1. Задачи по квантовой механике, строению атома

1. Волны де-Бройля

1.1.х. На грань кристалла Ni падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольжения ϑ изменяется. Когда этот угол делается равным 64°, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракционному максимуму первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определить длину волны де Бройля λ электронов и их скорость v.

1.1.х. К расчету дифракции электронов от кристаллической решетки применяется то же уравнение Вульфа — Брэгга, которое используется в случае рентгеновского излучения: 2 d sin ϑ = kλ,

где d - расстояние между атомными плоскостями кристалла; ϑ - угол скольжения; k - порядковый номер дифракционного максимума; λ - длина волны де Бройля. Очевидно, что λ = (2 d sin ϑ)/k.

Подставив в эту формулу значения величин и вычислив, получим λ = 360 пм. Из формулы длины волны де Бройля λ=2πħ/(mv) выразим скорость электрона: v = 2πħ/(mλ).

Подставив в эту формулу значения π, ħ, m (масса электрона), λ и произведя вычисления, найдем v = 2 Мм/с.

1.1.х. Определить длину волны  электронов, разогнанных полем U = 20 кВ.

1.1.х. Из соотношения де Бройля : = 2ħ/p = 2ħ/m_ev, eU = m_ev²/2,

v = (2eU/m_e)^1/2.

 = 2 ħ/m_e(2eU/m_e)^1/2 = 2ħ/[(2em_e)U]^1/2 =

(2ħ = 6,626068 × 10^-34 м² кг/с, e = 1,60217646 × 10^-19 Кл,

m_e = 9,10938188 × 10^-31 кг, 2ħ/(2em_e)^1/2 = ).

Ǻ = 12,3/(U, кВ)^1/2 = 12,3/20000^1/2 = 0,08 Ǻ.

2. Соотношение неопределенностей Гайзенберга

1.2.х. Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определить естественную ширину Δλ спектральной линии излучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное. Среднее время τ жизни атома в возбужденном состоянии принять равным 10-8 с, а длину волны λ излучения - равной 600 нм.

1.2.х. При переходе атомов из возбужденного состояния в основное существует некий разброс в энергии испускаемых фотонов. Это связано с тем, что энергия возбужденного состояния не является точно определенной, а имеет конечную ширину  (см. рис. Хх). Согласно соотношению неопределенностей энергии и времени, ширина  энергетического уровня возбужденного состояния связана со средним временем жизни t атомов в этом состоянии соотношением:



 ~ ћ . ⇒  = ћ/t.

Вследствие конечной ширины уровня энергии возбужденного состояния энергии фотонов , испускаемых атомами, также имеет разброс, равный ширине энергетического уровня , т.е. E = . Тогда:

E = ћ/.

Так как энергия E фотона связана с длиной волны l соотношением E = 2ћc/, то разбросу E (E << E) энергии соответствует разброс  длин волн

E = (2ћc/²) (знак минус опущен).

Входящий в это выражение конечный интервал длин волн  и есть естественная ширина спектральной линии. Выразив  из формулы для E и заменив E на E = ћ/ получим:  = ²/2c = 2·10^-14 м = 20 фм.

1.3. Атом водорода

1.3.х. Электрон атома водорода находится в стационарном состоянии описываемом в.ф. (r) = Ae^-r, где A и  – некие постоянные. Найти энергии. E электрона и постоянную .

1.3.х. УШ: ∂²/∂r² + (2/r)(∂/∂r) + (2m/ћ²)(E – U) = 0. ((r) = Ae^-r, ∂/∂r, ∂²/∂r²) ⇒ (² + 2mE/ћ²) – ( -me²/ћ²)(2/r) = 0

Равенство нулю при любых r возможно только в том случае, когда обе скобки по отдельности равны нулю:

E = - ²ћ²/2m;  = me²/ћ².

1.3.x. Найти средний электростатический потенциал _o, создаваемый электроном в центре атома водорода, если электрон находится в основном состоянии с в.ф. (r) = Aexp(-r/r₁), A =1/(r₁³)^1/2, r₁ – первый боровский радиус.

1.3.х. Заряд электрона в состоянии 1s – это сферически-симметричного электронного облака, плотность которого  = -e²(r).

Заряд слоя r – (r + dr), равный dq = ·4r²dr, создает в центре атома потенциал d = dq/r. Потенциал, создаваемый всем электроном, равен:

_o = ∫d = ∫_o^∞4r²dr/r = -(e/r₁) ∫_o^∞e^-xxdx = -e/r₁.

1.3.х. Найти величину орбитального радиуса ns АО.

1.3.х. ВФ s-состояния зависит только от расстояния от ядра r и не зависит от углов  и . Это означает, что электронное облако s-состояния сферически симметрично и электронная плотность распределена в пространстве вокруг ядра шаровыми слоями. Упрощенно электронное облако ns-состояния рассматривают как одну сферу, радиус которой равен расстоянию, на котором наиболее вероятно найти электрон.

Вероятность обнаружения электрона в nlm-состоянии (с энергией E_n=-Z²Ry/n², квадратом орбитального момента ²l(l+1) и z- компонентой орбитального момента m) в элементе объема dV определяется как:

d_nlm(r)=|_nlm(r)|² dV = |R_nl(r)|² r²dr |Y_lm(,)|² sindd.

