1.12.Теорема Шеннона для канала с помехами.

Пусть - производительность источника, тогда, если производительность источника меньше пропускной способности канала ( ), то можно передавать сообщения со сколь угодно высокой достоверностью.

Теорема Шеннона утверждает что достоверность можно повысить – путем построения помехоустойчивого кода.

1.13. Принципы помехоустойчивого кодирования, вероятность ошибки помехоустойчивого кода

Рис. 2

Кодер канала формирует помехоустойчивый код по первичному коду сообщения. Рассмотрим как это делается. Допустим первичный код представлен r разрядами (в данном на рис.3 примере 6 разрядов).

Рис.3

В комбинацию кода вводится еще один разряд k, который называется контрольным. Его значение определяется по очень простому правилу: количество единиц во всем кодовом слове должно быть четным. Например, r разрядов 011101, контрольный разряд k равен 0; r – 001110, k – 1.

Если количество единиц четное, ошибок нет и информация поступает получателю. Если же нет, вырабатывается сигнал ошибки, по которому запрашивается повторная передача. Такое правило позволяет обнаружить однократные ошибки.

2.1 Ортогональные ряды. Погрешности представления сигналов рядом.

ортогональные ряды. отвечают определенным требованиям.

1.Ряд должен быть быстро сходящимся.

2.Функции времени _i(t) – должны быть простыми выражениями; будем называть их базисными функциями.

3.Коэффициенты a_i должны определяться простыми линейными операциями над исходной временной функцией U(t).

Ряд ортогонален, если

.

Свойство нормированных ортогональных базисных функций следующее:

Представление сигнала в виде ортогонального ряда позволяет получить полные сведения о сигнале в более сжатой форме, т.е. ту же информацию, но при меньшем количестве параметров. В теории сигналов в основном применяются ортогональные ряды Фурье, Уолша и Котельникова.

2.2. Свойства ряда Фурье

Базисные функции в рядах Фурье являются гармоническими сигналами и , где n целые числа, а ₁ – круговая частота первой гармоники ₁=2Т.

Докажем ортогональность этих функций.

Рассмотрим первый случай, когда n  k.

Тогда (n + k) и (n – k) целые числа.

t

t

T t

Рис.6 Гармонические базисные функции

Таким образом, если n  k, то оба этих интегралов всегда дадут нам нулевое значение, что и требуется при ортогональности.

предположим, что n=k. Первый интеграл будет равен нулю

Второй интеграл

имеет следующее решение

(учтите, что _n=_k )

и решение будет T/2. Таким образом, свойство

ортогональности функций доказано. Следовательно, будет и ортогональным ряд на их основе. Имеется несколько форм записи ряда Фурье.

Первая форма ряда имеет следующий вид:

.

Каждый член ряда называется гармоникой. У каждой гармоники есть своя амплитуда и фаза.

Вторая форма ряда записывается как

.

В ней - коэффициенты ряда, которые могут принимать любые значения по величине и по знаку

комплексная форма ряда Фурье, в которой суммируются гармоники с комплексными амплитудами An`:

.

Здесь - комплексная гармоническая базисная функция.

а) На основании рядов Фурье вводится понятие спектра сигнала. Это две функции частоты: амплитуды Аn = f(), которая называется спектром амплитуд и _n = f() спектр фаз. Ненулевые А_n и _n существуют только на определённых частотах - n₁, поэтому спектры сигнала дискретные

б) Для простых сигналов (немодулированных) спектры амплитуд всегда убывающие, но не обязательно монотонно, фазовый спектр не убывает с ростом частоты..

в) Спектр периодического сигнала дискретный, т.е. он занимает определённую сетку частот. Эту сетку при передаче сигнала можно выделить гребенчатым фильтром (т.е. с помощью гребенчатого фильтра можно выделить спектр сигнала). В участках спектра свободных от данного сигнала можно поместить спектр другого периодического сигнала и выделить его с помощью другого гребенчатого фильтра. Это один из элементарных способов разделения сигнала при передаче.

Основная ценность рядов Фурье заключается в том, что они позволяют дать представление временного сигнала в области частот. Спектр периодического сигнала – это отражение в области частот параметров ортогонального ряда Фурье.