в каждом из кото-х содер-я только один корень данного ур-я. Для этого использ теорему: Если ф-я y=f(x) непрерывны на[a,b], f(a)*f(b)<0, f’(x) на (a,b) сохраняет знак, то внутри отрезка [a,b] сущ единственный корень. Графиче-й метод. 1)Для определения корней в с.к. XOY строим график ф-иy=f(x). Абсциссы с точкой пересечения графика оси OX- корни ур-я. Прочитать значения корней с хорошей точностью в большинстве случаев затруднено, но выделить промежутки [_i,_i], в каждом из которых лежит один корень, достаточно просто их выписать x₁[₁,₁], x₂[₂,₂] и т.д. 2)когда ф-я f(x) достаточно сложная. Ур-еf(x)=0 приводим к виду f₁(x)= f₂(x) и в с.к. XOY строим графики ф-й y=f₁(x) и y=f₂(x). Абсциссы точек пересечения построенных графиков, и есть корни ур-я. Выделяем также промежутки как и в1 случае. Аналитический метод. Для отделения нужно знать: 1)если ф-я y=f(x) – непрерывна на [,] и f()*f()<0, то внутри отрезка [,] сущест-ет по крайней мере хотя бы один корень. 2)если ф-я y=f(x) – непрерывна на [,] и f()*f()<0 и производная f’(x) на (,) сохраняет знак, то внутри отрезка [,] сущест-ет единственный корень. Пусть треб-тся отделить корни ур-я f(x)=0. Найдем область определения ф-иf(x) или такой, достаточно большой промежуток [A,B]Дf, на котором требуется отделить действи-ые корни. Выберем достаточно малый шаг h (0,1) и разобьем промежуток [A,B] на промежутки [A,A+h], [A+h, A+2h] …., т.е. на [A+kh, A+(k+1)h], где к=0,1,2… и (A+(k+1)h)B. На концах каждого из промежутков найдем знаки ф-иf(x). Если окажется, что f(A+kh)*f(A+(k+1)h)<0, то при достаточно малом шаге h с большой точностью вероятности можно утверждать, что на промежутке [A+kh, A+(k+1)h] лежит только один корень. 2.Уточнение корней. Пусть дано ур-е f(x)=0 требуется вычислить один из его действит-х корней  с точностью . Надо найти приближ зн-е такое, что =x_n. Задача отыскания придлиж зн-я корня с точностью до сводится к нахождению такого [a,b], длина кот-го будет |b-a|<. Метод деления пополам.

Пусть уравнение (1) имеет на отрезке [ a,b] единственный корень, причем функция F(x) на этом отрезке непрерывна. Разделим отрезок [ a,b] пополам точкой c= ( a+b)/2. Если F(с)0, (что практически наиболее вероятно), то возможно 2 случая: либо F(x) меняет знак на отрезке [ a,с]

либо на отрезке [ с,b]

Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения. Рассмотренный метод можно использовать как метод решения уравнения с заданной точностью. Действительно. если на каком–то этапе процесса получен отрезок [,], содержащий корень , то , приняв приближенно x= (+)/2, получим ошибку, непревышающую значения D= (-)/2 . Метод связан с трудоемкими вычислениями, однако он с успехом может использоваться на ЭВМ. Изобразим схему алгоритма уточнения одного корня уравнения (1) на отрезке [ a,b] , до заданной точности  методом половинного деления. Из схемы видно, что даже если на каком–то этапе F(c)=0, это не приведет к сбою алгоритма. Метод Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции

Метод хорд (секущих)

F(x)=0 (1) x^*[a,b]

отделение корня произошло и корень[a,b]. F(a)F(b)<0

y= F(x)

b,F(b)

a x^’ b

a,F(a) x^*

Вместо кривой рассмотрим секущую

{x_n}^_n0

F^’(a) . метод секущих всегда дает сходящийся результат, если a близко к b.