
- •23.Дифференцирование функции комплексного переменного. Теорема Коши-Римана Определение
- •1 . Необходимость
- •2. Достаточность
- •25.Понятие конформного отображения
- •26.Понятие интеграла функции комплексного переменного и его свойства
- •27.Теорема Коши для односвязной и многосвязной области
- •28.Первообразная функции комплексной переменной. Формула Ньютона-Лейбница
- •29.Интегральная формула Коши
- •Доказательство
- •30.Ряд Лорана
- •Свойства
- •Теорема Лорана
- •31. Изолированные особые точки
- •Критерии устранимости
- •32.Вычеты и их применение
- •Вычисления определённых интегралов от тригонометрических функций
- •Вычисление несобственных интегралов
- •33.Преобразование Лапласа. Связь с преобразованием Фурье.
- •Обратное преобразование Лапласа
- •3 4.Основные теоремы об оригиналах и изображениях
- •35.Свертка оригиналов
- •36.Применение операционного исчисления
- •3 7.Вычисление оригиналов по известному изображению
Вычисления определённых интегралов от тригонометрических функций
Пусть функция
—
рациональная
функция переменных
и
.
Для вычисления интегралов
вида у
добно
использовать формулы
Эйлера. Положив, что
,
и произведя соответствующие преобразования,
получим:
.
Вычисление несобственных интегралов
Для вычисления несобственных интегралов с применением теории вычетов используют следующие две леммы:
1
.
Пусть функция
голоморфна
в верхней полуплоскости
и
на вещественной оси за исключением
конечного числа
полюсов,
не лежащих на вещественной оси и
.
Тогда 2.-//-
и
.
Тогда
33.Преобразование Лапласа. Связь с преобразованием Фурье.
Преобразова́ние Лапла́са —
интегральное преобразование, связывающее
функцию
комплексного
переменного (изображение) с функцией
вещественного
переменного (оригинал). С его помощью
исследуются свойства динамических
систем и решаются дифференциальные
и интегральные
уравнения.
Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.
П
реобразованием
Лапласа функции
вещественной переменной
,
называется функция
комплексной
переменной
[1],
такая что:
Правая часть этого выражения называется интегралом Лапласа.
Обратное преобразование Лапласа
О
братным
преобразованием Лапласа функции
комплексного переменного
,
называется функция
вещественной
переменной, такая что:
где
—
некоторое вещественное число (см. условия
существования). Правая часть
этого выражения называется интегралом
Бромвича.
Двустороннее преобразование Лапласа —
обобщение на случай задач, в которых
для функции
участвуют
значения
.
Д
вустороннее
преобразование Лапласа определяется
следующим образом:
Большим преимуществом преобразования Лапласа является его простая связь с преобразованием Фурье. Для этого необходимо лишь осуществить замену р j :
Н
епрерывное
преобразование Фурье эквивалентно
двустороннему преобразованию Лапласа
с комплексным аргументом
:
Примечание: в этих выражениях опущен
масштабирующий множитель
,
который часто включается в определения
преобразования Фурье.
Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа часто используется для того, чтобы определить частотный спектр сигнала или динамической системы.
Прим: s и p одно и то же, было влом переделывать.
3 4.Основные теоремы об оригиналах и изображениях
1
.Линейность:
если f(x)
-:-F(s) и g(x)
-:-G(s), то
2.Умножение на число:
3
.Поведение
изображения в бесконечности: если
оригинал
непрерывен
в нуле (в смысле справа от нуля, конечно),
то
4. Дифференцирование и интегрирование оригинала
И
зображением
по Лапласу первой производной от
оригинала по аргументу является
произведение изображения на аргумент
последнего за вычетом оригинала в нуле
справа:
В более общем случае (производная -го порядка):
И
зображением
по Лапласу интеграла от оригинала по
аргументу является изображение оригинала,
делённое на свой аргумент:
Т
еорема подобия
где a>0.
Дифференцирование оригинала
Д
ифференцирование изображения
Интегрирование оригинала
И
нтегрирование изображения
Т
еорема смещения
Теорема запаздывания