Интегрируя по  и  (по всем направлениям r) получим:

d_nl(r)= |R_nl(r)|² r²dr = |u_nl(r)|²dr, (_o^_o^sindd=4)

где |u_nl(r)|² так называемая радиальная плотность вероятности. Кривые |u_nl(r)|² представляют распределение электронной плотности относительно ядра, они показывают вероятность нахождения электрона в тонком концентрическом шаровом слое радиуса r и толщиной dr вокруг ядра.

Для n = 1: _1s = 2(1/a_B)^3/2 [exp(-r/a_B)] (1/2),

где a_B так называемый Боровский радиус атома водорода, равный ²/me² = / = 0,53 Å =1 Бор.

d_1s(r) = |R_1s(r)|² r²dr = 4(1/a_B)³·[exp(-2r/a_B)] r²dr.

Приравнивая к нулю производную по r выражения 4(1/a_B)³·[exp(-2r/a_B)] r² получим:

(-2/a_B)/[exp(-2r/a_B)] r² + 2r[exp(-2r/a_B)] = 0 ⇒ r = a_B .

Таким образом, в основном состоянии атома водорода (1s) этот максимум находится на удалении, в точности равном боровскому радиусу первой орбиты.

1.3.x. Найти максимум вероятности нахождения электрона в состоянии _1s атома водорода между r и r+dr.

1.3.x. dW = |_1s|²4r²/dr; _1s = (1/a_B)^3/2exp(-r/a_B)(1/4)^1/2.

d(|_1s|²r²)/dr = 0, → r_max = a_B.

a_B - радиус Бора, равный =4_oħ²/m_ee²=ħ/m_ec= 0,53 Å (=e²/ħc4_o=1/137).

1.3.х. Найти наиболее вероятное расстояние электрона от ядра атома водорода в состоянии 2p.

1.3.х. В этом состоянии электронное облако не является сферически симметричным. В.ф. электрона равна r) = R_nl(r)·Y_lm() = R(r)·Y().

Найдем сначала вероятность местоположения электрона в элементе объема dV вблизи некоторой точки пространства r, 

где объем dV = dS dr (см. рис. 6.10). Так как d = dS/r², то dV = r²d dr.

Теперь найдем вероятность пребывания электрона в сферическом слое с радиусами r и r+dr. Для этого надо проинтегрировать dP по телесному углу d:

Интеграл не зависит от r, это некоторое число. Значит можно записать, что

И плотность вероятности в расчете на единицу толщины слоя равна:

где B – некоторая постоянная. Теперь введем вместо r новую переменную  = r/r₁ и согласно таблицы 6.1. перепишем R() в явном виде. В результате получим:

Функция f() = ⁴e^- имеет максимум, положение которого определим продифференцировав f() по  и полученный результат приравняем к нулю. В результате получим:

_вер = 4.

Так как  – это расстояние r в единицах r₁, то найденное значение _вер соответствует второму боровскому радиусу.

1.3.х. Найти орбитальные радиусы электрона в боровской модели атома водорода.

1.3.х. Электрон движется по тем орбитам, для которых момент импульса равен:

M = nћ, n = 1, 2, 3, … , где n квантовые числа.  rmv = nħ  v = nħ/rm.

Согласно второму закону Ньютона: mV²/r = Ze²/r², (2.19)

m – масса электрона.  r_n = (ћ²/me²)(n²/Z) . (2.23)

r₁ = ħ²/me² = 0,529·10^-8 см.

1.3.х. Атом водорода находится в состоянии 1s. Определить вероятность W пребывания электрона в атоме внутри сферы радиусом r=0,1a_B (где a_B – радиус первой боровской орбиты). Волновая функция, описывающая это состояние, считается известной.

1.3.х. Вероятность обнаружить электрон в окрестности точки с координатами r, в объеме dV равна: dW = |_n,l,m(r)|²dV ; ₁₀₀(r) = (1/a^3/2)e^-r/a .

Благодаря сферической симметрии y-функции вероятность обнаружить электрон на расстоянии r одинакова по всем направлениям. Поэтому элемент объема dV можно представить в виде сферического слоя радиусом r и толщиной dr: dV = 4r²dr.

dW = |(1/a^3/2)e^-r/a|² 4r²dr = (4/a³)e^-2r/ar²dr.

В атомных единицах  = r/a: dW = 4e^-2²d.

Искомая вероятность равна: dW = 4∫_o^0,1²e^-d.

Интеграл может быть точно вычислен по частям, однако при малых r можно разложить e^ = 1 – 2 +4²/2 - … и провести приближенное вычисление.

W = 4∫_o^0,1^d4∫_o^0,1^d∫_o^0,1^d·^·^·^

1.3.x. Электрон в возбужденном состоянии водорода находится в 3р состоянии. Определить изменение магнитного момента, обусловленного орбитальным движением электрона, при переходе атома в основное состояние.

1.3.х. _l = _l2 - _l1 = -_B[l₂(l₂+1)] + _B[l₁(l₁+1)] = _B2^1/2 (l₂ = 1, l₁ = 0)

_l=-1,31 10^-23 Дж/Тл (_B= eħ/2m_e=0,927×10⁻²⁹ Дж/Тл).