1. Определение общего, базисного и частного решений.

Решение системы, получающееся при задании конкретных значений свободных переменных, называется частным решением системы.

Решение системы, в котором все свободные переменные полагаются равными нулю, называется базисным

(количество возможных базисных решений равно количеству вариантов определения базисных переменных).

Равенства, выражающие базисные переменные через свободные, называются общим решением системы.

2. Определение допустимого, опорного и невырожденного решений.

Опорное решение называется невырожденным, если оно содержит положительных компонент (по числу ограничений).

, для нахождения начального допустимого решения необходимо, чтобы в каждое из уравнений входила переменная с коэффициентом 1 и не входила в другие уравнения (базисная переменная).

3. Правила выбора разрешающего столбца, разрешающей строки и разрешающей: элемента

Выбор разрешающего элемента. Если при поиске минимума в строке целевой функции есть коэффициенты больше нуля, то выбираем столбец с положительным коэффициентом в строке целевой функции в качестве разрешающего. Пусть это столбец с номером .

Для выбора разрешающей строки (разрешающего элемента) среди положительных коэффициентов разрешающего столбца выбираем тот (ту строку), для которого отношение коэффициента в столбце свободных членов к коэффициенту в разрешающем столбце минимально:

.

– разрешающий (направляющий) элемент, строка – разрешающая

Правила выбора разрешающего элемента

1.При условии отсутствия “0-строк” (ограничений-равенств) и “сво­бодных” перемен­ных (т.е. переменных, на которые не наложено требование неотри­цатель­ности).

Если в столбце свободных членов симплексной таблицы нет отрицательных элементов, то опорный план найден.

Есть отрицательные элементы в столбце свободных членов, например . В такой строке ищем отрицательный коэф­фициент , и этим самым определяем разрешающий столбец . Если не найдем отри­цательный , то система ограничений несовместна (противо­речива).

В качестве разрешающей выбираем строку, которой соответствует минимальное отношение:

,

где - номер разрешающей строки. Таким образом, - разрешающий элемент.

После того, как разрешающий элемент найден, делаем шаг модифицированного жорданова исключения с направляющим элементом и переходим к следующей симплексной таблице.

2. В случае присутствия ограничений-равенств и “свободных” переменных поступают следующим образом.

Выбирают разрешающий элемент в “0-строке” и делают шаг модифицированного жорданова исключения, после чего вычеркивают этот разрешающий столбец. Данную последовательность действий продолжают до тех пор, пока в симплексной таблице остается хотя бы одна “0-строка” (при этом таблица сокращается).

Если же присутствуют и свободные переменные, то необходимо данные переменные сделать базисными. И после того, как свободная переменная станет базисной, далее в процессе определения разрешающего элемента при поиске опорного и оптимального планов данная строка не учитывается (но преобразуется).

Для этого выбирают любой из отрицательных элементов столбца свободных членов (пусть это будет b₂ < 0 ) и просматривают элементы строки, в которой он находится. В этой строке выбирают любой отрицательный элемент и соответствующий ему столбец определит переменную (например x_l ), которую следует исключить из небазисных и ввести в базис на следующем шаге. Столбец, соответствующий переменной x_l , называется ведущим, или разрешающим. Если в строке с отрицательным свободным членом нет отрицательных элементов, то система ограничений несовместна и задача не имеет решения.