23.Дифференцирование функции комплексного переменного. Теорема Коши-Римана Определение

П роизводная для комплексной функции одного аргумента определяется так же, как и для вещественной: (здесь — комплексное число). Если этот предел существует, функция называется дифференцируемой или голоморфной. При этом

Следует учитывать одну важную особенность: поскольку комплексная функция задана на плоскости, существование приведённого предела означает, что он одинаков при стремлении к с любого направления. Этот факт накладывает существенные ограничения на вид функций-компонент и определяет их жёсткую взаимосвязь через Т Кощи-Римана: Для того чтобы функция , определённая в некоторой области комплексной плоскости, была дифференцируема в точке как функция комплексного переменного , необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части и были дифференцируемы в точке как функции вещественных переменных и и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:

Е сли условия Коши — Римана выполнены, то производная представима в любой из следующих форм:

Доказательство

1 . Необходимость

По условию теоремы существует предел ,

не зависящий от способа стремления к нулю. Положим и рассмотрим выражение

.

И з существования предела комплексного выражения следует существование действительной и мнимой его частей. Поэтому в точке существуют частные производные по x функций u(x,y) и v(x,y) и имеет место формула

Полагая , находим

Сравнивая две последние формулы, убеждаемся в справедливости условий Коши-Римана.

2. Достаточность

По определению дифференцируемости, приращения функций и в окрестности точки могут быть записаны в виде

,

,

где функции и стремятся к нулю при , быстрее, чем и , , . Составим теперь разностное соотношение , где и преобразуем его к виду

.

Заметим, что при стремлении к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к нулю, а первые остаются неизменными. Поэтому существует предел , что и доказывает дифференцируемость функции в точке .

24. Аналитическая функция комплексной переменной.функция комплексного переменного (где и  — вещественнозначные функции комплексного переменного, являющиеся, соответственно, вещественной и мнимой частью рассматриваемой функции), для которой в каждой точке некоторой области , называемой областью аналитичности, выполняется одно из трёх равносильных условий:

1 .Для вещественной и мнимой части этой функции в каждой точке выполняются условия Коши — Римана (аналитичность в смысле Коши — Римана);

2.Ряд Тейлора функции в каждой точке сходится и его сумма равна (аналитичность в смысле Вейерштрасса);

3.Интеграл для любой замкнутой кривой (аналитичность в смысле Коши)

Свойства

Арифметические свойства

Если и аналитичны в области

1. Функции , и аналитичны в .

2. Если в области не обращается в ноль, то будет аналитична в

3. Если в области не обращается в ноль, то будет аналитична в .

• Аналитическая функция бесконечно дифференцируема в своей области аналитичности. Обратное в общем случае неверно.